1 of 37

1

17.05.2025

ÇİFT YÖN ÖRGÜ YAPILI KOMPOZİTLER

Kompozit Malzeme Mekaniği – Ders Notları / Prof. Dr. Mehmet Zor

10.

(Malzeme Özelliklerinin ve Mukavemet Sınırlarının Teorik Hesaplamaları ve Örnekler)

2 of 37

2

17.05.2025

1

2

10.1 Kapsam ve Amaç:

Herbirisi tek bir tel olan (süreksizlik içermeyen) fiberlerin, bir kısmı 1 yönünde, diğer kısmı 2 yönünde (birbirlerine dik olarak) matrise dizildiğinde oluşan kompozit yapılardır. Konu kapsamında matris ve fiberler izotropik malzemeler olarak alınacaktır. 1 ve 2 yönündeki fiberlerin malzemeleri ve hacimsel oranları farklı olabilir.

m : izotropik matris

Bu bölümde amacımız, fiberlerin ve matrisin özellikleri belli iken, bu tip bir kompozit plakanın malzeme özelliklerini ve mukavemet sınır değerlerini teorik olarak hesaplayabileceğimiz denklemleri çıkarmaktır. Daha sonra çeki-bası yüklemelerine yönelik örnekler çözülecektir. Üstte izotropik matrisli temsili hacim elemanı gösterilmiştir.

Hesaplamalarda ise «ortotropik matrisli temsili hacim elemanları» kullanılacaktır.

İzotropik Matrisli Temsili Hacim Elemanı

Şekil 10.1

Şekil 10.2

Kompozit Malzeme Mekaniği – Ders Notları / Prof. Dr. Mehmet Zor

10. Çift Yön Örgü Yapılı Kompozitler

Öncelikle bu elemanlardan ilkini tanımlayalım >>

3 of 37

3

17.05.2025

10.2 Ortotropik Matrisli Temsili Hacim Elemanı (M_d + f_y) Tanımlanması:

İzotropik Matrisli Temsili Hacim Elemanı

Temsili hacim elemanları elde edilir.

1

2

(I)

(II)

(III)

1

2

(IV)

1

2

(V)

Şekil 10.3

Kompozit Malzeme Mekaniği – Ders Notları / Prof. Dr. Mehmet Zor

10. Çift Yön Örgü Yapılı Kompozitler

Şimdi E₁ elastiklik modülünü bulmamızı sağlayacak gerekli özellikleri sırasıyla elde edeceğiz..>>

4 of 37

4

17.05.2025

10.3 İzotropik matrisli temsili hacim elemanında toplam hacimsel oranlar

Şekil 10.4

Kompozit Malzeme Mekaniği – Ders Notları / Prof. Dr. Mehmet Zor

10 Çift Yön Örgü Yapılı Kompozitler

1

2

Bu temsili hacim elemanındaki hacimsel oranlarda T üst sembolünü kullanacağız. Buna göre,

(10.1)

(10.2.d)

Hesaplamalarda bu temsili hacim elemanından gidilmeyecektir fakat, alttaki hacimsel oranları hesaplarda yer alacaktır.

(10.2.a)

(10.2.b)

(10.2.c)

Hacimsel oranların toplamı:

5 of 37

5

17.05.2025

Şekil 10.5

Kompozit Malzeme Mekaniği – Ders Notları / Prof. Dr. Mehmet Zor

10 Çift Yön Örgü Yapılı Kompozitler

10.4. M_d ortotropik matrisindeki hacimsel oranlar

1

2

Temsili hacim elemanında veya tüm tabakada olmak üzere,

(10.3)

(10.4)

(10.5)

Toplam hacim:

6 of 37

6

17.05.2025

1

2

Fiberlerin kopması anında izotropik matristeki gerilmeler:

2 yönünde Çeki:

2 yönünde Bası :

4.3 denkleminden:

4.8 denkleminden:

10.5 Düşey fiber + izotropik matristen oluşan hacmin bazı mukavemet özellikleri:

Ortotropik karektere sahip bu hacim için 3 ve 4 nolu bölümlerde anlatılan tüm denklemler geçerlidir. Fakat bu hacmin en önemli farkı, 2 yönünün fiberlerin yerleştirme doğrultusu olarak alınmasıdır. Bize gerekli olacak malzeme özellikleri aşağıda özetlenmiştir:

