Теорема Вієта.
Зверніть увагу!
залежно від значення дискримінанта квадратне рівняння:
— має два різні корені, якщо D > 0;
— має два рівні корені, якщо D = 0,
— не має коренів, якщо D < 0.
aх2 + bх + c = 0;
Розв’яжіть рівняння: х2 − 5х + 6 = 0.
Якщо в рівнянні x2 + px + q = 0 коефіцієнти p i q — цілі числа і його корені х1 і x2 також є цілими числами, то корені х1 і х2 є дільниками вільного члена q.
За теоремою Вієта: х1 + х2 = 5,
х1 · х2 = 6.
Знаходимо пари дільників числа 6: –6 і –1, –3 і –2, 6 і 1, 3 і 2.
Обираємо пару дільників, сума яких
дорівнює числу 5: 3 і 2.
Отже: х1 = 3, х2 = 2.
Один із коренів рівняння х2 + pх + 28 = 0 дорівнює 4. Знайдіть другий корінь і коефіцієнт p.
За теоремою Вієта: | х1 + х2 = – p, х1 · х2 = 28. |
Знаходимо другий корінь: | х2 = 28 : х1 = 28 : 4 = 7 |
Знаходимо коефіцієнт p: | – p = х1 + х2 = 4 + 7 = 11; p = – 11. |
Отже: х2 = 7; p = – 11.
Чи можна застосувати теорему Вієта до повного квадратного рівняння ax2 + bx + c = 0?
Так.
Запам’ятайте!
Запишіть зведене квадратне рівняння, коренями якого є числа −4 і 1.
Знаходимо суму коренів: | x1 + x2 = –4 + 1 = –3, |
Знаходимо добуток коренів: | x1 · x2 = –4 · 1 = –4, |
Знаходимо коефіцієнти зведеного квадратного рівняння x2 + px + q = 0: | p = 3, q = −4, |
Шукане рівняння: | x2 + 3x – 4 = 0. |
Доведіть, що для зведеного квадратного рівняння х2 + px + q = 0 виконується рівність: х1² + х2² = p² - 2q, де х1, х2 — корені квадратного рівняння.
У лівій частині даної рівності виділимо квадрат двочлена:
За теоремою Вієта,
х1 + х2 = - p і х1 · х2 = q.
Тоді х1² + х2² = p² - 2q
Отже, рівність доведено.
х1 + х2 = -13;
х1 · х2 = 22.
х1 + х2 = - p,
х1 · х2 = q,
25х2 + 40х - 4 = 0;
Відповідь: -13 і 22.
Двадцять сьоме лютого�Класна робота�Теорема Вієта
Зведене квадратне рівняння
х2 + px + q = 0,
х1 + х2 = - p,
х1 · х2 = q,
1) p = -(2 + 5) = -7;
q = 2 · 5 = 10.
х2 - 7x + 10 = 0.
2) p = -(-6 + 3) = 3;
q = -6 · 3 = -18.
х2 + 3x - 18 = 0.
3) p = -(-1 + 7) = -6;
q = -1 · 7 = -7.
х2 - 6x - 7 = 0.
4) p = -(-8 + (-2)) = 10;
q = -8 · (-2) = 16.
х2 + 10x + 16 = 0.
Зведене квадратне рівняння
х2 + px + q = 0,
х1 + х2 = - p,
х1 · х2 = q,
1) х1 · х2 = q,
х2 = q : х1,
х2 = 33 : 3= 11,
2) х1 + х2 = - p,
p= -(х1 + х2),
p= -(11 + 3) = -14.
х2 - 14x + 33 = 0.
Відповідь: 11 і -14.
1) х1 + х2 = - p,
х2 = - p - х1,
х2 = - (-10) – (-3),
х2 = 13;
2) х1 · х2 = q,
q = 13·(-3)= -39.
Відповідь: 13 і -39.
х2 - 10x - 39 = 0.
1) х1 + х2 = - p,
За умовою х1 = 2х2.
2х2 + х2 = 9,
3х2 = 9,
х2 = 9:3,
х2 = 3.
х1 = 2·3 =6.
2) х1 · х2 = q,
q = 6 · 3 = 18.
Відповідь: 6; 3 і 18.
х2 - 9x + 18 = 0.
х1 + х2 = - p,
х1 · х2 = q,
х1 · х2 = -12.
1) х1² + х2² =
х1² + 2х1х2 +х2² - 2х1х2 =
(х1 + х2)² - 2х1х2.
ПРИГАДАЙТЕ ГОЛОВНЕ
Сформулюйте теорему Вієта для зведеного квадратного рівняння.
Яка особливість теореми Вієта для повного квадратного рівняння?
Яка особливість теореми Вієта для повного квадратного рівняння?
15.02.2026
Сьогодні
Опрацюй презентацію.
Вивчити §22.
Виконати №22.15, 22.19
ЧЕКАЮ ФОТО
РЕФЛЕКСІЯ
Мені було цікаво …
Я вмію …
Я можу …
ДЯКУЮ ЗА УВАГУ!