BAB V SISTEM BILANGAN

Tujuan Instruksional Umum

Mahasiswa dapat menguasai konsep sistem bilangan yang merupakan

salah satu komponen terpenting dalam kegiatan pengolahan data digital.

Tujuan Instruksional Khusus

Mahasiswa mengerti dan mampu menjelaskan tentang konsep-konsep

sistem bilangan dan konversi bilangan dalam kegiatan pengolahan data

digital.

​

Sistem Bilangan adalah suatu cara untuk mewakili besaran

dari item fisik. Sistem bilangan yang banyak dipergunakan

oleh manusia adalah sistem bilangan desimal, yaitu sistem

bilangan yang menggunakan 10 macam simbol untuk

mewakili suatu besaran.

​

Seluruh data, baik yang berupa angka, abjad, ataupun karakter

spesial, kemudian ditulis dalam rangkaian kombinasi simbol

0 dan 1. Misal, angka 5 ditulis dalam bentuk 0101, dan huruf E

ditulis dalam 1110.

​

Pabrik komputer membuat seluruh terjemahan ini dalam

bentuk rangkaian elektronik yang tersimpan di dalamnya.

Karena hanya memiliki 2 simbol dasar, yaitu 1 dan 0, maka

sistem bilangan ini kemudian dikenal sebagai sistem bilangan

biner (binary number).

​

Representasi Karakter

​

Representasi standard kumpulan karakter (character set) yang

ada di dunia komputer adalah sebagai berikut:

• BCD(Binary Coded Decimal), pada awalnya BCD

menggunakan 4 bit guna menyajikan bilangan desimal.

Setiap digit di dalam bilangan desimal, akan diubah ke dalam

bentuk 4 bit biner, sebagai contoh, bilangan 4852 didalam

bilangan desimal, akan diubah menjadi 0100 1000 0101 0010.

• ASCII (American Code For Information Interchange),

merupakan sebuah kode standard kode 7 bit yang

menggambarkan karakter dengan menggunakan karakter

dengan menggunakan nilai biner. Jangkauan ASCII adalah

dari 0-127. Kebanyakan dari komputer pribadi (PC)

menggunakan perluasan dari kode ASCII berbasis 8,

sehingga didapatkan 128 karakter ekstra, yang digunakan

sebagai simbol khusus, karakter khusus, dan simbol grafis.

​

• EBCDIC(Extended Binary Coded Decimal Interchanged Code)

,EBCDIC menggunakan 8 bit guna menyajikan data yang

ada. Kode-kode ini banyak digunakan oleh komputer IBM

ataupun peralatan yang menggunakan standard IBM.

• Unicode adalah standard agar komputer dapat

melambangkan dan mengolah teks secara konsisten, dengan

tersajikan dalam sistem penulisan paling umum di dunia,

ASCII terdiri dari 128 karakter, Unicode terdiri dari 100.000

karakter.

• Dan berbagai representasi karakter lainnya. Untuk

representasi Biner (Binary), Oktal (Octal), dan

Heksadesimal (Hexadecimal), akan dibahas tersendiri pada

sub bab berikutnya.

​

​

​

Bilangan Desimal, Biner, Oktal, dan Heksadesimal

​

Sistem bilangan yang selama ini dikenal dengan sistem bilangan desimal,

dimana sistem bilangan ini terdiri dari 10 simbol, yaitu dari angka 0

sampai dengah 9. Karena terdiri dari 10 simbol, yaitu dari angka 0 sampai

dengan 9. Karena terdiri dari 10 buah simbol, maka sistem bilangan

desimal sering disebut sebagai bilangan basis 10.

​

Untuk lebih memahami konsep bilangan desimal, perhatikan

contoh ilustrasi dibawah ini:

9072,3₍₁₀₎= 9x10³ + 0x10² + 7x10¹ + 2x10⁰ + 3x10^-1

= 9000 + 0 + 70 + 2 + 0,3(ingat 10^-1=1/10¹)

​

Sebagaimana yang telah disinggung sebelumnya sistem

bilangan biner hanya terdiri dari 2 simbol, yaitu 0 dan 1.

Sistem bilangan biner juga sering disebut sebagai sistem

bilangan basis 2. Untuk lebih memahami konsep bilangan

biner, perhatikan contoh konversi bilangan biner ke dseimal

berikut ini.

