Professeur du cours: M.JAMAL
UNIVERSITE HASSAN II DE CASABLANCA
FACULTE DES SCIENCES BEN M’SIK
DEPARTEMENT DE PHYSIQUE
CASABLANCA-MAROC
Pr. M. Jamal
Chapitre.II
OSCILLATEURS HARMONIQUES
A UN SEUL
DEGRÉ DE LIBERTÉ ( 1ddl)
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Pr. M. Jamal
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* la corde vocale, le coeur humail, balançoire, électron dans un atome, les cordes en physique des particules, particule soumise à une force de rappel,le pendule élastique (masse-ressort), le pendule pesant, le pendule de torsion, liquide oscillant dans un tube en U, circuit électriques oscillants, les cordes en physique des particules etc....sont des exemples d'oscillateurs harmoniques.
Pr. M. Jamal
II.1/ Qu'est-ce qu'une oscillation?
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Définition
* C'est une évolution effectuée de part et d'autre d'un état d'équilibre stable.
II.2/ Qu'est-ce qu'une vibration?
Définition
* C'est une oscillation rapide.
Pr. M. Jamal
II.3/ Qu'est-ce qu'un oscillateur?
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Définitions:
* Un oscillateur est un système physique manifestant la variation d'une grandeur physique de part et d'autre d'un état d'équilibre.
** Un oscillateur mécanique est un système qui effectue un mouvement d'aller-retour de part et d'autre de sa position d'équilibre.
*** Un oscillateur électrique est un circuit électrique oscillant dans lequel circul un courant du type RLC, LC, ...
Pr. M. Jamal
II.4/ Qu'est-ce qu'un oscillateur harmonique?
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Définitions:
* Un oscillateur est un système physique manifestant la variation d'une grandeur physique de part et d'autre d'un état d'équilibre.
** Un oscillateur mécanique est un système qui effectue un mouvement d'aller-retour de part et d'autre de sa position d'équilibre ( Pendule simple, pendule élastique, pendule pesant, Pendule de torsion, .....
*** Un oscillateur électrique est un circuit électrique oscillant dans lequel circul un courant du type RLC, LC, ...
Pr. M. Jamal
II.5/ Exemples
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7
Système vibrant masse-ressort-amortisseur
II.5.1) Oscillateurs harmoniques mécaniques
Pr. M. Jamal
II.5/ Exemples (suite)
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II.5.2) Oscillateurs harmoniques électriques
Oscillateur électriques oscillant LC libre non amorti
Oscillateur électriques oscillant RLC forcé et amorti
Pr. M. Jamal
II.6/ Qu'est-ce qu'un oscillateur harmonique?
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Définition
* Un oscillateur est dit harmonique si sa réponse est une fonction sinusoidale du temps.
Pr. M. Jamal
II7/ scillateur Harmonique Propre (Libre)
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L'oscillateur harmonique est dit libre
Si après un écart initial le système effectue spontanément une suite d'oscillations sans subir aucune action extérieure.
Si les frottements sont négligeables, on obtient un mouvement périodique de période propre T0 (resp fréquence propre f0).
Cet oscillateur effectue des oscillations correspondant à ses propres caractéristiques.
Pr. M. Jamal
II.8/ scillateur Harmonique Forcé et Phénomène de Résonance
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L'oscillateur harmonique est dit forcé
Si il est soumis à un autre système oscillant qui essaye de lui imposer ses oscillations.
En d'autres mots, si une cause extérieure (Excitateur) impose des oscillations au système oscillant (Résonateur).
Phénomène de résonance
Si la fréquence f de l'excitation extérieure est égale à la fréquence propre f0 il y a apparition du phénomène de résonance où l'amplidude est maximale.
Pr. M. Jamal
II.9/ Oscillateur Harmonique Amorti
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L'oscillateur harmonique est dit amorti
Quand il effectue des oscillations dont l'amplitude diminue avec le temps.
* Les oscillations libres réelles sont plus au moins amorties à cause des frottements
Pr. M. Jamal
II.10/ Oscillateur Harmonique Entretenu
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L'oscillateur harmonique est dit entretenu
Si l'amplitude des oscillations reste constante grace à un apport extérieur d'énergie.
Si un système d'entretien compense exactement les pertes d'énergie de l'oscillateur amorti, on obtient des oscillations d'amplitude constante et de fréquence égale à la fréquence propre f0 .
Pr. M. Jamal
II.11/ Grandeurs caractéristiques des Oscillations:
Amplitude, Période, Fréqence, Pulsation
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1) Amplitude
C'est l'écart maximal de la grandeur physique par rapport à sa valeur d'équilibre.
2) Période T (en seconde)
Durée après laquelle la grandeur physique refait la meme évolution.
C'est la durée d'une oscillation: c'est la plus courte durée après laquelle le phénomène oscillatoire se reproduit à lui meme.
Pr. M. Jamal
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3) Fréquence f ( en hetrz :Hz)
C'est le nombre d'oscillations effectuée par unité de temps. C.'est le nombre de fois que le phénomène oscillatoire se reproduit par seconde.
La relation entre la période T et la fréquence f est:
4) Pulsation ω (en radian par seconde: rad/s)
La pulsation ω est reliée à la période T et à la fréquence f par les relations:
Pr. M. Jamal
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Pr. M. Jamal
II.12/ Etude de l'oscillateur harmonique
à un seul degré de liberté
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II.12.1) Equation du mouvement ou d'évolution
Cas général
Formalisme Lagrangien
Le lagrangien d'oscillateur harmonique est:
où T est l’énergie cinétique et U est l’énergie potentielle dans le cas mécanique
et Emagnétique est l’énergie magnétique, Eélectrique est l’énergie électrique .
