Геометрия �Лобачевского
Выполнила: Репникова Лариса,
ученица 9 Б класса
МУНИЦИПАЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ГОРОДА РОСТОВА-НА-ДОНУ «ШКОЛА № 86 ИМЕНИ ГЕРОЯ СОВЕТСКОГО СОЮЗА ПЕСКОВА ДМИТРИЯ МИХАЙЛОВИЧА»
Содержание
7. Вывод.
8. Источники.
Введение
Геометрия Лобачевского (гиперболическая геометрия) — одна из неевклидовых геометрий, основанная на тех же основных посылках, что и обычная евклидова геометрия, за исключением аксиомы о параллельных, которая заменяется на аксиому о параллельных Лобачевского.
Лобачевский строил свою геометрию, отправляясь от основных геометрических понятий и своей аксиомы, и доказывал теоремы геометрическим методом, подобно тому, как это делается в геометрии Евклида. Основой служила теория параллельных линий, так как именно здесь начинается отличие геометрии Лобачевского от геометрии Евклида. Все теоремы, не зависящие от аксиомы о параллельности, общим объёмом геометрии, и образуют так называемую абсолютную геометрию, к которой относятся, например, теоремы о равенстве треугольников. Вслед за теорией параллельности строились другие разделы, включая тригонометрию и начала аналитической и дифференциальной геометрии. Десятки работ ежегодно публикуются в этой области. Современные исследования все больше требуют делового владения геометрией Лобачевского.
Я выбрала данную тему по нескольким причинам:
1) Теория геометрии Лобачевского помогает взглянуть по-другому на окружающий нас мир.
2) Это интересный, необычный и прогрессивный раздел современной геометрии.
3) Она дает материал для размышлений – в ней не все просто, не все ясно с первого взгляда, чтобы ее понять, нужно обладать фантазией и пространственным воображением.
Работая над данным проектом, я поставила перед собой такие задачи, как рассмотреть историю возникновения неевклидовой геометрии, познакомиться с личностью Лобачевского и его работой и определить значение геометрии Лобачевского в современной науке.
Цель моего исследования состоит в том, чтобы выяснить, действительно ли верна геометрия Лобачевского.
Величайший русский математик, создатель �неевклидовой геометрии
Николай Иванович Лобачевский
Николай Иванович Лобачевский родился 20 ноября (1 декабря) 1792 г., в Нижнем Новгороде, в семье чиновника геодезического департамента, И. М. Лобачевского. В 1802 г. поступил в Казанскую гимназию и закончил её в 1806 г. Особенно хорошие знания он показал в области математики, а также французского, немецкого и латинского языков.�В те годы в гимназии преподавал Г. И. Карташевский. Именно благодаря ему у Николая пробудился интерес к математике.��В феврале 1807 г. юный Лобачевский стал студентом Императорского Казанского училища.
Университет Лобачевский окончил в 1811 г. Получив степень магистра по физике и математике, он был оставлен при университете. Летом 1811 г. он, совместно с И. М. Симоновым, наблюдал комету. В октябре этого же года принялся за изучение работ Гаусса и Лапласа. Это способствовало началу самостоятельных поисков. В конце 1811 г. Лобачевский Николай Иванович представил свою работу “Теория эллиптического движения небесных тел”. В 1813 г. он написал еще одно исследование – “О разрешении алгебраического уравнения”.
Законы движения искусственных тел
Пятый постулат Евклида
«Если сумма внутренних углов с общей стороной, образованных двумя прямыми при пересечении их третьей, с одной из сторон от секущей меньше 180°, то эти прямые пересекаются, и притом по ту же сторону от секущей».
В начале XIX в. в «сражение против пятого постулата» вступил русский математик профессор Казанского университета Николай Иванович Лобачевский. Он был исключительно талантлив и настойчив. Первое время Лобачевский шёл тем же путём, что и его предшественники, т.е. пытался рассуждать от противного. Допустив, что пятый постулат неверен, а остальные аксиомы справедливы, мы рано или поздно придем к противоречию. Этим противоречием он и будет доказан.
Многие математики, жившие после Евклида, пытались доказать, что эта аксиома (пятый постулат) – лишняя, т.е. эта аксиома может быть доказана, как теорема на основании остальных аксиом. Так в V веке математик Прокл (первый комментатор трудов Евклида) предпринял такую попытку. Однако в своём доказательстве Прокл незаметно для себя использовал следующее утверждение: два перпендикуляра к одной прямой на всём своём протяжение находятся на ограниченном расстоянии друг от друга.
Лобачевский доказывает (всё в том же предложении о неверности пятого�постулата), что две параллельные прямые неограниченно сближаются друг с�другом в сторону параллельности, но в обратном направлении они�неограниченно удаляются друг от друга. А две расходящиеся прямые�имеют единственный общий перпендикуляр, по обе стороны от которого они�неограниченно удаляются друг от друга.
