21.05.2025
Сьогодні
Урок
№ 64
Елементарні геометричні
фігури та їхні властивості.
Взаємне розміщення прямих на площині
Геометрія
Повторення і систематизація навчального матеріалу
21.05.2025
Сьогодні
Організація класу
Любі учні, добрий день!
Зичу праці і старання!
А ще, друзі, всім бажаю
Справдити всі сподівання!
21.05.2025
Сьогодні
Перевірка домашнього завдання
Перевіряємо
домашнє
завдання
21.05.2025
Сьогодні
Повідомлення теми уроку та мотивація навчально-пізнавальної
діяльності учнів
Мета уроку:�узагальнення і систематизація знань з теми «Елементарні геометричні фігури», «Взаємне розміщення прямих на площині»; закріплення практичних вмінь та навиків побудови фігур та кутів
Online завдання
21.05.2025
Сьогодні
Відскануй QR-код або натисни жовтий круг!
21.05.2025
Сьогодні
Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь
Повторимо…
Геометрія
– це наука про властивості геометричних фігур
Планіметрія
— розділ геометрії, що вивчає фігури в межах однієї площини.
Стереометрія
— розділ геометрії, що вивчає фігури в просторі.
Аксіома – це твердження, яке вважається правильним без доведення.
Теорема - твердження, істинність якого встановлюється шляхом доказу.
21.05.2025
Сьогодні
Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь
Точка
— найпростіша геометрична фігура
З точок складаються всі інші геометричні фігури
Будь - яка множина точок є геометричною фігурою
21.05.2025
Сьогодні
Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь
Пряма — це геометрична фігура, що не має ні початку, ні кінця, ми можемо накреслити тільки частину прямої, але її можна продовжити в обидві сторони.
Яка б не була пряма існують точки, які їй належать, і точки, які їй
не належать
Через будь-які дві точки можна провести пряму і до того ж тільки одну
3 трьох точок на прямій одна і тільки одна лежить між двома іншими
АКСІОМИ:
21.05.2025
Сьогодні
Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь
Дві прямі, які мають спільну точку,
називають такими, що перетинаються.
Будь-які дві прямі, що перетинаються, мають тільки одну спільну точку.
Теорема:
Доведення. Нехай прямі a і b, що перетинаються, крім спільної точки A, мають ще одну спільну точку B (рис.). Тоді через дві точки A і B проходять дві прямі. А це суперечить основній властивості прямої. Отже, припущення про існування другої точки перетину прямих a і b неправильне
21.05.2025
Сьогодні
Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь
Променем називається частина прямої, яка складається
з точки на прямій та всіх її точок, що лежать по один бік від
даної точки.
Два промені, які мають спільний початок і доповнюють один одного до прямої називають доповняльними
21.05.2025
Сьогодні
Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь
Вимірювання відрізків
Відрізком називають частину прямої, яка складається з усіх
точок цієї прямої, що лежать між двома її точками разом із
цими точками. Ці точки називають кінцями відрізка.
Кожний відрізок має певну довжину, більшу за нуль. Одиницями вимірювання довжини є
1 мм, 1 см, 1 дм, 1 м, 1 км.
●
●
●
С
В
К
21.05.2025
Сьогодні
Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь
Два відрізки називають рівними,
якщо рівні їхні довжини.
Довжина відрізка дорівнює сумі довжин частин, на які він
розбивається будь-якою його внутрішньою точкою.
СК = СВ + ВК
●
●
●
С
В
К
●
●
M
N
внутрішня
точка відрізків, які перетинаються
Точку відрізка, яка ділить його навпіл, тобто на два рівних між собою відрізки, називають серединою відрізка.
АВ=СD
JK=KL
21.05.2025
Сьогодні
Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь
Опрацюй і запам’ятай…
Кути – це така ж характеристика фігури, як сторони, периметр або площа. За допомогою кутів можна зрозуміти, яка фігури перед нами і який саме її вид. Що таке кут? Існує три визначення кута. Розглянемо кожне з них, виберемо найбільш просте і зрозуміле.