(I)

Şekil 10.6

Kompozit Malzeme Mekaniği – Ders Notları / Prof. Dr. Mehmet Zor

10 Çift Yön Örgü Yapılı Kompozitler

1

2

P

Şimdi (m + f_d) hacminin eşdeğeri olan M_d ortotropik hacminin özelliklerini belirleyelim..>>

Şekil 10.7

(10.6)

(10.7)

7 of 37

7

17.05.2025

1

2

3.24 a ve b denklemlerinden

Fibere Dik Doğrultuda (1 yönünde) Elastiklik Modülü:

3.14 denkleminden

Major poisson oranı:

3.15a denkleminden

1-2 düzlemindeki kayma modülü:

1

2

Poisson etki terimi:

3.25 denkleminden

(10.8)

(10.10)

(10.11)

(10.13)

Şekil 10.8

Kompozit Malzeme Mekaniği – Ders Notları / Prof. Dr. Mehmet Zor

10. Çift Yön Örgü Yapılı Kompozitler

ortotropik matris - M_d

(10.9)

3.4 denkleminden

Fibere paralel doğrultuda (2 yönünde) Elastiklik Modülü:

Minor Poisson Oranı:

3.13 denkleminden

(10.12)

8 of 37

8

17.05.2025

(10.14)

(10.15)

(10.16)

(10.17)

(10.18)

Şekil 10.9

Kompozit Malzeme Mekaniği – Ders Notları / Prof. Dr. Mehmet Zor

10. Çift Yön Örgü Yapılı Kompozitler

1

2

Hacimsel oranların toplamı:

9 of 37

9

17.05.2025

10.8 E₁’ in Teorik Hesabı:

a ve b düzlemlerinden yapılan kesim ile çıkarılan parçanın üzerindeki kuvvet ve gerilmeler için şunları yazabiliriz:

3.5 konusundaki yaklaşımlar bu temsili elemanı için aynen geçerlidir.

Statik dengeden:

(10.19)

Hooke bağıntılarından:

(10.20)

(10.21)

(10.22)

Şekil 10.10

Kompozit Malzeme Mekaniği – Ders Notları / Prof. Dr. Mehmet Zor

10. Çift Yön Örgü Yapılı Kompozitler

10 of 37

10

17.05.2025

10.20, 21 ve 22 denklemlerini 10.19 denkleminde yerine koyarsak ve 10.23 denklemi sebebiyle sadeleştirirsek:

(10.24)

Fiber ve matris birbirlerine tamamen yapışık olduklarından birbirlerini etkilerler ve 1 yönünde aynı ΔL miktarı uzarlar. İlk boyları da eşit olduğu için gerinmeleri de (ΔL/L ) da eşit olacaktır:

(10.23)

Kompozit Malzeme Mekaniği – Ders Notları / Prof. Dr. Mehmet Zor

10. Çift Yön Örgü Yapılı Kompozitler

Hacimsel Oranlar:

1

2

E₂değerini bulabilmek için ise fiber yönlendirme doğrultuları farklı olan (M_y+ f_d) temsili hacim elemanını kullanmamız gerekir. Önce bu elemanı tanımlayalım:..>>

Şekil 10.11

11 of 37

11

17.05.2025

10.9 (M_y + f_d) temsili hacim elemanının tanımlanması

Kompozit Malzeme Mekaniği – Ders Notları / Prof. Dr. Mehmet Zor

10. Çift Yön Örgü Yapılı Kompozitler

İzotropik matrisli temsili hacim elemanının bir başka eşdeğeri, (M_y + f_d) ortotropik matrisli temsili hacim elemanıdır.

1

2

1

2

M_y ortotropik matrisi

İzotropik matris + yatay fiber

Düşey fiberler

İzotropik Matrisli Temsili Hacim Elemanı

1

2

Düşey fiberler

1

2

Temsili hacim elemanı elde edilir.

Şekil 10.12

Aşağıdaki şekilleri inceleyerek bu temsili hacim elamanının nasıl tanımlandığını anlamaya çalışınız.