1001.1₍₂₎ = 1x2³ + 0x2² + 0x2¹ + 1x2⁰ + 1x2^-1

= 8 + 0 + 0 + 1 + 0,5

= 9,5₍₁₀₎

​

​

Sistem bilangan oktal mempunyai 8 simbol dasar, yaitu mulai

angka dari 0 sampai dengah 7. Karena terdiri dari 8 buah

simbol, maka sistem bilangan oktal sering disebut sebagai

bilangan basis 8. Untuk lebih memahami konsep bilangan

desimal, perhatikan contoh konversi bilangan oktal ke desimal

sebagai berikut ini:

456,7₍₈₎ = 4x8² + 5x8¹ + 6x8⁰ + 7x8^-1

= 4x64 + 5x8 + 6x1 + 7x0,125

= 256 + 40 + 6 + 0,875

= 302,875₍₁₀₎

​

Simbol dasar untuk bilangan hexsadesimal berjumlah 16,

yaitu mulai angka dari 0 sampai dengan 9, dan abjad dari A

sampai dengan F. Karena terdiri dari 16 buah simbol, maka

sistem bilangan heksadesimal sering disebut sebagai bilangan

basis 16. Untuk lebih memahami konsep bilangan heksadesimal,

perhatikan contoh konversi bilangan heksadesimal ke decimal

berikut ini:

4CF9,E₍₁₆₎ = 4x16³ + Cx16² + Fx16¹ + 9x16⁰ + Ex16^-1

= 4x4096 + (12)x256 + (15)x16 + 9x1 + (14)x0,0625

= 16384 + 3072 + 240 + 9 + 0,875

= 19705,875₍₁₀₎

​

Simbol dasar 8 (oktal) dan 16 (heksadesimal) hanya

dibutuhkan saat mengubah dari atau menjadi biner, dan

dengan cara ini, maka memungkinkan penulisan menjadi

lebih ringkas dari nilai sebenarnya yang ada di dalam memori

komputer. Oktal senantiasa ditulis dalam 3 digit (basis 8 = 2³)

dan heksadesimal dalam 4 digit (basis 16 = 2⁴).

​

Representasi bilangan decimal biner, oktal, dan heksadesimal,

ditunjukkan pada tabel dibawah ini:

​

Tabel 5.1 Representasi bilangan Desimal, Biner, Oktal dan

Heksadesimal

​

Konversi Bilangan

Sebelumnya telah dijelaskan bagaimana sistem bilangan biner, oktal,

desimal, dan konversinya ke dalam (basis 10), sekarang akan dibahas cara

konversi berbagai sistem bilangan.

Langkah konversi dari decimal ke biner adalah dengan

melakukan pembagian dengan 2 (dua) secara suksesif sampai

hasil baginya sama dengan 0 (nol). Misalkan jika 19 dibagi

dengan 2, maka 9 adalah hasil bagi, dan 1 adalah sisa hasil bagi

(modulo). Sisa-sisa hasil pembagian inilah yang menjadi bit

penyusun angka biner hasil konversi, di mana sisa hasil bagi

(selanjutnya disebut sisa) yang pertama akan menjadi LSB

(Least Significant Bit) atau MSB (Least Significant Bit) atau

MSD (Most Significant Digit). Untuk lebih jelasnya, perhatikan

cara penyelesaian konversi bilangan bulat desimal 199

menjadi biner berikut ini.

​

​

Untuk lebih jelasnya, perhatikan cara penyelesaian konversi

bilangan bulat desimal 199 menjadi biner berikut ini.

199/2 = 99 sisa 1🡪LSB

99/2 = 49 sisa 1

49/2 = 24 sisa 1

24/2 = 12 sisa 0

12/2 = 6 sisa 0

6/2 = 3 sisa 0

3/2 = 1 sisa 1

½ = 0 sisa 1 🡪MSB

199₍₁₀₎ = 11000111₍₂₎

​

Contoh berikutnya adalah bagaimana cara mengkonversi

bilangan pecahan desimal ke bilangan biner, misalkan

147,3125₍₁₀₎ . Langkah pertama adalah memisahkan antara

bilangan yang bulat dan pecahan. Selanjutnya lakukan

pembagian dengan 2 untuk bilangan bulat seperti yang

dijelaskan sebelumnya, dan lakukan dengan 2 untuk bilangan

pecahan sampai sisa perkalian sama dengan 0 atau 2 nilai

pecahannya.

​

​

147/2 = 73 sisa 1

73/2 = 36 sisa 1

36/2 = 18 sisa 0

18/2 = 9 sisa 0

9/2 = 4 sisa 1

4/2 = 2 sisa 0

2/2 = 1 sisa 0

½ = 0 sisa 1

147₍₁₀₎ = 10010011₍₂₎

0,3125 x 2 = 0 sisa 0,625

0,625 x 2 = 1 sisa 0,25

0,25 x 2 = 0 sisa 0,5

0,5 x 2 = 1 sisa 0

0.3125₍₁₀₎ = .0101₍₂₎

147,3125₍₁₀₎ = 10010011.0101₍₂₎

​

Contoh konversi bilangan pecahan desimal di atas masih

relatif mudah, karena sisa perkalian akhir mutlak sama

dengan 0, bagaimana bila tidak demikian?. Misalkan,

konversi bilangan 60,61₍₁₀₎ ke bilangan biner. Caranya adalah

dengan menghentikan perkalian bila diketemukan sisa

perkalian ≥ pecahan desimal yang dibagi.

​

Konversi Desimal ke Oktal

Cara termudah untuk mengkonversi bilangan desimal ke oktal adalah

dengan melakukan pembagian dengan angka 8 secara suksesif,

sampai hasil baginya sama dengan 0.

