1 of 64

Задачи по теории вероятности�на ОГЭ и ЕГЭ.

Материалы подготовила

Акбутина А.М.,

учитель математики

МОУ «СОШ № 40»

2 of 64

ОГЭ

Государственная итоговая аттестация по образовательным программам основного общего образования в форме основного государственного экзамена (ОГЭ)

Кодификатор

3 of 64

Проверяемые требования к предметным результатам освоения основной образовательной программы основного общего образования

Умение оперировать понятиями:

случайный опыт(случайный эксперимент), элементарное событие(элементарный исход) случайного опыта, случайное событие, вероятность события;
умение находить вероятности случайных событий в опытах �с равновозможными элементарными событиями;
умение решать задачи методом организованного перебора�и с использованием правила умножения;
умение оценивать вероятности реальных событий и явлений, понимать роль практически достоверных и маловероятных событий в окружающем мире и в жизни; знакомство с понятием независимых событий; знакомство с законом больших чисел и его ролью в массовых явлениях

4 of 64

Обобщённые формулировки требований к предметным результатам из ФГОС 2010 г.

формирование представления о вероятности случайного события; решение простейших комбинаторных задач;
определение основных статистических характеристик числовых наборов;
оценивание и вычисление вероятности события в простейших случаях;
наличие представления о роли практически достоверных и маловероятных событий,
о роли закона больших чисел в массовых явлениях;

5 of 64

�

Код	Проверяемый элемент содержания	В программе какого�класса изучается	Наличие данного элемента содержания в кодификаторе ОГЭ прошлых лет

8	Вероятность и статистика
8.1	Описательная статистика	7–9	+
8.2	Вероятность	7–9	+
8.3	Комбинаторика	9	+
8.4	Множества	7–8	–
8.5	Графы	7–8	–

�

Перечень элементов содержания, проверяемых на основном государственном экзамене по МАТЕМАТИКЕ

6 of 64

Распределение заданий части 1по разделам содержания �курса математики

7 of 64

ОГЭ

Государственная итоговая аттестация по образовательным программам основного общего образования в форме основного государственного экзамена (ОГЭ)

Спецификация

8 of 64

Распределение заданий части 1по проверяемым умениям �и способам действий

Код по КТ�	Основные умения и способы действий	Количество�заданий
15	Умение находить вероятности случайных событий в опытах с равновозможными элементарными событиями�	1 �

9 of 64

Демонстрационный вариант контрольных измерительных материалов основного государственного экзамена 2024 года по МАТЕМАТИКЕ

10 of 64

ЕГЭ база

Спецификация

контрольных измерительных материалов

для проведения в 2024 году

единого государственного экзамена

по МАТЕМАТИКЕ

Базовый уровень

11 of 64

Распределение заданий варианта КИМ ЕГЭ по содержанию, проверяемым результатам освоения основной образовательной программы среднего общего образования

12 of 64

13 of 64

Демонстрационный вариант�контрольных измерительных материалов единого государственного экзамена 2024 года по МАТЕМАТИКЕ �Базовый уровень

14 of 64

ЕГЭ

Кодификатор

проверяемых требований к результатам освоения основной образовательной программы среднего общего образования и элементов содержания для проведения

единого государственного экзамена по МАТЕМАТИКЕ

15 of 64

Проверяемые требования к предметным результатам освоения основной образовательной программы среднего общего образования на основе изменённого в 2022 г. ФГОС

Умение оперировать понятиями:

случайный опыт и случайное событие, вероятность случайного события; умение вычислять вероятность с использованием графических методов; применять формулы сложения и умножения вероятностей, формулу полной вероятности, формулу Бернулли, комбинаторные факты и формулы; оценивать вероятности реальных событий; случайная величина, распределение вероятностей, математическое ожидание, дисперсия и стандартное отклонение случайной величины, функции распределения и плотности равномерного, показательного и формального распределений;

умение использовать свойства изученных распределений для решения задач;

16 of 64

Проверяемые требования к предметным результатам освоения основной образовательной программы среднего общего образования на основе изменённого в 2022 г. ФГОС

знакомство с понятиями:

закон больших чисел, методы выборочных исследований;

умение приводить примеры проявления закона больших чисел в природных и общественных явлениях;

умение оперировать понятиями:

сочетание, перестановка, число сочетаний, число перестановок; бином Ньютона; умение применять комбинаторные факты и рассуждения для решения задач; оценивать вероятности реальных событий; составлять вероятностную модель и интерпретировать полученный результат

17 of 64

Обобщённые формулировки требований к предметным�результатам из ФГОС 2012 г.