12 of 37

12

17.05.2025

Şekil 10.12

Kompozit Malzeme Mekaniği – Ders Notları / Prof. Dr. Mehmet Zor

10 Çift Yön Örgü Yapılı Kompozitler

10.10 M_y ortotropik matrisindeki hacimsel oranlar

1

2

Temsili hacim elemanında veya tüm tabakada olmak üzere,

(10.25)

(10.26)

(10.27)

toplam hacim:

13 of 37

13

17.05.2025

Fiberlerin kopması anında m izotropik matrisindeki gerilmeler:

1 yönünde Çeki:

1 yönünde Bası :

4.3 denkleminden

4.8 denkleminden

10.11 Yatay fiber + izotropik matristen oluşan hacmin bazı mukavemet özellikleri:

Ortotropik karektere sahip bu hacim için 3 ve 4 nolu bölümlerde anlatılan tüm denklemler geçerlidir. Hesaplamalarda bize gerekli olacak malzeme özellikleri aşağıda özetlenmiştir:

(10.28)

(10.29)

Şekil 10.13

Şekil 10.14

Kompozit Malzeme Mekaniği – Ders Notları / Prof. Dr. Mehmet Zor

10 Çift Yön Örgü Yapılı Kompozitler

1

2

İzotropik matris + yatay fiber

1

2

Şimdi (m + f_y) hacminin eşdeğeri olan M_y ortotropik hacminin özelliklerini belirleyelim..>>

14 of 37

14

17.05.2025

3.24 a ve b denklemlerinden

Fibere Dik Doğrultuda (2 yönünde) Elastiklik Modülü:

3.14 denkleminden

Major poisson oranı:

3.15a denkleminden

1-2 düzlemindeki kayma modülü:

3. ve 4. konularındaki tek yön sürekli fiber takviyeli kompozit tabaka için çıkarılan denklemler ortotropik matris için aynen geçerlidir.

Poisson etki terimi:

3.25 denkleminden

(10.30)

(10.31)

(10.33)

(10.35)

Şekil 10.15

Kompozit Malzeme Mekaniği – Ders Notları / Prof. Dr. Mehmet Zor

10. Çift Yön Örgü Yapılı Kompozitler

1

2

1

2

3.4 denkleminden

Fibere paralel doğrultuda (1 yönünde) Elastiklik Modülü:

(10.32)

Minor Poisson Oranı:

3.13 denkleminden

(10.34)

15 of 37

15

17.05.2025

Toplam hacimsel oran:

(10.36)

(10.37)

(10.38)

(10.39)

(10.40)

Şekil 10.16

Kompozit Malzeme Mekaniği – Ders Notları / Prof. Dr. Mehmet Zor

10. Çift Yön Örgü Yapılı Kompozitler

1

2

16 of 37

16

17.05.2025

10.14 E₂’ nin Teorik Hesabı:

Kompozit Malzeme Mekaniği – Ders Notları / Prof. Dr. Mehmet Zor

10. Çift Yön Örgü Yapılı Kompozitler

1

2

b düzleminden yapılan kesimin alt kısmından çıkarılan parçanın üzerindeki kuvvet ve gerilmeler için şunları yazabiliriz:

3.5 konusundaki yaklaşımlar bu temsili hacim elemanı için aynen geçerlidir.

Statik dengeden:

Hooke bağıntılarından:

1

2

(10.41)

(10.42.a)

(10.42.b)

(10.42.c)

Şekil 10.17.a

Şekil 10.17.b

17 of 37

17

17.05.2025

10.42 denklemlerini 10.41 denkleminde yerine koyarsak ve 10.43 denklemi sebebiyle sadeleştirirsek:

(10.44)

Fiber ve matris birbirlerine tamamen yapışık olduklarından birbirlerini etkilerler ve 2 yönünde aynı ΔL miktarı uzarlar. İlk boyları da eşit olduğu için gerinmeleri de (ΔL/L ) da eşit olacaktır:

(10.43)

Kompozit Malzeme Mekaniği – Ders Notları / Prof. Dr. Mehmet Zor

10. Çift Yön Örgü Yapılı Kompozitler

Hacimsel Oranlar:

E₁değerini (M_d+ f_y) temsili hacim elemanından hesapladığımızı hatırlayın…

Şekil 10.18

1

2

Not: E₁değeri (M_d+ f_y) temsili hacim elemanından, E₂ ise (M_d+ f_y) temsili hacim elemanından 3.13 konusunda anlatılan yöntem ve yaklaşımla hesaplanabilir. Fakat bu 10. konudaki yaklaşımdan bulunan değerlerle arasında bir miktar fark çıkar.