21.05.2025
Сьогодні
Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь
Одиниця вимірювання кутів
21.05.2025
Сьогодні
Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь
Опрацюй і запам’ятай…
Кут має вершину і промені, які виходять з даної вершини. А також внутрішню і зовнішню частини.
Назви кути та їх градусну міру, що ти бачиш на малюнку.
внутрішня
область ∠𝛼
зовнішня
область ∠𝛼
21.05.2025
Сьогодні
Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь
Види кутів
Кути, величина яких менше 90°, називаються гострими.
Кути, величина яких більше 90°, називаються тупими.
Кути, величина яких дорівнює 90°, називаються прямокутними.
Кути, величина яких 180°, називаються розгорнутими.
21.05.2025
Сьогодні
Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь
Транспортир використовують і для побудови кутів. Побудуємо кут AOB, градусна міра якого дорівнює 50°. Для цього:
1) позначимо довільну точку O;
2) проведемо промінь OB;
3) прикладемо транспортир так, щоб центр транспортира збігався з точкою O, а промінь OB пройшов через початок відліку на шкалі;
4) позначимо точку A проти штриха 50° на шкалі;
5) проведемо промінь OA.
Отримали ∠AOB, ∠AOB = 50°.
Побудова кута заданої градусної міри
А
О
В
21.05.2025
Сьогодні
Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь
Два кути називають між собою рівними, якщо їх можна накласти один на одного так, щоб вони збігалися.
Рівні між собою кути мають однакові градусні міри.
Порівняння кутів
З двох кутів більший той, міра якого більша. Якщо ∠РАС = 130° і ∠СAB = 50°, то
∠РАС > ∠СAB.
А
Р
С
В
21.05.2025
Сьогодні
Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь
Бісектриса кута
Бісектриса кута — промінь, що проходить через вершину кута і ділить його навпіл.
21.05.2025
Сьогодні
Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь
Алгоритм побудови бісектриси кута
Щоб побудувати бісектрису кута треба:
21.05.2025
Сьогодні
Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь
Повторимо…
Дві прямі називаються перпендикулярними, якщо вони
перетинаються під прямим кутом (900).
Записують: АВ⟂CD, а на малюнку ставлять знак прямого кута ⦜ . Говорять: «Пряма АВ перпендикулярна СD».
Якщо АВ ⟂ CD, то і CD ⟂ АВ, тобто прямі АВ і CD взаємно перпендикулярні.
21.05.2025
Сьогодні
Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь
Властивість перпендикулярних прямих
Скільки прямих, перпендикулярних до даної прямої, можна провести через задану на ній точку?
На малюнках ви бачите, як за допомогою транспортира і лінійки будують перпендикулярні прямі
Лише одну
21.05.2025
Сьогодні
Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь
Властивість перпендикулярних прямих
Теорема . Через кожну точку прямої можна
провести пряму, перпендикулярну до даної, і до того ж тільки одну.
Доведення. За умовою прямі АВ і OD перпендикулярні. Тому ∠BOD = 90°. Припустимо, що існує інша пряма, наприклад, ОС, яка проходить через точку О і перпендикулярна до АВ. Тоді одержимо два кути BOD і ВОС, кожний з яких дорівнює 90°. Але, за властивістю відкладання кутів, від променя ОВ по один бік від нього можна відкласти тільки один кут, що дорівнює 90°. Тому не може бути іншої прямої, крім OD, яка проходить через точку О і перпендикулярна до прямої АВ.
А
21.05.2025
Сьогодні
Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь
Відрізки AB і CD перпендикулярні.
Записують: AB ⊥ CD
Два відрізки називають перпендикулярними, якщо вони лежать на перпендикулярних прямих.
21.05.2025
Сьогодні
Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь
Перпендикуляром, проведеним із даної точки до даної прямої, називається відрізок, перпендикулярний до неї, який має кінці в даній точці й точці на даній прямій. Точка на даній прямій називається основою перпендикуляра
Довжину перпендикуляра AB називають відстанню від точки A до прямої a. Якщо точка A належить прямій a, то природно вважати, що відстань від точки A до прямої a дорівнює нулю.
