Бимедианы четырехугольника
Выполнила ученица 10а класса
БОУ «Гимназии №88» г.Омска
Антипьева Надежда Алексеевна
Antipeva Nadezda
Тел. 89136213178
Ул. 3 Транспортная д.32 кв.20
Научный руководитель
Куликова Ирина Валерьевна
Тел. 89139717595
Номинация «Геометрические миниатюры»
введение
Крупное научное открытие даёт решение крупной проблемы, но и в решении любой задачи присутствует крупица открытия. Д. Пойа.
В математике самыми трудными считаются геометрические задачи. Почти каждая геометрическая задача нестандартна. Надо подумать, какие нужно сделать дополнительные построения, какими воспользоваться теоремами, при этом очень непросто из их огромного количества выбрать ту, которая наилучшим образом поможет в решении. Работа посвящена бимедианам четырехугольника и теореме Вариньона. Эти замечательные понятия не входят в программу по геометрии для средней школы. Однако при решении целого класса задач эти понятия позволяют легко получить решение, в то время когда традиционные подходы приводят к громоздким и утомительным преобразованиям.
Актуальность темы:
Цель работы:
Изучение теории вопроса и исследование приемов решений планиметрических задач с использованием теоремы Вариньона и следствий из нее.
Новизна работы состоит в том, что область применения теоремы Вариньона не раскрыта в школьных учебниках и не показана её роль в решении задач.
содержание
Задачи работы:
Методы исследования:
1. Анализ, систематизация и обобщение данных из различных источников информации (основные источники информации – статьи из периодических изданий по математике (журналы: «Квант», «Математика в школе», «Математика»), энциклопедии, Интернет);
2. Самостоятельное решение задач.
Практическая и теоретическая значимость работы состоит в том, что данное исследование можно использовать при проведении уроков, кружков, факультативов, подготовке к олимпиадам и экзаменам. Решение олимпиадных задач служит хорошей подготовкой к будущей научной деятельности, заостряет интеллект.
Пьер Вариньон и его теорема.
Окружающий нас мир – это мир геометрии, чистой,
истинной, безупречной в наших глазах.
Всё вокруг – геометрия.
Ле Карбюзье
Пьер Вариньон, руководивший «Журналом учёных» в Париже и написавший учебник по элементарной геометрии, по-видимому, первым заострил внимание на, казалось бы, довольно очевидном факте: середины сторон выпуклого четырёхугольника являются вершинами параллелограмма.
Пьер Вариньон (1654 — 22.12.1722), французский механик и математик, родился в г. Каенне во Франции. Изучал философию и математику. Работал профессором математики в коллеже Мазарини с 1688 г., с 1704 г. – в Коллеже де Франс, член Парижской Академии наук с 1688 г. Труды Вариньона посвящены теоретической механике, анализу бесконечно малых, геометрии, гидромеханике. Наибольшее значение имеют работы Вариньона по геометрической статике. В 1687 г. в работе «Проект новой механики...» Вариньон дал чёткую формулировку закона параллелограмма сил, развил понятие момента сил и вывел, так называемую, теорему Вариньона.
Доказательство теоремы Вариньона
Теорема Вариньона вытекает из теоремы о средней линии треугольника и гласит: середины сторон произвольного четырёхугольника являются вершинами параллелограмма. Стороны этого параллелограмма параллельны диагоналям четырёхугольника, а их длины равны половинам длин диагоналей.
Четырёхугольник — это многоугольник, содержащий четыре вершины и четыре стороны (многоугольник – простая замкнутая ломаная). Различают выпуклые и невыпуклые четырёхугольники.
Рассмотрим доказательство теоремы для выпуклого четырёхугольника.
Четырёхугольник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от каждой прямой, проходящей через две его соседние вершины.
Бимедианы четырехугольника – это отрезки, соединяющие середины противоположных сторон.
Теорема: Четырехугольник, образованный путем последовательного соединения середин сторон выпуклого четырехугольника, является параллелограммом, и его площадь равна половине площади данного четырехугольника.
доказательство
1. Рассмотрим одну из сторон четырехугольника KLMN, например KL. Так как KL является средней линией треугольника ABC, то KL║AC. По тем причинам MN║AC. Следовательно, KL║NM и KL=MN=AC/2. таким образом, - параллелограмм. Этот параллелограмм называется параллелограммом Вариньона данного четырехугольника.
2. Средняя линия треугольника отсекает от него треугольник, площадь которого в четыре раза меньше площади исходного треугольника. Поэтому сама сумма площадей первого и третьего треугольников равна четверти площади всего четырехугольника. То же и относительно суммы площадей второго и четвертого треугольников. Поэтому площадь параллелограмма KLMN составляет половину площади четырехугольника ABCD. Теорема доказана.