18 of 37

18

17.05.2025

1 yönünde çekiye maruz temsili hacim elemanında, 2 yönündeki toplam daralma (ΔW), fiber ve ortotropik matristeki daralmaların toplamına eşittir.

Gerinmeler cinsinden:

1 yönündeki gerinmeler eşittir.

(10.14)

(10.45)

Şekil 10.19

Kompozit Malzeme Mekaniği – Ders Notları / Prof. Dr. Mehmet Zor

10. Çift Yön Örgü Yapılı Kompozitler

Poisson oranları:

Ortotropik matris:

Yatay Fiber:

Kompozit yapı:

10.15 Kompozitin Poisson Oranlarının Teorik Hesabı:

3.13 denkleminden

(10.46)

19 of 37

19

17.05.2025

a şıkkında 1 yönü için yapılan işlemler bu temsili hacim elemanı için 2 yönü için yapılır. a şıkkındaki denklemlerde d ile y indisleri, ve 1 ile 2 indisleri yer değiştirecektir.

Sonuç olarak, kompozitin poisson oranları için alttaki denklemler elde edilir.

(10.47)

(10.48)

Şunu unutmamak gerekir ki, poisson oranları a veya b seçeneklerinden (her iki temsili hacim elemanından) da aynı değerlerde elde edilmelidir.

1

2

Şekil 10.20

Kompozit Malzeme Mekaniği – Ders Notları / Prof. Dr. Mehmet Zor

10. Çift Yön Örgü Yapılı Kompozitler

20 of 37

20

17.05.2025

Kompozit yapı için:

(Hooke bağıntısı)

(10.49)

Şekil 10.21

Kompozit Malzeme Mekaniği – Ders Notları / Prof. Dr. Mehmet Zor

10. Çift Yön Örgü Yapılı Kompozitler

veya

(10.50)

21 of 37

21

17.05.2025

1

2

4.4 denkleminden

2 yönünde çeki mukavemeti:

4.6 denkleminden

1 yönünde çeki mukavemeti:

4.9 denkleminden

4.11.a denkleminden

2 yönünde bası mukavemeti:

1 yönünde bası mukavemeti:

1

2

(10.53)

(10.54)

(10.55)

(10.56)

4.11.c denkleminden

Kesme mukavemeti:

(10.57)

(10.51)

Şekil 10.22

Kompozit Malzeme Mekaniği – Ders Notları / Prof. Dr. Mehmet Zor

10. Çift Yön Örgü Yapılı Kompozitler

Şimdi kompozitin Mukavemet Sınır değerlerini hesaplayacağız. Öncelikle Ortotropik matrislerin mukavemet değerlerini tespit edelim:

(10.52)

4.3 ve 4.8 denklemlerinden:

22 of 37

22

17.05.2025

4.4 denkleminden

1 yönünde çeki mukavemeti:

4.6 denkleminden

2 yönünde çeki mukavemeti:

4.9 denkleminden

4.11 denkleminden

1 yönünde bası mukavemeti:

2 yönünde bası mukavemeti:

(10.60)

(10.61)

(10.62)

(10.63)

4.11.c denkleminden

Kesme mukavemeti:

(10.64)

4.3 ve 4.8 denklemlerinden:

(10.58)

Şekil 10.23

Kompozit Malzeme Mekaniği – Ders Notları / Prof. Dr. Mehmet Zor

10. Çift Yön Örgü Yapılı Kompozitler

1

2

1

2

(10.59)

23 of 37

23

17.05.2025

4.4 Denkleminden

1 yönünde kompozitin çeki mukavemeti

koma

kompozit

kopma

a

c

b

d

(10.66)

(10.67)

(10.8 denkleminden hesaplanır.)

4.4 konusundaki aynı yaklaşımla aşağıdaki değerler elde edilir.

