Variables Aleatorias Discretas��Valor Esperado y Varianza �

• El valor esperado, esperanza matemática o simplemente la media de una variable aleatoria discreta X, se define como:

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Valor Esperado o media �de una variable aleatoria discreta

Ejemplo 1

• Calcular la esperanza de la variable aleatoria X: la suma de los puntos que resultan a lanzar dos dados

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• Si la variable aleatoria X tiene un conjunto de posibles valores D y una función de probabilidad f(x), entonces el valor esperado de cualquier función h(X) denotada por E[h(X)] se calcula con:

Valor Esperado o media �de una función

Ejemplo 2

• Suponga que el número de automóviles que pasan por un auto lavado entre las 4:00 y las 5:00 en un viernes cualquiera tienen la siguiente distribución de probabilidad.

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• Sea g(x)=2x-1 la cantidad de dinero en dólares que el administrador le paga al empleado. Encuentre la ganancia que espera el dependiente en ese periodo específico

Ejemplo 3

• Una tienda de computadoras compró tres máquinas a 500 dólares c/u. Las venderá a 1000 dólares la pieza. El fabricante está de acuerdo en volver a comprar las computadoras que no se vendan después de un periodo especificado a 200 dólares la pieza.
• Sea X el número de computadoras vendidas y suponga que P(0)=0.1, P(1)=0.2, P(2)=0.3 y P(3)=0.4.
• Si h(X) representa la ganancia obtenida con la venta de X unidades, la información proporcionada indica que
• h(X)=ingreso-costo=1000X+200(3-X)-1500=800X-900
• Entonces la ganancia esperada es:

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Sean a, b y c constantes.

Reglas del Valor Esperado

Varianza y desviación estándar de una variable aleatoria discreta

• Sea f(x) la función de probabilidad y sea  su valor esperado. La varianza se define:

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• La desviación estándar de X es

Ambas miden la “dispersión de los datos”. Observa que la desviación estándar lo hace con las mismas unidades que los datos originales

Varianza

(fórmula abreviada)

Que para hacer los cálculos se traduce en:

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Calcula la varianza y desviación estándar de la variable aleatoria X en el ejemplo de los dos dados:

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Ejemplo 4

Algunas propiedades de la Varianza

Se elimina b y se eleva al cuadrado a