21.05.2025
Сьогодні
Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь
Дві прямі на площині називаються
паралельними, якщо вони не перетинаються
Записують: АВ || CD або CD || АВ і говорять: «Пряма АВ паралельна прямій CD»
Побудова паралельних прямих
21.05.2025
Сьогодні
Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь
Властивість паралельних прямих
Аксіома паралельних прямих (Евкліда)
Через точку, що не лежить на даній прямій, можна провести тільки одну пряму, паралельну даній.
Наслідок. Якщо пряма перетинає одну з двох паралельних прямих, то вона перетинає й іншу пряму.
21.05.2025
Сьогодні
Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь
Паралельні відрізки та промені
Відрізки або промені називають паралельними, якщо вони
лежать на паралельних прямих.
21.05.2025
Сьогодні
Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь
Доведення від супротивного
Довести, що коли пряма перетинає одну з двох паралельних прямих, то вона перетинає і другу пряму
Доведення. Нехай а і b - паралельні прямі і пряма с перетинає пряму b в точці К; (див, мал.).
1) Припустимо, що пряма с не перетинає
пряму а, тобто с || а.
2) Отже, через точку К проходять дві прямі с і b, які обидві паралельні прямій а. Це суперечить аксіомі паралельності прямих.
3) Отже, наше припущення є хибним, значить, правильним є те, що пряма с перетинає пряму а. Твердження доведено.
21.05.2025
Сьогодні
Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь
Кути, утворені при перетині прямих січною
Якщо дві прямі a і b перетнути третьою прямою c, то утвориться вісім кутів .
Пряму c називають січною прямих a і b.
Кути 3 і 6, 4 і 5 називають односторонніми.
Кути 3 і 5, 4 і 6 називають різносторонніми.
Кути 6 і 2, 5 і 1, 3 і 7, 4 і 8 називають відповідними
21.05.2025
Сьогодні
Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь
Кути, утворені при перетині прямих січною
Теорема. Якщо різносторонні кути, утворені при перетині двох прямих січною, рівні, то прямі паралельні.
21.05.2025
Сьогодні
Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь
Теорема. Якщо сума односторонніх кутів,
утворених при перетині двох прямих січною, дорівнює 180°, то прямі паралельні.
Доведення. На рисунку пряма c є січною прямих a і b, ∠1 + ∠ 2= 180° . Доведемо, що a і b паралельні.
Кути 1 і 3 суміжні, отже, ∠1 + ∠3 =180 °. Оскільки ∠ 1 + ∠2 = 180° , то ∠ 2= ∠ 3.
А кути 2 і 3 є різносторонніми, тому за теоремою
a і b паралельні.
21.05.2025
Сьогодні
Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь
Теорема. Якщо відповідні кути, утворені
при перетині двох прямих січною, рівні, то прямі
паралельні.
Доведення. На рисунку пряма c є січною
прямих a і b, ∠ 1= ∠ 2. Доведемо, що a ∥ b .
Кути 1 і 3 рівні як вертикальні. Оскільки ∠1 = ∠ 2
і ∠1 = ∠ 3, то ∠ 2= ∠ 3. Але кути 2 і 3 є різносторонніми. Тому за ознакою паралельності двох прямих a∥ b.
21.05.2025
Сьогодні
Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь
Властивості паралельних прямих
Теорема1. Дві прямі, паралельні третій прямій, паралельні одна одній.
Теорема 2. (властивість відповідних кутів, що утворилися при перетині паралельних прямих січною). Відповідні кути, що утворилися при перетині паралельних прямих січною, рівні між собою
Властивість відповідних кутів, що утворилися
при перетині паралельних прямих січною
а
b
с
21.05.2025
Сьогодні
Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь
Властивість внутрішніх різносторонніх кутів, утворених
при перетині паралельних прямих січною
Наслідок 1 . Внутрішні різносторонні кути, утворені при перетині паралельних прямих січною, рівні між собою.
