Sistem Persamaan Linear� Tiga Variabel (SPLTV)
Defi Imamatus Sholikha, S.Pd.
Definisi & Komponen
SPLTV adalah sistem persamaan linear yang melibatkan tiga variabel berpangkat satu.
Keterangan Simbol
Setiap komponen persamaan memiliki peran penting:
Himpunan Penyelesaian (HP) dinyatakan dalam pasangan terurut (x, y, z) yang memenuhi ketiga persamaan sekaligus.
x, y, z : Variabel yang dicari nilainya
a, b, c : Koefisien real (tidak boleh bernilai 0 bersamaan)
d₁, d₂, d₃ : Konstanta real pada ruas kanan
Bentuk Umum SPLTV
Metode Eliminasi
Menghilangkan salah satu variabel dengan cara menyamakan koefisien variabel tersebut melalui perkalian skalar, kemudian menjumlahkan atau mengurangkan kedua persamaan.
Metode Substitusi
Nyatakan salah satu variabel dalam bentuk variabel lain dari satu persamaan
(misal ), lalu substitusikan ke persamaan yang lain.
Metode Gabungan
Rekomendasi Utama TKA: Menggunakan metode eliminasi terlebih dahulu untuk menemukan variabel pertama, kemudian substitusi untuk menentukan variabel kedua.
Metode Penyelesaian SPLTV
Dalam Ujian TKA Matematika, efisiensi waktu adalah kunci utama. Terapkan langkah taktis berikut:
Pilih Variabel Mudah: Eliminasi variabel yang memiliki koefisien ±1 atau faktor terkecil terlebih dahulu.
Targetkan Pertanyaan: Jika soal meminta nilai (x + y + z), periksa apakah jumlah ketiga persamaan bisa langsung menghasilkan bentuk tersebut.
Substitusi Opsi Jawaban: Untuk soal pilihan ganda murni, lakukan uji titik (x,y,z) ke persamaan yang paling sederhana.
Strategi Cepat Pengerjaan TKA
Latihan Soal & Pembahasan
Pertanyaan Soal 1
Langkah Pembahasan
Soal 1
Diketahui x + 3y + 2z = 16, 2x + 4y – 2z = 12, dan x + y + 4z = 20. Tentukan nilai x, y, z!
Nyatakan persamaan dalam bentuk x ( cari persamaan yang paling sederhana), x + y + 4z = 20 x = 20 - y - 4z
Substitusikan variabel x ke persamaan lainnya (x + 3y + 2z = 16),
(20 - y - 4z) + 3y + 2z = 16 2y - 2z = -4 ...(persamaan baru 1),
Substitusikan variabel x ke persamaan lainnya (2x + 4y – 2z = 12)
2(20 - y - 4z) + 4y - 2z = 12 2y - 10z = -28 ...(persamaan baru 2),
Nyatakan “persamaan baru 1“ dalam bentuk y, sehingga
2y - 2z = -4 y = -2 + z
Substitusikan y = -2 + z ke “persamaan baru 2“, sehingga
2(-2 + z) - 10z = -28 -8z = -24 z = 3
Dari z = 3, maka didapat y = -2 + 3 = 1 dan x = 20 - 1 - 4(3) = 7
Jadi, nilai x, y, dan z berturut-turut adalah 7, 1, dan 3.
Pertanyaan Soal
Diketahui sistem persamaan berikut:
Tentukan nilai dari
Langkah Pembahasan
Eliminasi z dari (2) dan (3):
(2x - y + z) + (3x + y - z) = 6 + 4� ➔ 5x = 10 ➔ x = 2
Substitusi x = 2 ke (1) & (2):
Pers (1): 2 + 2y + z = 3 ➔ 2y + z = 1 --- (4)� Pers (2): 4 - y + z = 6 ➔ -y + z = 2 --- (5)
Kurangkan (4) & (5): 3y = -1 ➔ y = -1/3
Hitung z & Hasil: z = 5/3� Maka x + y + z = 2 - 1/3 + 5/3 = 10/3 (atau 3 ⅓)
Soal 2
Soal 3
Soal 4
Soal Cerita Alat Tulis
Ali, Budi, dan Cici membeli alat tulis di toko yang sama:
Berapakah harga masing-masing 1 buku, 1 pensil, dan 1 penghapus?
• Ali: 2 buku, 1 pensil, 1 penghapus = Rp12.000
• Budi: 1 buku, 2 pensil, 1 penghapus = Rp11.000
• Cici: 3 buku, 1 pensil, 2 penghapus = Rp18.000
Pemodelan Sistem
Misal: x = buku, y = pensil, z = penghapus
Penyelesaian Sistematis
Kurangkan (1) dan (2):
(2x + y + z) - (x + 2y + z) = 12.000 - 11.000� ➔ x - y = 1.000 --- (4)
Eliminasi z dari 2×(1) dan (3):
(4x + 2y + 2z) - (3x + y + 2z) = 24.000 - 18.000� ➔ x + y = 6.000 --- (5)
Hasil Akhir:� Dari (4) & (5): 2x = 7.000 ➔ x = Rp3.500 (Buku)� Substitusi: y = Rp2.500 (Pensil), z = Rp2.500 (Penghapus)
Pembahasan Soal
Soal 5
Rina, Deri, dan Lala akan berangkat ke sebuah pasar swalayan untuk membeli tas, baju, dan celana.
Rina membeli 3 tas, 1 baju, dan 2 celana dengan total harga Rp230.000,00.
Deri membeli 1 tas, 3 baju, dan 1 celana seharga Rp165.000,00.
Lala membeli 2 tas, 2 baju, dan 3 celana seharga Rp235.000,00.
Berapakah harga 1 tas, 1 baju, dan 1 celana?
Pembahasan Soal
Misal,
tas = variabel x, baju = variabel y, dan celana = variabel z.
Persamaan yang diperoleh,
3x + y + 2z = 230.000 ...(persamaan 1)
x + 3y + z = 165.000 ...(persamaan 2)
2x + 2y + 3z = 235.000 ...(persamaan 3)
Jika 3x + y + 2z = 230.000, maka y = 230.000 - 3x - 2z (substitusikan ke persamaan 2) x + 3(230.000 - 3x - 2z) + z = 165.000
-8x - 5z = -525.000 (persamaan 4)
Jika 3x + y + 2z = 230.000, maka y = 230.000 - 3x - 2z (substitusikan ke persamaan 3) 2x + 2(230.000 - 3x - 2z) + 3z = 235.000
-4x - z = -225.000 (persamaan 5)
Dari persamaan 5 didapat z = 225.000 - 4x, kemudian substitusikan ke persamaan 4 8x - 5(225.000 - 4x) = -525.000 x = 50.000
Jika x = 50.000, maka z = 225.000 - 4(50.000) = 25.000, dan
y = 230.000 - 3(50.000) - 2(25.000) = 30.000.
Jadi, harga sebuah tas adalah Rp50.000,00, sebuah baju seharga Rp30.000,00, dan sebuah celana seharga Rp25.000,00.
Soal 6
Soal 7
Soal 8