Моделировать реальные ситуации на языке теории вероятностей и

статистики, вычислять в простейших случаях вероятности событий;

анализировать реальные числовые данные, информацию статистического характера; осуществлять практические расчёты по формулам; пользоваться оценкой и прикидкой

при практических расчетах

18 of 64

�

Код	Проверяемый элемент содержания	В программе какого�класса изучается	Наличие данного элемента содержания в кодификаторе ОГЭ прошлых лет

6	Вероятность и статистика
6.1	Описательная статистика	БУ, УУ	+
6.2	Вероятность	БУ, УУ	+
6.3 �	Комбинаторика	УУ	+

�

Перечень элементов содержания, проверяемых на основном государственном экзамене по МАТЕМАТИКЕ

19 of 64

�

Спецификация �контрольных измерительных материалов для проведения в 2024 году единого государственного экзамена по МАТЕМАТИКЕ �Профильный уровень�

20 of 64

Проверяемые предметные результаты освоения основной образовательной программы

4 задание

Умение оперировать понятиями:

случайное событие, вероятность случайного события;

умение вычислять вероятность

5 задание

Умение оперировать понятиями:

случайное событие, вероятность случайного события; умение

вычислять вероятность с использованием графических методов; применять формулы сложения и умножения вероятностей, формулу полной вероятности, комбинаторные факты и формулы

21 of 64

Демонстрационный вариант контрольных измерительных материалов единого государственного экзамена 2024 года по МАТЕМАТИКЕ�Профильный уровень

22 of 64

ЕГЭ – 2022 � по математике�ПРОФИЛЬ+БАЗА

(фрагмент анализа ЕГЭ по математики,

автор Пажинская Н.А.)

23 of 64

24 of 64

25 of 64

Демонстрационный вариант контрольных измерительных материалов единого государственного экзамена 2024 года по МАТЕМАТИКЕ�Профильный уровень

26 of 64

Демо профиль

27 of 64

Демо профиль

28 of 64

��Демо профиль� Решение 1��Ответ: 0,1�

29 of 64

��Демо профиль� Решение 2��Ответ: 0,1�

30 of 64

Что нужно знать/уметь�ЗНАТЬ:�элементарное событие;�случайное событие, вероятность случайного события;�противоположные события, вероятности противоположных событий;�независимые события, правило умножения вероятностей.

�УМЕТЬ:�вычислять вероятность случайного события;�вычислять вероятность случайного события с использованием графических представлений;�применять формулу сложения вероятностей;�применять формулу умножения вероятностей. �

31 of 64

Элементы теории вероятности

Вероятности событий.

Несколько событий называют равновозможными, если в результате опытов ни одно из них не имеют большую возможность появления, чем другие. Например, при подбрасывании монеты одинаково вероятны два равновозможных события : выпадение орла , выпадение решки.

Если все исходы какого-либо

испытания равновозможны, то

вероятность события в этом испытании

равна отношению числа благоприятных

исходов к числу всех исходов.

32 of 64

А-событие, Р(А) вероятность

33 of 64

Найти вероятность заштрихованной области

Равновероятные события	Благоприятные события -m Всего исходов- N
Сумма несовместных	А или В
Произведение совместных	А и В
Сумма совместных и независимых событий	А или В

34 of 64

Противоположные события.

35 of 64

События совместные

36 of 64

События несовместные

37 of 64

38 of 64

39 of 64

Элементы комбинаторики:

Непосредственные подсчеты.
Развилки.
Правило умножения.
Правило сложения.
Перестановки.
Размещения.
Сочетания.

40 of 64

41 of 64

42 of 64

Использование вероятности и статистики при решении прикладных задач в экономике.

Производитель анализирует срок службы своей продукции и даёт гарантию на её обслуживание , учитывая полученные результаты.

43 of 64

Прототип 2

44 of 64

Использование вероятности и статистики при решении прикладных задач в страховании.

Страховые компании определяют вероятность всех возможных рисков, страхование от которых они предлагают, при этом учитывают данные за последние годы.