Следствия из теоремы:�следствие 1
Параллелограмм Вариньона является ромбом тогда и только тогда, когда в исходном четырехугольнике диагонали равны.
Так как диагонали исходного четырехугольника равны, то стороны параллелограмма Вариньона будут равны (используя свойство средних линий треугольников, образованных при пересечении диагоналей исходного четырехугольника). Параллелограмм Вариньона является ромбом (по признаку ромба).
Параллелограмм Вариньона является ромбом тогда и только тогда, когда в исходном четырехугольнике бимедианы перпендикулярны.
Бимедианы исходного четырехугольника – это диагонали параллелограмма Вариньона. Так как в параллелограмме диагонали перпендикулярны, то этот параллелограмм является ромбом (по признаку ромба).
Параллелограмм Вариньона является прямоугольником тогда и только тогда, когда в исходном четырехугольнике диагонали перпендикулярны
Так как диагонали исходного четырехугольника перпендикулярны, то стороны параллелограмма Вариньона будут перпендикулярны. Тогда параллелограмм Вариньона является прямоугольником (по признаку прямоугольника).
Параллелограмм Вариньона является прямоугольником тогда и только тогда, когда в исходном четырехугольнике бимедианы равны .
Бимедианы исходного четырехугольника – это диагонали параллелограмма Вариньона. Так как в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм является прямоугольником (по признаку прямоугольника).
Параллелограмм Вариньона является квадратом тогда и только тогда, когда в исходном четырехугольнике диагонали равны и перпендикулярны.
Так как диагонали исходного четырехугольника равны и перпендикулярны, то стороны параллелограмма Вариньона будут равны и перпендикулярны. Тогда
параллелограмм Вариньона
является квадратом
(по признаку квадрата).
Параллелограмм Вариньона является квадратом тогда и только тогда, когда в исходном четырехугольнике бимедианы равны и перпендикулярны.
Бимедианы исходного четырехугольника – это диагонали параллелограмма Вариньона. Так как в параллелограмме диагонали равны и перпендикулярны, то этот параллелограмм является квадратом (по признаку квадрата).
Следствие 2
Бимедианы четырехугольника и отрезок, соединяющий середины диагоналей, пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.
Доказательство: Пусть KM и LN – бимедианы ABCD, PQ – отрезок, соединяющий середины диагоналей АС и BD.
То, что бимедианы KM и LN точкой пересечения делятся пополам, следует из того, что эти отрезки являются диагоналями параллелограмма Вариньона. Поэтому нам достаточно доказать, что отрезки PQ и LN их точкой пересечения делятся пополам (рис. а и б; обращаем внимание на то, что в невыпуклом четырехугольнике одна из диагоналей расположена вне четырехугольника).
Используя теорему о средней линии треугольника для соответствующих треугольников, имеем:
LQ║CD║PN и PL║AB║NQ.
Тем самым, PLQN – параллелограмм. По свойству параллелограмма следует, что отрезки PQ и LN их точкой пересечения делятся пополам. Что и требовалось доказать.
Следствие 3�(теорема Эйлера)
Для четырехугольника сумма квадратов всех сторон равна сумме квадратов диагоналей плюс учетверенный квадрат отрезка, соединяющего середины диагоналей, то есть
доказательство
Уже было отмечено что LPNQ – параллелограмм.
Поэтому
В последнем равенстве мы дважды воспользовались теоремой о средней линии треугольника. Аналогично для параллелограмма KPMQ имеем:
Кроме того,
Так как KLMN – параллелограмм Вариньона четырехугольника ABCD. Складывая первые два равенства и учитывая последнее, получаем соотношение Эйлера.
Следствие 4.�(теорема о бабочках).
Суммы площадей накрест лежащих четырехугольников, образованных пересечением бимедиан LN и KM выпуклого четырехугольника ABCD равны.
Доказательство.
Воспользуемся теоремой о средней линии треугольника. Получаем:
Что и требовалось доказать.
Теорема Вариньона и следствие из неё остаются верными и для невыпуклого четырехугольника, и для самопересекающейся четырехугольной замкнутой ломаной (рис. 1, 2); в последнем случае может оказаться, что параллелограмм KLMN «вырожденный» - точки K, L, M, N лежат на одной прямой) (доказательство аналогично рассмотренному выше).
Оказывается, что даже не обязательно, чтобы исходный четырёхугольник был плоский, т. е. его вершины не обязаны попадать в одну плоскость, а теорема Вариньона всё равно верна! (рис. 3).
Применение теоремы Вариньона.
Применение теоремы Вариньона к доказательству основного свойства медиан треугольника.
