1

23.08.2024

ORTOTROPİK

MALZEME ÖZELLİKLERİNİN

TEORİK HESAPLANMASI

Tek Yönlü ve Sürekli Fiber Takviyeli (Unidirectinal) Bir Tabakada

3.

Kompozit Malzeme Mekaniği – Ders Notları / Prof. Dr. Mehmet Zor

(Videolar: 3a ve 3b)

2

23.08.2024

3.1 Bu Bölümde Amacımız;

Kompoziti oluşturan izotropik bileşenlerin (matris ve fiberin) elastik mekanik özellikleri ( E_f , ν_f , E_m , ν_m ) belli iken;

​

Bunların birleştirilmesiyle elde edilmiş tek yön takviyeli ortotropik bir kompozit tabakanın özelliklerini (E₁, E₂, ν₁₂, G₁₂) teorik olarak hesaplamaktır.

Kompozit Malzeme Mekaniği-Ders Notları-Prof.Dr.Mehmet Zor

3. Ortotropik Malzeme Özelliklerinin Teorik Hesapları

3.2 Ortotropik Tabakada Lokal Eksenler

1: Tabaka düzleminde, fiber doğrultusuna paralel eksen,

2: Tabaka düzleminde, fiber doğrultusuna dik eksen,

3: Tabaka düzlemine dik ve kalınlık yönündeki eksen

3.3 Ortotropik Bir Tabakada Temsili Hacim Elemanı

3

23.08.2024

• Hesaplamalar, tek yönlü fiber takviyeli kompozit levhadan çıkarılmış temsili hacim elemanı üzerinden yapılacaktır.
• Bu eleman o şekilde seçilmelidir ki, kompozit levhayı minimum seviyede temsil etsin.

• Mikro seviyede bir temsili eleman incelendiği için bu konu «kompozit malzemelerin mikromekaniği» olarak da isimlendirilmektedir.
• Elemanter mukavemet hesaplarıyla kompozitin mekanik özellikleri belirlenecektir.

Kompozit Malzeme Mekaniği-Ders Notları-Prof.Dr.Mehmet Zor

3. Ortotropik Malzeme Özelliklerinin Teorik Hesapları

3.4 Fiber Ve Matris Hacim Oranları Arasındaki Bağıntı�

4

23.08.2024

Fiber hacimsel oranı

Matris hacimsel oranı

Kompozit Yoğunluğunun Teorik Hesabı:

Kompozit Malzeme Mekaniği-Ders Notları-Prof.Dr.Mehmet Zor

(3.1)

(3.2)

Normali 1 yönü olan kesit alanları:

A₁

3. Ortotropik Malzeme Özelliklerinin Teorik Hesapları

Dikkat: Yapıda sadece matris ve fiber hacimleri vardır. Ayrıca Kompozit olarak ayrı bir bağımsız hacim yoktur. Kompozit olarak isimlendirilen malzeme veya hacim teoriktir ve tüm yapıyı temsil etmektedir. (Veya tek ortotropik malzeme olduğundan tüm yapı kompozit olarak isimlendirilir diye de düşünebiliriz.)

3.5 E₁’ in Teorik Hesabı (Fiber Doğrultusunda Elastiklik Modülü’nün Teorik Hesabı)

5

23.08.2024

1 yönünde P₁ çeki kuvveti uygulanan temsili hacim elemanını düşünüyoruz. Fiber ve matris birbirlerine tamamen yapışık olduklarından birbirlerini etkilerler ve 1 yönünde aynı ΔL miktarı uzarlar. İlk boyları da eşit olduğu için birim uzamaları (ΔL/L ) da eşit olacaktır.

Kompozit Malzeme Mekaniği-Ders Notları-Prof.Dr.Mehmet Zor

Ι-Ι kesitinin sol kısmının statik dengesinden,

(3.3)

(3.4)

3. Ortotropik Malzeme Özelliklerinin Teorik Hesapları

6

23.08.2024

Kompozit Malzeme Mekaniği-Ders Notları-Prof.Dr.Mehmet Zor

Fiber Oranının E₁ Değerine Etkisi

Ayrıca:

denkleminden 1 yönündeki gerilmeler arasındaki bağıntı:

(3.5)

Bu 3.5 denklemi ilerideki hesaplamalarda karşımıza çıkacaktır.

