1 of 110

GEOMETRIA

WEB

2 of 110

GEOMETRÍA

VECTORES

RECTAS

1. DEFINICIÓN

2. OPERACIONES

3. OPERACIONES II

4. BASES

5. TIPOS DE BASES

6. PRODUCTO ESCALAR

7. PUNTO MEDIO

7. ECUACIÓN VECTORIAL

8. ECUACIÓN PARAMÉTRICA

8. ECUACIÓN CONTINUA

9. ECUACIÓN GENERAL

9. ECUACIÓN EXPLÍCITA

10. ECUACIÓN PUNTO PENDIENTE

11. POSICIONES RELATIVAS

11. PARALELAS Y PERPENDICULARES

12. DISTANCIA ENTRE PUNTOS

12. ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA

13. OTROS

3 of 110

GEOMETRÍA ANALÍTICA.

Vectores

10

4 of 110

1. VECTOR. DEFINICIÓN

Vectores. Definición

Un vector es una herramienta matemática que posee:

Módulo: tamaño del vector
Dirección: recta que contiene al vector
Sentido: para una misma dirección, hay dos sentidos

9

5 of 110

1. VECTOR. DEFINICIÓN

Vectores. Definición

Magnitudes escalares: un valor. El dinero que tienes, tu altura, tu peso, tu nota, etc.
Magnitudes vectoriales: módulo, dirección y sentido. Además de la información numérica (la magnitud escalar), posee la información de la dirección y sentido. Por ejemplo, la fuerza aplicada. Además de ser de 300N, también interesa saber en qué dirección se aplica.

3

8

6 of 110

1. VECTOR. DEFINICIÓN

Vectores. Definición

Magnitudes escalares: un valor
Magnitudes vectoriales:

Vector libre: no tiene un origen fijo
Vector fijo: tiene un punto de aplicación

3

7

7 of 110

1. VECTOR. DEFINICIÓN

Vectores. Definición

Sentido de un vector

¿Es lo mismo?

6

8 of 110

1. VECTOR. DEFINICIÓN

Vectores. Definición. Geometría plana

Geometría bidimensional. Vector en el espacio

5

9 of 110

1. VECTOR. DEFINICIÓN

Vectores. Definición. Geometría plana

Vector definido por dos puntos

4

10 of 110

1. VECTOR. DEFINICIÓN

Vectores. Definición. Geometría plana

Vector definido por dos puntos. Aplicación

C

3

11 of 110

1. VECTOR. DEFINICIÓN

Vectores. Definición. Geometría plana

Módulo de un vector. Investiga por tu cuenta

2

12 of 110

1. VECTOR. DEFINICIÓN

Vectores. Definición. Geometría plana

Ángulo que forma un vector con la horizontal

1

13 of 110

Ejercicios: 1 y 2 página 166

Ficha J
1	X
2	X
3	X
4	X
5	X
6
7
8
9
10
11
12
13
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15
16
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18
19
20

Dados los puntos de la figura, determina la distancia entre Madrid y Zaragoza utilizando vectores.

Determina el ángulo que forma la carretera Madrid Zaragoza, suponiendo que esta esté en línea recta.

Haz lo mismo con Sevilla y Zaragoza: distancia que los separa y ángulo que forma con la horizontal.

0

Repaso

14 of 110

Ejercicios: 1 y 2 página 166

Ficha J
1	X
2	X
3	X
4	X
5	X
6
7
8
9
10
11
12
13
14
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16
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18
19
20

1

2

15 of 110

Ejercicios: 1 y 2 página 166 ANAYA

Ficha J
1	X
2	X
3	X
4	X
5	X
6
7
8
9
10
11
12
13
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16
17
18
19
20

16 of 110

2. VECTOR. OPERACIONES

Multiplicación de un escalar por un vector

Aplico una fuerza de 5N. Duplico la fuerza

¿Dirección?

¿Módulo?

¿Sentido?

5

17 of 110

2. VECTOR. OPERACIONES

Multiplicación de un escalar por un vector

Aplico una fuerza de 5N. Duplico la fuerza

¿Dirección? Igual

¿Módulo? x2

¿Sentido? Igual

Al multiplicar un vector por un número:

Se mantiene la dirección
Se mantiene el sentido
El módulo se multiplica por dicho número

4

18 of 110

2. VECTOR. OPERACIONES

Suma de vectores. Concepto

¿Resultante de las siguientes fuerzas?

