Підготовка до НМТ

з математики

Тема:

ГЕОМЕТРИЧНІ ПЕРЕТВОРЕННЯ (паралельне перенесення, симетрія відносно точки, прямої, площини)

Автор: Ільченко Олена Андріївна,

учитель математики

Краматорської ЗОШ І-ІІІ ступенів № 1

Паралельне перенесення

Паралельним перенесенням називають перетворення фігури F,

при якому довільна її точка

Х (х; у) переходить у точку Х1(х + а ; у + в),

де а та в – одні й ті самі

для всіх точок (х ; у),

тобто вектор ХХ1 має координати (а;в)

​

Властивості паралельного перенесення

1. Паралельне перенесення є рух.
2. При паралельному перенесенні пряма переходить у паралельну їй пряму (або в себе).
3. Кути між прямими зберігаються.
4. Якщо точка С належить відрізку АВ, то при паралельному перенесенні у відповідні точки А1 , В1 , С1 точка С1 належатиме відрізку А1В1 .
5. Композиція двох паралельних перенесень є паралельне перенесення.
6. Існує єдине паралельне перенесення, що переводить точку А у точку А1.

Приклади задач

Задача № 1

​

Паралельне перенесення задано формулою:

х' = х – 4; y ' = y + 2; z ' = z – 6.

1) У яку точку перейде М(4; – 2; 7)?

​

Розв’язання : М ' (4 – 4; – 2 + 2; 7 – 6),

( 0; 0; 1).

​

Задача № 2

2) Запишіть формули паралельного перенесення, яке точку С(⎯4;7) відображає у точку С1(8; ⎯ 3).

​

Розв´язання:

С(⎯4; 7) С1(8; ⎯3).

Підставимо у формули паралельного перенесення х1 = х + а, у1 = у + b відповідні координати точок С і С1:

х1 = х + а, у1 = у + b

8 = ⎯ 4 + а , ⎯3 = 7 + b,

а= 12, b = ⎯10.

​

Відповідь: х1 = х + 12, у1 = у ⎯10.

А(-6:3)

В(-1;3)

С(-2;1)

D(-5;1)

Побудувати образ трапеції ABCD при паралельному перенесенні на вектор a (4;-4).

Задача 3:

Побудова

A₁(-2:-1)

B₁(3;-1)

C₁(2;-3)

D₁(-1;-3)

Розв´язання.

Нехай у=kх+b ⎯ рівняння шуканої прямої. У рівнянні прямої 3х⎯2у =1 виразимо у через х: у =1,5х⎯0,5, де 1,5 – кутовий коефіцієнт прямої. У паралельних прямих кутові коефіцієнти рівні, тому k=1,5. Оскільки після перенесення пряма проходить через точку (0; 3), то маємо рівняння:

3=1,5·0+b, звідки b=3. Рівняння шуканої прямої у = 1,5х+3 перепишемо у загальному вигляді: 1,5х–у+3=0, або 3х–2у+6 =0.

Відповідь: 3х–2у+6 =0.

y

x

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-1

​

​

​

​

​

​

​

​

​

​

​

4

321

Задача 3. Пряма 3х ⎯ 2у = 1 після паралельного перенесення проходить через точку (0;3). Запишіть рівняння прямої після перенесення.

3х ⎯ 2у = 1

3х⎯2у + 6 = 0

Симетрія

Симетрія відносно площини

Симетрія відносно точки.

Перетворенням симетрії відносно точки О

(центральною симетрією) називається таке перетворення фігури F у фігуру F₁ , внаслідок якого кожна точка Х фігури F переходить у точку Х₁фігури F₁ , симетричну Х відносно точки О.

​

XO=OX₁

Р

B₁(4;-4)

С(-2;1)

A₁(4;-1)

C₁(2;-1)

А(-4;1)

В(-4;4)

Задача:

Побудова

Побудувати образ трикутника АВС при симетрії з центром у початку координат.