Продемонстрируем применение теоремы Вариньона к доказательству теоремы об основном свойстве медиан треугольника.
Теорема. Медианы в треугольнике пересекаются в одной точке и делятся в ней в отношении 2:1, считая от вершины.
Доказательство: проведём две медианы AK и BL треугольника ABC. Пусть О – точка их пересечения. Середины сторон невыпуклого четырехугольника АCBО – точки K, L, M и N (рис. 8а) – вершины параллелограмма, причем точкой пересечения его диагоналей KM и LN для этой конфигурации будет точка пересечения медиан О. Итак, AM = MO = OK и BN = NO = OL, т.е. точка О делит каждую из медиан AK и BL в отношении 2:1.
Аналогично доказывается для медианы, проведённой из вершины С.
Для сравнения рассмотрим доказательство этой теоремы, использованное в учебнике геометрии Атанасяна Л.С.
Доказательство: рассмотрим произвольный треугольник ABC (рис. 8б). Обозначим буквой О точку пересечения его медиан AА1 и ВВ1 и проведём среднюю линию А1В1 этого треугольника. Отрезок А1В1 параллелен стороне АВ, поэтому и как накрест лежащие при пересечении параллельных прямых АВ и А1В1 секущими АА1 и ВВ1 . Следовательно, треугольники АОВ и А1ОВ1 подобны по двум углам, и, значит, их стороны пропорциональны:
Но АВ=2А1В1, поэтому АО=2А1О и ВО=2В1О. Таким образом, точка О пересечения медиан АА1 и ВВ1 делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины.
Аналогично доказывается, что точка пересечения медиан ВВ1 и СС1 делит каждую из них в отношении 2:1 считая от вершины, и, следовательно, совпадает с точкой О. Теорема доказана.
На наш взгляд, доказательство с помощью теоремы Вариньона проще.
Применение теоремы Вариньона к решению задач
Рассмотрим применение теоремы Вариньона к решению планиметрических задач повышенной трудности.
Мы будем называть параллелограмм KLMN параллелограммом Вариньона, а отрезки КМ и LN, соединяющие середины противоположных сторон четырёхугольника АВСD - средними линиями этого четырёхугольника.
Задача 1. В выпуклом пятиугольнике ABCDE середины сторон AB и CD, BC и DE соединены отрезками. K, L – середины этих отрезков. Доказать, что отрезок KL параллелен пятой стороне AE и составляет ¼ от неё.
Решение: отрежем четырёхугольник ABCD и пусть Р-середина AD, тогда по теореме Вариньона A1B1C1P – параллелограмм, А1С1 – его диагональ и К –
середина А1С1, значит, К – середина и второй диагонали параллелограмма В1Р.Значит, KL – средняя линия треугольника PB1D1, поэтому KL||PD1 и KL=1/2 PD1, но PD1 – средняя линия треугольника ADE, значит, PD1||AE и PD1=1/2AE, поэтому KL||AE и KL=1/4 AE.
Задача 2. Верно ли, что можно составить треугольник из любой средней линии треугольника и отрезков, вдвое меньших его диагоналей?
Решение: верно, так как параллелограмм Вариньона существует для любого выпуклого четырёхугольника. Например, условию задачи удовлетворяют треугольники KLM и LMN на рис.
Задача 3. Докажите, что сумма квадратов диагоналей четырёхугольника в два раза больше суммы квадратов его средних линий.
Доказательство: в параллелограмме Вариньона, как и в любом другом параллелограмме, сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех его сторон, т.е.
Учитывая, что KL=1/2 AC и LM= 1/2 BD, получим: KM2+LN2=1/2(AC2+BD2), AC2+BD2=2(KM2+LN2).
Задача 4. Докажите, что площадь параллелограмма Вариньона равна половине площади четырёхугольника ABCD.
Доказательство:
Учитывая, что , KL=1/2 AC и KN=1/2 BD, получим: рис. 12
Задача 5. Докажите, что все четырёхугольники, имеющие общие середины сторон, равновелики.
Доказательство: действительно, для всех таких четырёхугольников определён один и тот же параллелограмм Вариньона. Его площадь равна половине площади каждого из исходных четырёхугольников, тем самым их равновеликость доказана.
Задача 6. Докажите, что если диагонали четырёхугольника равны, то его площадь равна произведению средних линий.
Доказательство: в случае равенства диагоналей AC и BD параллелограмм Вариньона KLMN является ромбом), а площадь ромба равна половине произведения диагоналей:
тогда
Задача 7. Диагонали четырёхугольника ABCD равны d1 и d2, а средние линии равны между собой. Найдите площадь четырёхугольника.