3

19 of 110

2. VECTOR. OPERACIONES

Suma de vectores. Concepto

¿Resultante de las siguientes fuerzas?

2

20 of 110

2. VECTOR. OPERACIONES

1

21 of 110

2. VECTOR. OPERACIONES

Suma de vectores. Suma gráfica de vectores. Forma 2

Colocar el origen del segundo vector en el final del primer vector
Unión del origen del primer vector con el extremo del segundo

1

22 of 110

Ejercicios: ANAYA; 1 página 167

Ficha J
1	X
2	X
3	X
4	X
5	X
6	X
7	X
8
9
10
11
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19
20

Estamos en Sevilla. Viajamos a Zaragoza, y luego a Madrid.

Para viajar de Sevilla a Zaragoza, sumamos a S el vector SZ.

Para ir de Zaragoza a Madrid, sumamos al punto Z el vector ZM.

Por tanto, para ir de Sevilla a Madrid pasando por Zaragoza, sumamos al punto S el vector suma de SZ+ZM

Calcula dicho vector, dibújalo y comprueba que sumando a S este vector acabamos en Madrid

0

Repaso

23 of 110

Ejercicios: ANAYA; 1 página 167

Ficha J
1	X
2	X
3	X
4	X
5	X
6	X
7	X
8
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20

24 of 110

Ejercicios: ANAYA; 1 página 167

Ficha J
1	X
2	X
3	X
4	X
5	X
6	X
7	X
8
9
10
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17
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25 of 110

Ejercicios: ANAYA; 1 página 167

Ficha J
1	X
2	X
3	X
4	X
5	X
6	X
7	X
8
9
10
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26 of 110

Ejercicios: ANAYA; 1 página 167

Ficha J
1	X
2	X
3	X
4	X
5	X
6	X
7	X
8
9
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20

Estamos en Sevilla. Viajamos a Zaragoza, y luego a Madrid.

Para viajar de Sevilla a Zaragoza, sumamos a S el vector SZ.

Para ir de Zaragoza a Madrid, sumamos al punto Z el vector ZM.

Por tanto, para ir de Sevilla a Madrid pasando por Zaragoza, sumamos al punto S el vector suma de SZ+ZM

Calcula dicho vector, dibújalo y comprueba que sumando a S este vector acabamos en Madrid

27 of 110

Ejercicios: ANAYA; 1 página 165

Estamos en Sevilla. Viajamos a Zaragoza, y luego a Madrid. Para viajar de Sevilla a Zaragoza, sumamos a S el vector SZ. Para ir de Zaragoza a Madrid, sumamos al punto Z el vector ZM. Por tanto, para ir de Sevilla a Madrid pasando por Zaragoza, sumamos al punto S el vector suma de SZ+ZM. Calcula dicho vector, dibújalo y comprueba que sumando a S este vector acabamos en Madrid

Ficha J
1	X
2	X
3	X
4	X
5	X
6	X
7	X
8
9
10
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12
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16
17
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19
20

28 of 110

3. VECTOR. OPERACIONES

Resta de vectores. Resta gráfica de vectores

Se unen los extremos de ambos vectores.
El origen es el segundo, el extremo el primero
El vector resultante es el vector resta

3

29 of 110

3. VECTOR. OPERACIONES

2

30 of 110

3. VECTOR. OPERACIONES

1

31 of 110

Ficha J
1	X
2	X
3	X
4	X
5	X
6	X
7	X
8
9	X
10
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15
16
17
18
19
20

0

Repaso

Kay da un paseo por la playa, y ve un barco con un ángulo de 60º. Avanza 100 metros, y ve el barco con un ángulo de 45º. Calcula a qué distancia de la playa está el barco.

32 of 110

Ficha J
1	X
2	X
3	X
4	X
5	X
6	X
7	X
8
9	X
10
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12
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14
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16
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20

33 of 110

4. VECTOR. BASES

4

34 of 110

4. VECTOR. BASES

3

35 of 110

4. VECTOR. BASES

2

36 of 110

4. VECTOR. BASES

Sólo puedo conseguir con ellos vectores que también sean paralelos a ellos.