Симетрія відносно прямої�(осьова симетрія)

​

Точки X і X₁ називаються симетричними відносно прямої L, якщо ця пряма перпендикулярна до відрізка XX₁ і проходить через його середину

XO=OX₁

XX₁┴ L

Симетрія відносно прямої�(осьова симетрія)

Щоб побудувати точку Х₁, симетричну точці Х відносно даної прямої f , треба:

�1) побудувати промінь ХО, перпендикулярний до прямої f (О - точка перетину променя з прямою f );

2) на продовженні відрізка ХО за точку О відкласти відрізок ОХ₁ = ХО.

​

​

О

Властивості осьової симетрії

• Перетворення осьової симетрії є переміщенням.
• Осьова симетрія перетворює пряму на пряму,

відрізок - на відрізок, многокутник – на рівний йому многокутник.

• Точки, що належать осі симетрії, відображаються самі на себе.
• Якщо точки А(х; у) і В(х₁; у₁) симетричні відносно

осі Ох, то виконується умова х₁ = х,

у₁= -у;

а відносно осі Оу - х₁= - х, у₁ = у.

​

​

Приклади задач

1. Побудуйте трикутник, симетричний даному, відносно прямої в, що перетинає дві сторони трикутника.

​

​

​

• Вершини чотирикутника АВСК мають координати: А(0; 1), В(-1; 2),

С(-4;-1), К(-1;-1). Побудуйте чотирикутник, симетричний даному відносно осі Оу, і знайдіть координати його вершин.

у

А

​

​

В₁(1; 2), С₁(4; -1), К₁(1; -1), А(0; 1).

в

х

В₁

В

С

С₁

К

К₁

Симетрія відносно площини�

• Точки A і A₁ називають симетричними відносно площини, якщо ця площина перпендикулярна до відрізка AA₁ і ділить його навпіл. Перетворення, яке відображає кожну точку фігури на точку, симетричну їй відносно даної площини, називають симетрією відносно площини.

​

Властивості симетрії відносно площини

Точки, симетричні точці A(х; у; z)

відносно початку координат і координатних площин,

мають такі координати:

• відносно точки О(0; 0; 0): (-х; -у; -z);
• відносно площини ху: (х; у; -z);
• відносно площини хz: (х; -у; z);
• відносно площини уz: (-х; у; z).

​

• Відносно осі координат точці А(x; y; z) буде симетрична така точка А', у якої відповідна даній осі координата буде без зміни, а інші координати будуть протилежними числами.

Приклади задач

№ 1

Запишіть координати точок, симетричних точці А (3;– 4; 1) відносно:

1. Початку координат (– 3; 4; – 1)
2. Площини xy ( 3;– 4; – 1)
3. Площини xz ( 3; 4; 1)
4. Осі Oz (– 3; 4; 1)

​

Більше задач із теми тут: https://youtu.be/8omTKAsxJl4 �https://youtu.be/qcj425eSzqY

№ 2

Точки А (5;– 3; 4) та В (– 3; 1; – 2) симетричні відносно точки С. Які її координати?

За означенням центральної симетрії точка С – середина відрізка АВ. Тоді:

​

​

x_c = = 1; у_c = = –1;

z_c = = 1;

​

Відповідь: С ( 1;– 1; 1)

Розв’язання:

Перевір себе �(завдання ЗНО минулих років)

№1.

Перевір себе

№2.

№3.

№4.

Перевір себе

№5.

№7.

№8.

№9.

№6.

Відповіді до завдань блоку «Перевір себе»

• №1. 1-Б, 2-Г, 3-А, 4-Д.
• №2. 1-Д, 2-В, 3-А, 4-Г.
• №3. (Д)
• №4. (Б)
• №5. (Г)
• №6. (Д)
• №7. (Г)
• №8. (Г)
• №9. (А)

​

​

​

​

​

Бажаю успіху на НМТ!