Pr. M. Jamal
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Si l'oscillateur est supposé amorti et forcé . Soumis à des forces de frottements Ffrot et à une excitation extérieure Fext = F(t), le lagrangien L=T-U de l'oscillateur s'écrit:
Pr. M. Jamal
Equation d'évolution dérivée
moyennant
l'équation d'Euler-Lagrange
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L’équation d’Euler–Lagrange en présence de frottements s’écrit :
où G est la fonction de dissipation donnée par :
avec r est le coefficient d’amortissement.
Pr. M. Jamal
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et
C'est l'équation réduite d'évolution du système.
C'est une équation différentielle du second ordre a coéficients constants avec second membre.
Elle est complétée par les conditions initiales:
Pr. M. Jamal
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II.12.2) Cas particuliers
a) Si r = 0 et F(t) = 0:, l'oscillateur harmonique est dit libre non amorti.
b) Si r = 0 et F(t) est non nulle, l'oscillateur harmonique est dit forcé.
c) Si r est non nul et F(t) = 0, l'oscillateur harmonique est dit amorti.
Pr. M. Jamal
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II.12.3) Exemples
a) Oscillateur harmonique mécanique: système masse-ressort-amortisseur
Pr. M. Jamal
23
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a) Oscillateur harmonique électrique: Circuit électrique oscillant RLC
Pr. M. Jamal
Calcul de la réponse vibratoire s(t) du système Masse-Ressort-Amortisseur
Résolution de l'équation d'évolution :
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* C'est une équation différentielle du second ordre à coefficients constants avec second membre (s(t)= x(t) ou q(t),...) est l'inconnue
**Méthodologie de résolution
La solution générale est:
où
est la solution générale de l'équation homogène (Sans Second Membre: SSM):
s(t) est qualifiée de"régime propre du système" (ou régime transitoire).
Pr. M. Jamal
25
25
sASM (t) constitue le "régime forcé" (ou régime permanent).
sASM(t) est une solution particulière de l'équation Avec Second Membre( ASM):
Sa forme est choisie en s'inspirant de celle de F(t).
Pr. M. Jamal
Recherche de la solution générale sSSM(t) de l'équation homogène
26
26
On cherche une solution de la forme:
où A est une constante et p un nombre complexe ou réel.
En insérant cette expression de sSSM dans
on obtient l'équation caractéristique:
c'est un polynôme du deuxième degré en p, de racines p1 et p2.
Pr. M. Jamal
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ayant comme solution:
qui dépend des racines p1 et p2 de l'équation caractéristique suivant le signe du discriminent :
Trois cas à distinguer :
(
i) ( ) : cas d'un amortissement faible.
Pr. M. Jamal
28
28
Les racines de :
sont complexes conjuguées:
La solution générale sSSM(t) s'écrit:
où c1, c2, c3, c4, C et ф
sont des constantes à déterminer par les conditions initiales.
i) ( ) : cas d'un amortissement faible.
Pr. M. Jamal
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On a les relations:
La solution sSSM (t) représente un mouvement oscillatoire exponentiellement amorti ( c'est le régime pseudo-périodique). Le mouvement est pseudo-périodique de pseudo- période :
où
est la pseudo-pulsation.
Pr. M. Jamal
ii) : ( Cas d'un amortissement fort )
30
30
Les racines de : sont réelles:
La solution générale sSSM(t) est exprimée par:
Cette solution représente un mouvement apériodique. C'est le régime apériodique.
Pr. M. Jamal
iii) : ( (Cas d'un amortissement critique )
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Les racines de : sont double:
La solution générale sSSM(t) est exprimée par:
où les constantes A et B sont des constantes d'intégration.
C'est le régime critique.
(
Pr. M. Jamal
Représentation graphique des trois solutions
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Pr. M. Jamal
Mesure expérimentale du coefficient d'amortissement visqueux r
Décrément logarithmique
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33
La mesure du coefficient d'amortissement visqueux r s'obtient à partir du décrément logarithmique
Le décrément logarithmique est mesuré à partir du rapport de deux amplitudes maximales:
Pr. M. Jamal
34
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,
se réduit à :
En mesurant
permet d'obtenir r:
Dans le cas d'un amortissement faible:
pour
Pr. M. Jamal
Recherche de la solution particulière de l'équation inhomogène
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Cas d'un excitation harmonique
La force extérieure F(t) dans ce cas est de la forme:
où F0 est l'amplitude de la force extérieure et est sa pulsation.
L'équation des oscillations est:
La solution particulière sASM(t) de (II.26) est cherchée sous la forme:
Pr. M. Jamal
36
36
où sm est l'amplitude de la réponse sASM(t) et
est le déphasage de la réponse par rapport à la force excitatrice.
Calcul de
et de sm
et
en substituant
dans
on obtient :
Pr. M. Jamal
37
37
La solution générale dans le cas d'un amortissement faible est:
Remarques:
i) Le premier terme décroît exponentiellement avec le temps (régime transitoire), de sorte qu'au bout d'un intervalle de temps assez long, il ne reste que le second terme (régime permanent).
ii) Bien que l'expression , qui donne l'amplitude sm d'une oscillation forcée, croisse lorsque les pulsations
et
se rapprochent et ne tend pas vers l'infini.
Le maximum de
s'obtient de:
Pr. M. Jamal
38
38
est maximale pour
égale à la pulsation de résonance
donnée par:
la valeur maximale de
est :
Il y a résonance (amplitude tend vers l'infini) pour : r=0 et
dans ce cas