3. Ortotropik Malzeme Özelliklerinin Teorik Hesapları

3.6.a E₂’ nin Teorik Hesabı (Fiberlere Dik Doğrultudaki Elastik Modülünün Teorik Hesabı)

7

23.08.2024

Kompozit Malzeme Mekaniği-Ders Notları-Prof.Dr.Mehmet Zor

2 yönünde P₂ çeki kuvveti uygulanan temsili hacim elemanında sırasıyla Ι-Ι ve II-II kesiti aldığımızda; fiber ve matristeki iç kuvvetlerin ve kesit alanlarının kompozittekine eşit olduğunu; dolayısıyla gerilmelerin de kompozitteki gerilmeyle aynı çıktığını aşağıdaki şekillerden anlayabiliriz.

Gerilme-Şekil değiştirme (Hooke) bağıntılarından ;

3.6.b ) Poisson etkisi (p*): Fiber ve matrisin poisson oranları farklıdır. Sadece σ₂ varken, matris 1 yönünde daha fazla, fiber ise daha az büzülmek ister. Birbirlerini etki ederler. Bu durum 1 yönünde hem matriste hem fiberde gerilme oluşmasına sebep olur. Bu ise ε_f2 ve ε_m2 ye birer terim daha ilave edilmesini gerektirir. Buna poisson etkisi denir. Ancak burada poisson etkisi ihmal edilerek E₂ formülü çıkarılmıştır.

(3.6)

(3.7a-c)

3. Ortotropik Malzeme Özelliklerinin Teorik Hesapları

..devamı >>

8

23.08.2024

2 doğrultusundaki toplam uzama;

Kompozit Malzeme Mekaniği-Ders Notları-Prof.Dr.Mehmet Zor

veya

Poisson etkisi (p*) ihmal edilmezse;

E2 yerine E2* kullanırız

(3.9a)

(3.9b)

(3.10a)

(3.10b)

(3.8)

3. Ortotropik Malzeme Özelliklerinin Teorik Hesapları

Fiber Oranının E₂ Değerine Etkisi

9

23.08.2024

Kompozit Malzeme Mekaniği-Ders Notları-Prof.Dr.Mehmet Zor

3. Ortotropik Malzeme Özelliklerinin Teorik Hesapları

10

23.08.2024

Ortotropik karekter gösteren bir tabaka için genel olarak poisson oranı ifadesi:

Major (Büyük) Poisson Oranı:

Buna göre;

Minor (Küçük) Poisson Oranı:

Transverse (Enine, çapraz) Poisson Oranı:

Bağımsız olmayan üç poission oranı daha vardır:

Ortotropik bir malzemede genel olarak poisson oranları ve Elastiklik modülleri arasında şu şekilde bir ilişki de mevcuttur:

Not: Poisson oranı sıfırdan küçük (negatif) olamaz. İzotropik malzemelerde aynı zamanda 0.5 ’den büyük olamaz.

Kompozit Malzeme Mekaniği-Ders Notları-Prof.Dr.Mehmet Zor

(3.11)

(3.12a-c)

(a)

(b)

(c)

(3.13)

3. Ortotropik Malzeme Özelliklerinin Teorik Hesapları

3.8 ν₁₂ ’in Teorik Hesabı (Major Poisson Oranı)

11

23.08.2024

Kompozit Malzeme Mekaniği-Ders Notları-Prof.Dr.Mehmet Zor

1 yönünde çekiye maruz temsili hacim elemanında, 2 yönündeki toplam şekil değiştirme (ΔW), fiber ve matristeki şekil değiştirmelerin toplamına eşittir.

Matris ve fiberin poisson oranlarını da yazacak olursak:

, Fiber için benzer şekilde:

(3.14)

3. Ortotropik Malzeme Özelliklerinin Teorik Hesapları

Fiber Oranının ν₁₂ Değerine Etkisi

12

23.08.2024

Kompozit Malzeme Mekaniği-Ders Notları-Prof.Dr.Mehmet Zor

3. Ortotropik Malzeme Özelliklerinin Teorik Hesapları

13

23.08.2024

Kompozit Malzeme Mekaniği-Ders Notları-Prof.Dr.Mehmet Zor

Kompozitteki şekil değiştirme açısı (γ₁₂);

Kompozit malzemenin tamamı için baktığımızda;

Bu bağıntıyı fiber ve matris

için de yazabiliriz:

veya

Temsili hacim elemanında 1-2 düzleminde meydana gelen kayma gerilmesi (τ₁₂) fiber ve matriste farklı şekil değiştirme açıları (γ_f , γ_m) oluşturur.

,

( γ: şekilde gözükmez ancak teorik olarak varlığı düşünülür. )

Fiber ve matris izotropik olduğundan,

(3.15a)

(3.15b)

(3.16a-b)

,

(a)

(b)

3. Ortotropik Malzeme Özelliklerinin Teorik Hesapları

(Tüm yapıyı tek ortotropik malzeme gibi düşünerek kompozit olarak isimlendirdik.)