1

37 of 110

Ficha J
1	X
2	X
3	X
4	X
5	X
6	X
7	X
8
9	X
10	X
11	X
12	X
13	X
14	X
15
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17
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19
20

0

38 of 110

Ficha J
1	X
2	X
3	X
4	X
5	X
6	X
7	X
8
9	X
10	X
11	X
12	X
13	X
14	X
15
16
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18
19
20

39 of 110

Ficha J
1	X
2	X
3	X
4	X
5	X
6	X
7	X
8
9	X
10	X
11	X
12	X
13	X
14	X
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16
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18
19
20

40 of 110

Ficha J
1	X
2	X
3	X
4	X
5	X
6	X
7	X
8
9	X
10	X
11	X
12	X
13	X
14	X
15
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19
20

41 of 110

5. VECTOR. TIPOS DE BASES

Se dice que una base es ortogonal cuando los dos vectores (además obviamente de formar base), son perpendiculares.

5+2

42 of 110

5. VECTOR. TIPOS DE BASES

Se dice que una base es ortonormal cuando los dos vectores (además obviamente de formar base), son perpendiculares, y su módulo es 1 (unimodulares o unitarios)

4+2

43 of 110

5. VECTOR. TIPOS DE BASES

3+2

44 of 110

5. VECTOR. TIPOS DE BASES

2+2

45 of 110

5. VECTOR. TIPOS DE BASES

1+2

46 of 110

Ficha J
1	X
2	X
3	X
4	X
5	X
6	X
7	X
8
9	X
10	X
11	X
12	X
13	X
14	X
15	X
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20

0+2

47 of 110

Ficha J
1	X
2	X
3	X
4	X
5	X
6	X
7	X
8
9	X
10	X
11	X
12	X
13	X
14	X
15	X
16
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20

0+2

48 of 110

6* OPERACIONES CON VECTORES.�PRODUCTO ESCALAR !!

0+2

49 of 110

6* OPERACIONES CON VECTORES.�PRODUCTO ESCALAR

0+1

50 of 110

Ficha J
1	X
2	X
3	X
4	X
5	X
6	X
7	X
8
9	X
10	X
11	X
12	X
13	X
14	X
15	X
16	X
17	X
18	X
19	X
20	X

0

Repaso


La suma de las edades de Ana y Berta es 20 años. Si al cuadrado de la edad de Ana le restamos la edad de Berta, el resultado es igual al quíntuple de la edad de Berta menos la edad de Ana. Calcula las edades de cada una.

51 of 110

Ficha J
1	X
2	X
3	X
4	X
5	X
6	X
7	X
8
9	X
10	X
11	X
12	X
13	X
14	X
15	X
16	X
17	X
18	X
19	X
20	X

0

52 of 110

Ficha J
1	X
2	X
3	X
4	X
5	X
6	X
7	X
8
9	X
10	X
11	X
12	X
13	X
14	X
15	X
16	X
17	X
18	X
19	X
20	X

53 of 110

Ficha J
1	X
2	X
3	X
4	X
5	X
6	X
7	X
8
9	X
10	X
11	X
12	X
13	X
14	X
15	X
16	X
17	X
18	X
19	X
20	X

54 of 110

Ficha J
1	X
2	X
3	X
4	X
5	X
6	X
7	X
8
9	X
10	X
11	X
12	X
13	X
14	X
15	X
16	X
17	X
18	X
19	X
20	X

55 of 110

7. SEGMENTOS Y RECTAS

6

56 of 110

7. SEGMENTOS Y RECTAS

5

57 of 110

7. SEGMENTOS Y RECTAS

4

58 of 110

7. SEGMENTOS Y RECTAS

3

59 of 110

7. SEGMENTOS Y RECTAS

Calcula 3 puntos de la recta, y dibújala

2

60 of 110

7. SEGMENTOS Y RECTAS

1

61 of 110

Ejercicios:
Anne va a viajar desde Sevilla a Zaragoza, y quiere hacer una parada en el punto medio. ¿Dónde parará? ¿Sabrías decir qué distancia recorrerá desde Sevilla al punto medio?
Calcula la ecuación vectorial de la recta que une Sevilla y Zaragoza.

Si Madrid está en las coordenadas M (0,0), ¿pasaremos por Madrid yendo desde Sevilla a Zaragoza?