Şekil 10.24

Şekil 10.25

Kompozit Malzeme Mekaniği – Ders Notları / Prof. Dr. Mehmet Zor

10. Çift Yön Örgü Yapılı Kompozitler

a ve b düzlemlerinden kesim

Elastiklik Modülleri

(10.65)

f_y fiberlerinin maksimum gerinmesi:

f_y doğrusunun eğimi:

24 of 37

24

17.05.2025

Şekil 10.26

Şekil 10.27

Kompozit Malzeme Mekaniği – Ders Notları / Prof. Dr. Mehmet Zor

10. Çift Yön Örgü Yapılı Kompozitler

a ve b düzlemlerinden kesim

(10.69)

4.9 Denkleminden,

Kompozitin 1 Yönünde Bası Mukavemeti:

(10.70)

(10.4.a denkleminden hesaplanır.)

4.6 konusundaki aynı yaklaşımla aşağıdaki değerler elde edilir.

Temsili hacim elemanına 1 yönünde bası yükü uyguluyoruz.

(10.68)

f_y fiberlerinin minimum gerinmesi:

f_y doğrusunun eğimi:

kpma

kompozit

hasar

a

c

hasar

Basma

Çekme bölgesi

25 of 37

25

17.05.2025

Kompozit Malzeme Mekaniği – Ders Notları / Prof. Dr. Mehmet Zor

10. Çift Yön Örgü Yapılı Kompozitler

1

2

(10.75)

(10.71)

1

2

Şekil 10.28

Şekil 10.29

(10.76)

(10.72)

(10.73)

(10.74)

Kompozitin 2 Yönünde Çeki Mukavemeti:

Kompozitin 2 Yönünde Bası Mukavemeti:

26 of 37

26

17.05.2025

10.20)Kesme Mukavemeti (S ):

Dolayısıyla ilk hasara uğrayacak bileşen, en düşük kesme mukavemetine sahip olandır.

Şekil 10.30

Kompozit Malzeme Mekaniği – Ders Notları / Prof. Dr. Mehmet Zor

10. Çift Yön Örgü Yapılı Kompozitler

(10.77)

Fiberlerin kesme mukavemetleri de izotropik matristen büyük olmak şartıyla (ki verimli bir yapı için böyle olması gerekir)

Kompozitin kesme mukavemeti izotropik matrisin kesme mukavemetine eşit olur.

Kompozitin kesme mukavemeti :

Tabakalı kompozitlerle ilgili bir bilgi: Çift yön örgü yapılı kompozit tabakalar , tabakalı kompozit yapılarda kullanılabilir ve 8. konuda tabakalı kompozitler için yapılan hesaplamalar bu tip yapılar için de aynen geçerlidir.

27 of 37

27

17.05.2025

Örnek 10.1

						t (mm)	b (mm)	L (mm)
Malzeme	Elastiklik Modülü	Poisson Oranı	Çeki Mukavemeti	Bası Mukavemeti	Kesme Mukavemeti	kalınlık	genişlik	uzunluk
	150	0,24	240	-260	120	0,2	4	200
	200	0,32	340	-320	160	0,2	2,5	200
	60	0,38	60	-64	-20	0,3	200	200

Kompozit Malzeme Mekaniği – Ders Notları / Prof. Dr. Mehmet Zor

10. Çift Yön Örgü Yapılı Kompozitler

28 of 37

28

17.05.2025

İzotropik matrisli Temsili Hacim Elemanı

1

2

1

2

Tüm tabakadan çıkarılan temsili hacim elemanları ve ortoropik matrisler ve aşağıdaki şekillerle açıklanmıştır.

a-) Kompozitin malzeme özelliklerinin hesaplanması için gerekli değerleri sırasıyla bulacağız:

Kompozit Malzeme Mekaniği – Ders Notları / Prof. Dr. Mehmet Zor

10. Çift Yön Örgü Yapılı Kompozitler

29 of 37

29

17.05.2025

(10.2 denklemlerinden toplam hacimsel oranlar)

(Ortotropik matrisler içindeki hacimsel oranlar)

(Denk. 10.3’den )

(Denk. 10.4’den )

(Denk. 10.25’den )

(Denk. 10.27’den )

Bileşenler izotropik olduğundan Kayma Modülleri 2.14a denkleminden hesaplanabilir:

(n: fiber sayısı)

Kompozit Malzeme Mekaniği – Ders Notları / Prof. Dr. Mehmet Zor

10. Çift Yön Örgü Yapılı Kompozitler

30 of 37

30

17.05.2025

(Denk.10.8’den)