Örnek 3.1 ^{(video 3a, örn 1)}

14

23.08.2024

Yukarıdaki Tabloda E , ν değerleri verilen malzemelerin birleştirilmesiyle elde edilecek olan Cam-Epoksi (Glass fiber–Epoxy) kompozitin elastik özelliklerini bulunuz.

(Fiber Hacim Oranı = V_f = 0,3)

E₁ = ? , E₂= ?, G₁₂ = ? , ν₁₂=?

Kompozit Malzeme Mekaniği-Ders Notları-Prof.Dr.Mehmet Zor

3. Ortotropik Malzeme Özelliklerinin Teorik Hesapları

Çözüm:

15

23.08.2024

• E₁’in bulunuşu:

• E₂’in bulunuşu:

(3.4) denkleminden

(3.9b) denkleminden

Kompozit Malzeme Mekaniği-Ders Notları-Prof.Dr.Mehmet Zor

3. Ortotropik Malzeme Özelliklerinin Teorik Hesapları

16

23.08.2024

Kompozit Malzeme Mekaniği-Ders Notları-Prof.Dr.Mehmet Zor

• G₁₂’in bulunuşu:

• ν₁₂’nin (majör poisson oranı) bulunuşu:

(3.16a) denkleminden

(3.16b) denkleminden

(3.15b) denkleminden

(3.14) denkleminden

3. Ortotropik Malzeme Özelliklerinin Teorik Hesapları

17

23.08.2024

Doğranmış Fiber (Whiskers) Takviyeli Kompozitler

3.10 Diğer Kompozit Tiplerinde Ortotropik Malzeme Özelliklerinin Teorik Hesapları

Partikül Takviyeli Kompozitler

Çift Yönlü Sürekli Fiber Takviyeli (Woven Fabric) Kompozitler

Sandviç Kompozitler

• Makro seviyede İzotropik özellik gösterirler.
• E ve ν değerleri birer tanedir ve teorik olarak elde edilemezler; ancak deneysel olarak elde edilebilirler.
• En az iki faklı malzemeden oluştukları için bunlara quasi-izotropik malzemeler de denir.

• Ortotropik özellik gösterirler, 1 ve 2 yönlerinde özellikler aynıdır.
• 2 yönündeki özellikler, teorik olarak 1 yönündekilerle aynı şekilde bulunur.

Bu 2 kompozit tipi için 1 ve 2 yönlerindeki çeki / bası mukavemetleri ve termal genleşme katsayıları da eşittir.

3. Ortotropik Malzeme Özelliklerinin Teorik Hesapları

İleride anlatılacak özellikler:

Çeki muk.:

Bası muk.:

CTE.:

Çok Yönlü (Multidirectional) , Sürekli (continuous) Fiber Takviyeli Kompozitler

Kompozit Malzeme Mekaniği-Ders Notları-Prof.Dr.Mehmet Zor

18

23.08.2024

3.11 Bazı fiber malzemelerinin mekanik özellikleri

Kompozit Malzeme Mekaniği-Ders Notları-Prof.Dr.Mehmet Zor

3. Ortotropik Malzeme Özelliklerinin Teorik Hesapları

19

23.08.2024

3.12 Bazı matris malzemelerinin mekanik özellikleri

Kompozit Malzeme Mekaniği-Ders Notları-Prof.Dr.Mehmet Zor

3. Ortotropik Malzeme Özelliklerinin Teorik Hesapları

20

23.08.2024

Bir Alüminyum levha, sürekli boron fiberlerle, tek yönlü (unidirectional) olarak güçlendirilmiştir. Fiberler toplam hacmin %36’ sını teşkil etmektedir. Malzemelerin özellikleri alttaki tabloda verilmiş olup bu

verilere göre elde edilen tek tabaka kompozit yapının;

a-) yoğunluğunu , b-) 1 ve 2 yönlerindeki Elastiklik Modüllerini , c-) 1-2 düzlemindeki (major ve minor) poisson oranlarını, d-) 1-2 düzlemindeki rijitlik modülünü hesaplayınız.

Kompozit Malzeme Mekaniği-Ders Notları-Prof.Dr.Mehmet Zor

d-)

Çözüm:

a-)

b-)

c-)

3. Ortotropik Malzeme Özelliklerinin Teorik Hesapları

ρ= 2,66 gr/cm³

Örnek 3.2^{(video 3a, örn 2):}