45 of 64

В медицине

46 of 64

47 of 64

48 of 64

Непосредственные подсчеты

Задача:

В случайном эксперименте симметричную монету бросают:

а) дважды;

б) трижды.

Определите все возможные комбинации выпадения

орла и решки.

49 of 64

Решение:

Выпадение орла обозначим буквой О, решки – буквой Р.

а) Записываем на первом месте букву О: ОО, ОР. Теперь на первом месте записываем букву Р: РО, РР.

В итоге получаем 4 комбинации выпадения орла и решки:

ОО, ОР, РО, РР.

б) В каждой комбинации, полученной в предыдущей задаче, добавляем слева букву О: ООО, ООР, ОРО, ОРР. Аналогично слева приписываем букву Р: РОО, РОР, РРО, РРР.

В итоге получаем 8 комбинаций. Ответ а)4, б)8.

50 of 64

Задача : �Игральную кость бросили два раза. Известно, что 3 и 6 не выпало ни разу. �Найти при этом условии вероятность события «сумма очков не меньше 3».

51 of 64

Задача : �Игральную кость бросили два раза. Известно, что 3 и 6 не выпало ни разу. �Найти при этом условии вероятность события «сумма очков не меньше 3».

Не менее 3, это больше или равно 3. Всего событий: N= 16

Благоприятных событий m=15

р(А)= 15/16

р(А)=0,9375.

Ответ:0,9375

	1	2	3	4	5	6
1	1	3	-	5	6	-
2	3	4	-	6	7	-
3	-	-	-	-	-	-
4	5	6	-	8	9	-
5	6	7	-	9	10	-
6	-	-	-	-	-	-

52 of 64

Таблица вариантов

Задача:

Сколько четных двузначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 5, 8, 9?

Решение. Составим таблицу: слева от первого столбца таблицы поместим цифры десятков двузначных чисел, выше первой строки – цифры единиц.

53 of 64

Решение: Составим таблицу- слева от первого столбца таблицы поместим цифры десятков двузначных чисел, выше первой строки – цифры единиц.

Искомых чисел будет столько же, сколько клеток в таблице, то есть 5·3=15.�Ответ: 15.

единицы десятки	0	2	8
1	10	12	18
2	20	22	28
5	50	52	58
8	80	82	88
9	90	92	98

54 of 64

55 of 64

Задача:

В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Обслуживание автоматов происходит по вечерам после закрытия центра. Известно, что вероятность события «К вечеру в первом автомате закончится кофе» равна 0,25. Такая же вероятность события «К вечеру во втором автомате закончится кофе». Вероятность того, что кофе к вечеру закончится в обоих автоматах, равна 0,15. Найдите вероятность того, что к вечеру кофе останется в обоих автоматах.

56 of 64

Введем некоторые обозначения:

А − событие «Кофе кончился в 1-м автомате»�B − событие «Кофе кончился в 2-м автомате»�A · B − событие «Кофе кончился в обоих автоматах»�A + B − событие «Кофе кончился хотя бы в одном из двух кофейных автоматов»

Теперь разберемся с тем, какие вероятности нам даны в условии:�p(A) = 0.25

p(B) = 0.25

p(A · B) = 0.15.

57 of 64

1 способ

Нам нужна именно вторая формула. Поэтому вероятность того, что кофе закончится хотя бы в одном автомате равна:�p(A + B) = p(A) + p(B) − p(A · B) = 0.25 + 0.25 − 0.15 = 0.35

Обратное событие : 1- р(А+В)= 1-0,35=0,65.

Ответ 0,65.

58 of 64

2 способ

С − кофе остался в 1-м автомате p(C) = 1 − 0.25 = 0.75

D − кофе остался во 2-м автомате p(D) = 1 − 0.25 = 0.75

C + D − кофе остался хотя бы в одном автомате -> p(C + D) = 1 − 0.15 = 0.85

С · D − кофе остался в обоих автоматах p(С · D) − ?

Используя формулы, о которых мы говорили ранее, можно получить:

p(C + D) = p(C) + p(D) − p(С · D) откуда 0.85 = 0.75 + 0.75 − p(С · D), значит нужная нам вероятность находится как: p(С · D) = 0.75 + 0.75 − 0.85 = 0.65

Ответ : 0,65