Наслідок 2 . Сума внутрішніх односторонніх кутів, утворених при перетині паралельних прямих січною, дорівнює 180°.
Властивість внутрішніх односторонніх кутів,
утворених при перетині паралельних прямих січною
21.05.2025
Сьогодні
Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь
Опрацюй і запам’ятай…
21.05.2025
Сьогодні
Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь
то прямі паралельні
Якщо при перетині цих прямих січною
внутрішні
різносторонні
кути рівні
відповідні
кути рівні
внутрішні
односторонні
в сумі дорівнюють
180°
Ознака паралельності прямих
Пряма та обернена теорема в геометрії
21.05.2025
Сьогодні
Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь
Якщо прямі паралельні
то при перетині цих прямих січною
внутрішні
різносторонні
кути рівні
відповідні
кути рівні
внутрішні
односторонні
в сумі дорівнюють
180°
Властивість кутів , утворених при перетині
паралельних прямих січною
21.05.2025
Сьогодні
Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь
Математична розминка
На малюнку: ∠AOC = ∠BOD. OL і ОР - бісектриси кутів AOD і СОВ. Порівняйте кути:
1) AOL і СОР; 2) LOP і АОС.
Нехай ∠AOC = ∠BOD = х; ∠AOL = ∠LOD = у; ∠COP= ∠POB = z.
1) ∠AOC = ∠DOC + 2у; ∠DOC = х – 2у;
∠BOD = ∠DOC + 2z; ∠DOC = х – 2z.
Тому х – 2у = x – 2z; 2y = 2z; y = z.
Отже, ∠AOL = ∠COP.
2) ∠LOP = у + ∠DOC + z = 2y + ∠DOC;
∠AOC = 2y + ∠DOC. Тому ∠LOP = ∠AOC.
Відповідь: 1) ∠AOL = ∠COP; 2) ∠LOP = ∠AOC.
Розв’язання:
21.05.2025
Сьогодні
Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь
Точки А, В і С належать прямій а, причому точка В лежить між точками А і С. Відомо, що АС < 1,9АВ. Порівняйте довжини відрізків ВС і АВ.
Математична розминка
Оскільки AC < 1,9AB, то
AB + BC < 1,9АВ;
BC < 1,9AB – AB;
BC < 0,9AB.
Але 0,9AB < AB. Тому BC < AB.
Відповідь: BC < AB.
Розв’язання:
a
A
B
C
Всі ми звикли до порядку,
Дружно робимо зарядку.
Працювали всі ми вправно
Робим вправи дуже гарно:
21.05.2025
Сьогодні
І направо, і наліво,
Щоб нічого не боліло.
Один і два, три і чотири —
Набираємося сили.
Нахилились, повернулись,
До товариша всміхнулись.
Віршована фізкультхвилинка
21.05.2025
Сьогодні
Рухлива вправа
21.05.2025
Сьогодні
Закріплення матеріалу
1-4
рівень
Самостійна робота
21.05.2025
Сьогодні
Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь
Яка з точок на малюнку належить і прямій с, і прямій d?
А. K Б. L В. M Г. N
Завдання №1
Перевірте себе…
21.05.2025
Сьогодні
Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь
Укажіть кут що є прямим:
А. ∠P = 180° Б. ∠M = 20°�В. ∠N = 110° Г. ∠F = 90°
Завдання №2
21.05.2025
Сьогодні
Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь
Укажіть пару кутів, які можуть бути суміжними:
А. 13° і 177° Б. 144° і 26°�В. 155° і 25° Г. 54° і 125°
Завдання №3
21.05.2025
Сьогодні
Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь
Точка M належить відрізку AB. Знайдіть довжину відрізка MB, якщо
AB = 6,3 см, AM = 2,7 см.
Завдання №4
21.05.2025
Сьогодні
Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь
Прямі MN i AB перетинаються в точці O, ∠MOA = 129°. Знайдіть кут між прямими MN i AB.
Завдання №5
21.05.2025
Сьогодні
Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь
Накресліть кут, градусна міра якого дорівнює 50°, та проведіть його бісектрису.