Ficha K
1
2
3
4
5
6
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20
21

E

0

Repaso

62 of 110

Ficha K
1
2
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63 of 110

Ficha K
1
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64 of 110

Ficha K
1
2
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65 of 110

Ficha K
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66 of 110

8. RECTAS II. ECUACIÓN PARAMÉTRICA

Vamos a trocearla

5

67 of 110

8. RECTAS II. ECUACIÓN PARAMÉTRICA

A continuación escogemos uno de los dos puntos, y completamos la ecuación paramétrica con lo que sabemos:

4

68 of 110

8. RECTAS III. ECUACIÓN CONTINUA

3

69 of 110

8. RECTAS III. ECUACIÓN CONTINUA

A continuación escogemos uno de los dos puntos, y completamos la ecuación CONTINUA con lo que sabemos:

2

70 of 110

8. RECTAS III. ECUACIÓN CONTINUA

1

71 of 110

Escribe las ecuaciones vectorial, paramétrica y continua de las rectas que pasan por Madrid-Zaragoza, Sevilla-Madrid y Sevilla-Zaragoza. M(0,0); Z(210,170); S(-200,-328)
Escribe la ecuación de la recta vertical que pasa por Madrid.
Escribe la ecuación de la recta horizontal que pasa por Zaragoza.
Comprueba si Barcelona B(492,124) está en la recta que une Madrid-Zaragoza.
Comprueba si Bilbao (52,300) está en la vertical a Madrid
Comprueba si Vigo (-430,190) está en la horizontal que pasa por Zaragoza.
Dibuja las cinco rectas calculadas anteriormente, calculando tres puntos en cada una de ellas.

Ficha K
1
2
3
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E

0

72 of 110

Ficha K
1
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73 of 110

Ficha K
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74 of 110

Ficha K
1
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75 of 110

Ficha K
1
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76 of 110

Ficha K
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77 of 110

Dibuja las cinco rectas calculadas anteriormente, calculando tres puntos en cada una de ellas.

Ficha K
1
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78 of 110

9. RECTAS IV. ECUACIÓN GENERAL

5

79 of 110

9. RECTAS IV. ECUACIÓN GENERAL

4

80 of 110

9. RECTAS IV. ECUACIÓN GENERAL

A continuación escribimos lo que sabemos en la ecuación general:

3

81 of 110

9. RECTAS V. ECUACIÓN EXPLÍCITA

Esta ecuación se llama ECUACIÓN EXPLÍCITA DE LA RECTA

2

82 of 110

9. RECTAS V. ECUACIÓN EXPLÍCITA

A continuación escribimos lo que sabemos en la ecuación EXPLÍCITA:

1

83 of 110

Utilizando el mapa de antes, y con los puntos Vigo dado por Vi(-430,190) y Barcelona B(492,124), escribe la ecuación general y la ecuación explícita.
¿Pasa esta recta por Zaragoza Z(210,170)?

Ficha K
1
2
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5
6
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21

E

0

Repaso

84 of 110

Ficha K
1
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85 of 110

Ficha K
1
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5
6
7
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86 of 110

Ficha K
1
2
3
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6
7
8
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87 of 110

10. RECTAS VI. ECUACIÓN PTO-PENDIENTE

Tenemos la ecuación VECTORIAL de la recta. Hagamos todo el desarrollo:

Nombre	Ecuación	Ejemplo
Vectorial
Paramétrica
Continua
General
Explícita
Punto pendiente

9

88 of 110

10. RECTAS

Ejercicios: ficha k

Ficha K
1	X
2	X
3
4
5
6
7
8
9
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16
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20
21

8

Repaso

89 of 110

11. POSICIONES RELATIVAS

Dos rectas pueden encontrarse en 3 posiciones relativas

Se cruzan (secantes)

Son paralelas

Son coincidentes

7

90 of 110

11. POSICIONES RELATIVAS

Dadas dos rectas analíticamente ¿cómo saber cómo son?

Paso 1: colocar las rectas en su forma general, identificando A, B y C

6

91 of 110

11. POSICIONES RELATIVAS

Pueden ocurrir tres cosas

Si	Si	Entonces
		Secantes
		Paralelas
		Coincidentes

5

92 of 110

11. RECTAS PARALELAS Y PERPENDICULARES

4

93 of 110

11. RECTAS PARALELAS Y PERPENDICULARES

3

94 of 110

11. RECTAS PARALELAS Y PERPENDICULARES

Paso 3: sabiendo m, calculamos n con el punto que nos dan:

2

95 of 110

11. RECTAS PARALELAS Y PERPENDICULARES

Dibujamos las rectas dando un par de puntos (3) a cada una:

1

96 of 110

Ficha K
1	X
2	X
3	X
4	X
5	X
6	X
7	X
8	X
9	X
10	X
11	X
12	X
13	X
14	X
15
16
17
18
19	X
20	X
21	X
22

Vigo	Bilbao	Zaragoza	Madrid	Sevilla	Barcelona
(-430,190)	(52,300)	(210,170)	(0,0)	(-200,-328)	(492,124)

E

0

97 of 110

Ficha K
1	X
2	X
3	X
4	X
5	X
6	X
7	X
8	X
9	X
10	X
11	X
12	X
13	X
14	X
15
16
17
18
19	X
20	X
21	X
22

Vigo	Bilbao	Zaragoza	Madrid	Sevilla	Barcelona
(-430,190)	(52,300)	(210,170)	(0,0)	(-200,-328)	(492,124)

98 of 110

Ficha K
1	X
2	X
3	X
4	X
5	X
6	X
7	X
8	X
9	X
10	X
11	X
12	X
13	X
14	X
15
16
17
18
19	X
20	X
21	X
22

Vigo	Bilbao	Zaragoza	Madrid	Sevilla	Barcelona
(-430,190)	(52,300)	(210,170)	(0,0)	(-200,-328)	(492,124)

99 of 110

Ficha K
1	X
2	X
3	X
4	X
5	X
6	X
7	X
8	X
9	X
10	X
11	X
12	X
13	X
14	X
15
16
17
18
19	X
20	X
21	X
22

Vigo	Bilbao	Zaragoza	Madrid	Sevilla	Barcelona
(-430,190)	(52,300)	(210,170)	(0,0)	(-200,-328)	(492,124)

100 of 110

Ficha K
1	X
2	X
3	X
4	X
5	X
6	X
7	X
8	X
9	X
10	X
11	X
12	X
13	X
14	X
15
16
17
18
19	X
20	X
21	X
22

Vigo	Bilbao	Zaragoza	Madrid	Sevilla	Barcelona
(-430,190)	(52,300)	(210,170)	(0,0)	(-200,-328)	(492,124)

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12. DISTANCIAS

5

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12. ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA

4

103 of 110

12. ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA

3

104 of 110

12. ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA

2

105 of 110

12. ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA

Ejemplo: las siguientes curvas ¿son circunferencias?

1

106 of 110

Suponiendo que Sol (centro de Madrid), esté en el punto (0,0), y que Boadilla esté en el punto (-24,5), determina la ecuación de la carretera M50 (que tiene por centro Sol y pasa por Boadilla). ¿Pasa esta carretera por Leganés, en el punto (-5,-24)?
Móstoles está a 15km de Boadilla, y pasa por la M50. ¿En qué punto se encuentra Móstoles?

Ficha K
1	X
2	X
3	X
4	X
5	X
6	X
7	X
8	X
9	X
10	X
11	X
12	X
13	X
14	X
15
16
17
18
19	X
20	X
21	X
22	X

E

0

107 of 110

Ficha K
1	X
2	X
3	X
4	X
5	X
6	X
7	X
8	X
9	X
10	X
11	X
12	X
13	X
14	X
15
16
17
18
19	X
20	X
21	X
22	X

108 of 110

Ficha K
1	X
2	X
3	X
4	X
5	X
6	X
7	X
8	X
9	X
10	X
11	X
12	X
13	X
14	X
15
16
17
18
19	X
20	X
21	X
22	X

109 of 110

Ficha K
1	X
2	X
3	X
4	X
5	X
6	X
7	X
8	X
9	X
10	X
11	X
12	X
13	X
14	X
15
16
17
18
19	X
20	X
21	X
22	X

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13. OTROS

Punto simétrico a un punto dado respecto a otro (p.170)
Punto simétrico a uno dado respecto a una recta
¿Cuándo tres puntos están alineados? (p171)
Cómo obtener un vector perpendicular a otro cambiando las coordenadas (p.175)
Nomenclatura: eje de abscisas/ordenadas
Mediatrices, medianas, bisectrices // circuncentro, incentro, baricentro

Ficha K
1	X
2	X
3	X
4	X
5	X
6	X
7	X
8	X
9	X
10	X
11	X
12	X
13	X
14	X
15	X
16	X
17	X
18	X
19	X
20	X
21	X
22	X

?