199/8 = 24 sisa 7 🡪LSB

24/8 = 3 sisa 0

3/8 = 0 sisa 3 🡪MSB

199₍₁₀₎ = 307₍₈₎

​

Konversi Desimal ke Heksadesimal

Mirip dengan konversi bilangan biner ke oktal adalah dengan

mengkonversi bilangan desimal ke heksadesimal adalah dengan melakukan

pembagian dengan angka 16 secara suksesif, sampai hasil baginya sama

dengan 0.

199/16 = 12 sisa 7 🡪 LSB

12/16 = 0 sisa (12) 🡪 MSB

199₍₁₀₎ = (12)7₍₁₆₎ = C7₍₁₆₎

​

Konversi Biner ke Oktal

Langkah konversi bilangan biner ke oktal adalah dengan membagi digit

biner ke dalam grup, dengan masing-mnasing grup berisi 3 digit.

Selanjutnya, masing-masing grup diterjemahkan ke dalam oktal

(memanfaatkan tabel 5.1 sebelumnya).

Untuk bilangan bulat biner, pembagian grup dimulai dari digit

paling kiri. Apabila dalam pembagian grup ada yang kurang

dari 3 digit, tambahkan digit 0 (nol) di sebelah kiri untuk

bilangan bulat biner, dan tambahkan digit 0 di sebelah kanan

untuk bilangan pecahan biner.

​

Contoh berikut merupakan konversi bilangan biner ke oktal.

10010011.0101₍₂₎ = 010 010 011 010 100

= 2 2 3 2 4

= 223.24₍₈₎

147,3125₍₁₀) = 10010011.0101(2) = 223.24₍₈₎

Konversi Biner ke Heksadesimal

Langkah konversi bilangan biner ke heksadesimal tidak jauh beda dengan

konversi ke bilangan oktal, yaitu dengan membagi digit biner ke dalam

grup, dengan masing-masing grup berisi 4 digit, unthuk selanjutnya

diterjemahkan ke dalam bentuk bilangan heksadesimal (lihat tabel 5.1).

Contoh berikut merupakan konversi bilangan biner ke heksadesimal.

Untuk bilangan bulat biner, pembagian grup dimulai dari

paling kanan, dan untuk bilangan pecahan biner dimulai dari

grup paling kiri. Apabila dalam pembagian grup ada yang

kurang dari 4 digit, maka untuk bilangan bulat biner tambahan

digit 0 (nol) sebelah kiri, dan untuk bilangan pecahan biner ditambahkan

sebelah kanan

11000111₍₂₎ = 1100 0111

= 12 7

= C7₍₁₆₎

199₍₁₀₎ = 11000111₍₂₎ = C7₍₁₆₎

​

Berikut disajikan lagi contoh konversi bilangan biner ke heksadesimal

yang mengandung pecahan.

11011001100001.0011001100₍₂₎

= 0011 0110 0110 0001 . 0011 0011 0000

= 3 6 6 1 . 3 3 0

= 3661.330₍₁₆₎

Angka 0 (nol) yang dicetak miring tebal pada contoh-contoh di atas

merupakan 0 (digit biner) yang ditambahkan untuk melangkapi jumlah

digit menjadi 3 (oktal) atau 4 (heksadesimal).

​

Konversi Oktal ke Biner dan Heksadesimal

Konversi bilangan oktal ke biner dapat dilakukan dengan mengubah

setiap digit oktal ke dalam 3 digit biner. Sedangkan, konversi bilangan

oktal ke heksadesimal dapat dilakukan dengan memanfaatkan hasil

konversi nilai biner, sebagaimana yang telah dijelaskan sebelumnya

(konversi biner ke heksadesimal)

7510.16₍₈₎ = 111 101 001 000 . 001 110

= 1111 0100 1000 . 0011 1000₍₂₎

= F48.38₍₁₆₎

​

Berikut ini disajikan lagi contoh konversi bilangan oktal ke heksadesimal

yang lebnih kompleks.

12345670.012₍₈₎= 001 010 011 100 101 110 111 000. 000 001 010₍₂₎

=0010 1001 1100 1011 1011 1000 .0000 0101₍₂₎

= 2 9 C B B 8 . 0 5₍₁₆₎

= 29CBB8.05₍₁₆₎

​

​

Konversi Heksadesimal ke Biner dan Oktal

Konversi bilangan heksadesimal ke biner dapat dilakukan dengan

mengubah setiap digit oktal ke dalam 4 digit biner. Sedangkan konversi

bilangan heksadesimal ke oktal dapat dilakukan dengan memanfaatkan

hasil konversi nilai biner, sebagaimana yang telah dijelaskan sebelumnya

(konversi biner ke oktal)

​

ABCD.EF₍₁₆₎= 1010 1011 1100 1101 . 1110 1111₍₂₎

= 001 010 101 111 001 101 . 111 011 110₍₂₎

= 1 2 5 7 1 5 . 7 3 6₍₈₎

= 125715.736₍₈₎

​

​