Интересный вариант расположения трех прямых на плоскости Лобачевского: каждые две из них взаимно параллельны (только в разных направлениях). Все прямые параллельны друг другу в одном направлении (пучок параллельных прямых). Красная линия «перпендикулярна» всем проведенным прямым. Эта линия называется предельной окружностью, или орициклом. Прямые рассмотренного пучка являются как бы ее «радиусами», а «центр» предельной окружности лежит в бесконечности, поскольку «радиусы» параллельны.
Так как в геометрии Лобачевского параллельность сохраняется только в одном направлении, то сумма углов треугольника меньше 180. Эта разница была названа Лобачевским дефектом треугольника. Разность между суммой углов треугольника и 180° пропорциональна площади треугольника.
Модель в круге �(модель Кэли-Клейна)�������Плоскость - внутренность круга, прямая - хорда круга. Через точку Р проходит бесконечно много «прямых», не пересекающих «прямой» а.
Модель на псевдосфере�����Псевдосфера образуется вращением линии FCE, которая называется трактриссой, вокруг ее оси АВ. На псевдосфере выполняется аксиома Лобачевского о параллельных прямых, сумма углов треугольника меньше 180 градусов.
Модель Пуанкаре
Предложена Анри Пуанкаре в 1882 году, в связи с задачами теории функции комплексного переменного.
Существуют разновидности модели – в круге и на полуплоскости для планиметрии Лобачевского, а так же в шаре и полупространстве – для стереометрии Лобачевского.
За плоскость Лобачевского принимается внутренность круга (изображено на иллюстрации) в евклидовом пространстве; граница данного круга (окружность) называется «абсолютом». Роль геодезических прямых выполняют содержащиеся в этом круге дуги окружностей (a, b, b'), перпендикулярных абсолюту, и его диаметры; роль движений — преобразования, получаемые комбинациями инверсий относительно окружностей, дуги которых служат прямыми.
Сферическая геометрия��Прямые – это меридианы, следовательно, все прямые пересекаются в одной точке – на экваторе. Сферическая геометрия. На сфере сумма углов треугольника больше 180 °. Например, треугольник, образованный дугами двух меридианов и экватора на глобусе имеет два прямых угла!
���Геометрия Лобачевского имеет обширные применения как в математике, так и в физике. Историческое её значение состоит в том, что её построением Лобачевский показал возможность геометрии, отличной от евклидовой, что знаменовало новую эпоху в развитии геометрии и математики вообще.��- Сам Лобачевский применил свою геометрию к вычислению определённых интегралов.�- В теории функций комплексного переменного геометрия Лобачевского помогла построить теорию автоморфных функций. Связь с геометрией Лобачевского была здесь отправным пунктом исследований Пуанкаре, который писал, что «неевклидова геометрия есть ключ к решению всей задачи».�- Геометрия Лобачевского находит применение также в теории чисел, в её геометрических методах, объединённых под названием «геометрия чисел».�- Замечательное приложение геометрия Лобачевского нашла в общей теории относительности. Если считать распределение масс материи во Вселенной равномерным (это приближение в космических масштабах допустимо), то оказывается возможным, что при определённых условиях пространство имеет геометрию Лобачевского. Т. о., предположение Лобачевского о его геометрии как возможной теории реального пространства оправдалось.�- При помощи модели Клейна, даётся очень простое и короткое доказательство теоремы о бабочке в евклидовой геометрии.
Применение геометрии Лобачевского
���Как показали исследования, геометрия Лобачевского (в том числе и 5-ый постулат) совершенно верна, если ее рассматривать не на плоскости, а на поверхности гиперболического параболоида (вогнутой поверхности, напоминающей седло).��Отметим, что в настоящее время геометрия широко используется в самых разнообразных разделах естествознания: в физике, химии, биологии и т. д. Неоценимо ее значение в прикладных науках: в машиностроении, геодезии, картографии. Методы геометрии широко применяются практически во всех разделах науки и техники и конечно же в самой математике.��Любая теория современной науки считается единственно верной, пока не создана следующая. Это своеобразная аксиома развития науки.
Вывод
���
Источники:
1. А. Д. Александров, А. Л. Вернар, В. И. Рыжик, Геометрия М: Просвещение, 1991.
2. Прасолов В.В. Геометрия Лобачевского. М.: Изд–во МК НМУ, 1995.
3. Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия. Ч.II. Просвещение, 1998
4. История математики в школе: Г.И. Глейзер. – М.: Просвещение, 1983.
5. https://ru.wikipedia.org/wiki/