Завдання №6
21.05.2025
Сьогодні
Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь
Точки K i L належать відрізку CD, довжина якого дорівнює 40 см. Знайдіть довжину відрізка KL, якщо CL = 30 см, DK = 17 см.
Завдання №7
21.05.2025
Сьогодні
Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь
Знайдіть суміжні кути, якщо один з них на 22° більший за другий.
Завдання №8
21.05.2025
Сьогодні
Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь
Точки M, N i L лежать на одній прямій. Знайдіть довжину відрізка MN, якщо ML = 5,4 см, NL = 8,3 см. Скільки розв’язків має задача?
Завдання №9
21.05.2025
Сьогодні
Гімнастика для очей
21.05.2025
Сьогодні
Закріплення матеріалу
Відрізок KL, довжина якого 11,6 см, поділено на три частини. Довжина однієї з них на 2,4 см менша від довжини другої і вдвічі менша від довжини третьої. Знайдіть довжину меншої із цих частин.
ЗАДАЧІ ПІДВИЩЕНОЇ
СКЛАДНОСТІ
21.05.2025
Сьогодні
Закріплення матеріалу
Розв’язання.
Нехай довжина першої - x, тоді другої – (x + 2,4),
тоді третьої - 2x.
x + x + 2,4 + 2x = 11,6
4х = 11,6 – 2,4
4x = 9,2
х = 9,2 : 4
x = 2,3 (см) – довжина першої частини.
х + 2,4 = 2,3 + 2,4 = 4,7 (см) – довжина другої частини.
2х = 2 · 2,3 = 4,6 (см) – довжина третьої частини.
Відповідь: довжина меншої із частин складає 2,3 см.
ЗАДАЧІ ПІДВИЩЕНОЇ
СКЛАДНОСТІ
K
L
21.05.2025
Сьогодні
Закріплення матеріалу
Скільки різних прямих можна провести через чотири точки так, щоб кожна пряма проходила щонайменше через дві із заданих точок? Розгляньте всі можливі випадки.
До кожного зробіть малюнок.
ЦІКАВА
МАТЕМАТИКА
21.05.2025
Сьогодні
Закріплення матеріалу
Розв’язання
ЦІКАВА МАТЕМАТИКА
І випадок. Чотири точки лежать на одній прямій. Можна провести одну пряму.
II випадок. Три точки з чотирьох даних лежать на одній прямій. Можна провести чотири прямі.
III випадок. Жодні три з чотирьох даних точок не лежать на одній прямій. Можна провести шість прямих.
А
В
С
D
А
В
С
D
А
В
С
D
21.05.2025
Сьогодні
Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь
1. Поясніть, що таке відрізок.
2. Що таке промінь?
3. Що таке доповняльні промені?
4. Що таке кут?
5. Дайте означення бісектрисі кута.
6. Який кут називається гострим; прямим; тупим; розгорнутим?
7. У яких одиницях вимірюють відрізки?
У яких одиницях вимірюють кути?
8. Які відрізки називаються рівними?
9. Які кути називаються рівними?
Питання для Розумників
21.05.2025
Сьогодні
Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь
10. Сформулюйте властивість розміщення точок на прямій.
11. Сформулюйте властивість відкладання відрізків.
12. Сформулюйте властивість відкладання кутів.
13. Сформулюйте властивість вимірювання відрізків.
14. Сформулюйте властивість вимірювання кутів.
15. Що називається відстанню між двома точками?
Питання для Розумників
21.05.2025
Сьогодні
Завдання для домашньої роботи
Повторити сторінки підручника 7-26.
Виконати завдання с. 202, №1,4.
21.05.2025
Сьогодні
Рефлексія. Вправа «Допитлива квіточка»
Про що нове ти сьогодні дізнався?
Що ти сьогодні виконав?
Яке завдання сподобалось
найбільше?
Чим ти сьогодні допоміг іншим?
Над чим ще потрібно подумати?
1.
2.
3.
4.
5.