(10.11’den)

(10.13’den)

1 yönündeki Elastiklik Modülü:

Major Poisson oranı:

1-2 düzlemindeki kayma modülü:

(III)

1

2

(II)

1

2

Minor Poisson Oranı:

Poisson etki terimi :

(Denk. 10.9’dan)

(10.10’dan)

2 yönündeki Elastiklik Modülü:

(10.12’den)

Kompozit Malzeme Mekaniği – Ders Notları / Prof. Dr. Mehmet Zor

10. Çift Yön Örgü Yapılı Kompozitler

31 of 37

31

17.05.2025

(10.30’dan)

(10.33’den)

(10.35’den)

2 yönündeki Elastiklik Modülü:

Major Poisson oranı:

1-2 düzlemindeki kayma modülü:

1 yönündeki Elastiklik Modülü:

Poisson etki terimi :

Minor Poisson Oranı:

1

2

1

2

(Denk. 10.31’den)

(10.32’den)

(10.34’den)

Kompozit Malzeme Mekaniği – Ders Notları / Prof. Dr. Mehmet Zor

10. Çift Yön Örgü Yapılı Kompozitler

32 of 37

32

17.05.2025

1

2

(Denk. 10.24’ den)

(Denk. 10.45’den)

(Denk. 10.49’den)

(10.44’ den)

1

2

(Denk. 10.46’den)

(10.47’ den)

(10.48’ den)

(10.50’ den)

Kompozit Malzeme Mekaniği – Ders Notları / Prof. Dr. Mehmet Zor

10. Çift Yön Örgü Yapılı Kompozitler

33 of 37

33

17.05.2025

b-) Kompozitin mukavemet sınır değerlerini bulabilmek için öncelikle ortotropik matrislerinin mukavemet değerleri hesaplanır.

(III)

1

2

(II)

1

2

(10.51’den)

(10.53’den)

(10.54’den)

(10.55’den)

(10.52’den)

(10.56’dan)

(10.57’den)

M_d ortotoropik matrisinin teorik mukavemet değerleri

Denklem

*Diğer gerilmelerin anlamları için denklemlerin olduğu sayfalara bakınız.

Kompozit Malzeme Mekaniği – Ders Notları / Prof. Dr. Mehmet Zor

10. Çift Yön Örgü Yapılı Kompozitler

34 of 37

34

17.05.2025

(10.58’den)

(10.60’dan)

(10.61’den)

(10.62’den)

(10.59’dan)

(10.63’den)

(10.64’den)

1

2

1

2

M_y ortotoropik matrisinin teorik mukavemet değerleri

*Diğer gerilmelerin anlamları için denklemlerin olduğu sayfalara bakınız.

Kompozit Malzeme Mekaniği – Ders Notları / Prof. Dr. Mehmet Zor

10. Çift Yön Örgü Yapılı Kompozitler

35 of 37

35

17.05.2025

1

2

(Denk. 10.66’dan):

(10.67’den):

(10.55’den)

Kompozitin 1 yönündeki teorik çeki mukavemeti

Kompozitin 1 yönündeki teorik bası mukavemeti

(10.56’dan)

Kompozit Malzeme Mekaniği – Ders Notları / Prof. Dr. Mehmet Zor

10. Çift Yön Örgü Yapılı Kompozitler

36 of 37

36

17.05.2025

(10.72’den)

(10.73’den)

(10.75’den)

Kompozitin 2 yönündeki teorik çeki mukavemeti

Kompozitin 2 yönündeki teorik bası mukavemeti

(10.76’dan)

1

2

(minimum kesme mukavemetine sahip bileşen izotropik matris olduğundan)

Kompozitin teorik kesme mukavemeti

(10.77’ den)

Kompozit Malzeme Mekaniği – Ders Notları / Prof. Dr. Mehmet Zor

10. Çift Yön Örgü Yapılı Kompozitler

37 of 37

37

17.05.2025

c-) Bu kompozitin 1 yönünde taşıyabileceği bası kuvveti:

Hasar anında:

d-) 2 yönünde kompozite uygulanabilecek maksimum çeki kuvveti:

Kompozit Malzeme Mekaniği – Ders Notları / Prof. Dr. Mehmet Zor

10. Çift Yön Örgü Yapılı Kompozitler