Решение: из условия задачи следует, что в параллелограмме Вариньона диагонали KM и LN равны. Значит, KLMN – прямоугольник и SKLMN=1/2 d1d2, а с другой стороны, SKLMN=1/2 SABCD, следовательно, SABCD=1/2d1d2.
Ответ: SABCD=1/2d1d2.
Задача 8. Докажите, что площадь четырёхугольника равна произведению средней линии на одну из диагоналей и на синус угла между ними.
Доказательство: необходимо доказать,
что . Треугольник KLN представляет собой половину параллелограмма Вариньона. ( ). Так как KL=1/2AC, то , значит, , а с другой стороны, (см. задачу 8), тогда .
Задача 9. Постройте трапецию по диагоналям, одному из углов и отрезку, соединяющему середины оснований.
Решение: пусть в трапеции ABCD, которую необходимо построить, известны длины диагоналей AC и BD, отрезка LN и величина угла А.
Поскольку и , нетрудно построить по трём сторонам треугольник KLN. Далее построим его до параллелограмма Вариньона. Затем на отрезке KN построим сегмент, вмещающий угол А, и проведём через точку N параллельно KM прямую, она пересечёт сегмент в точке А. Дальнейшее построение очевидно.
Задача 10.
Все стороны выпуклого четырехугольника площади 1 разделены на 2n равных частей, а затем точки деления на противоположных сторонах соединены так, чтобы получилась «косоугольная шахматная доска», состоящая из белых и черных «клеток» (см. рис. при n = 2). Доказать, что сумма площадей всех белых «клеток» равна сумме площадей всех черных «клеток».
Решение
Из следствия 2 следует, что точки пересечения отрезков на этой доске делят каждый на равные части.
Тогда в любом «маленьком» четырехугольнике,куда входят ровно две белые и две черные клетки, выполняются условия теоремы о бабочках. Нужное равенство установлено.
Задача 11.
Пусть L и N – середины противоположных сторон BC и AD четырехугольника ABCD . Доказать, что площадь четырехугольника LPNQ равна сумме площадей треугольников ABP и CQD.
Решение.
Покажем, что
В треугольнике ACD медиана CN делит его на два треугольника равной площади, а в треугольнике ABC медиана AL делит его на два равновеликих треугольника. Так как ,то . аналогично устанавливается нужное равенство и для четырехугольника NBLD .
Теперь утверждение задачи следует из того, что четырехугольники ALCN и NBLD покрывают внутри четырехугольника ABCD два раза четырехугольник LPNQ и не покрывают треугольники ABP и CQD, а их сумма их площадей равна площади четырехугольника ABCD. Площадь четырехугольника, с другой стороны, равна сумме площадей шести треугольников (в том числе и треугольников ABP и CQD) и интересующего нас четырехугольника LPNQ.
Задача 12.
Пусть K, L, M, N – середины сторон выпуклого четырехугольника ABCD. Докажите, что площадь четырехугольника, образованного прямыми CK, AM, BN, DL, равна сумме площадей четырех треугольников, отмеченных на рисунке
Решение. Так как , то из этого следует, что четырехугольники AKCM и BLDN покрывают внутри четырехугольника ABCD два раза четырехугольник, образованный прямыми CK, AM, BN, DL, и не покрывают четыре треугольника, а сумма их площадей равна площади четырехугольника ABCD. Отсюда следует, что площадь четырехугольника, образованного прямыми CK, AM, BN, DL, равна сумме площадей четырех треугольников, отмеченных на рисунке.
заключение
В процессе исследования мы узнали о Пьере Вариньоне, его достижениях, рассмотрели доказательство его теоремы для различных видов четырёхугольников; показали, что справедливость теоремы не зависит от выпуклости четырёхугольника, продемонстрировали применение теоремы; Прорешав более двадцати пяти задач, убедились в том, что параллелограмм Вариньона – надёжный помощник в решении геометрических задач различной сложности, узнали много нового и интересного о свойствах геометрических фигур. Мы убедились в том, что теорема Вариньона помогает красиво, оригинально решать задачи, открывать и доказывать новые свойства четырёхугольников.
Таким образом, мы считаем, что цель работы достигнута.
Наше исследование поможет систематизировать и углубить теоретические и практические знания учащихся по геометрии. Работа перспективна, т.к. геометрия не остановилась в своём развитии, а играет всё большую роль в познании мира. В дальнейшем мы планируем поработать над утверждениями, обратными теореме Вариньона для различных видов четырёхугольников.
Список использованной литературы
1. Атанасян Л.С. Геометрия, 7-9: учебник. – М.: Просвещение, 2002. – 384 с.
2. Атанасян Л.С. Геометрия, 10-11: учебник. – М.: Просвещение, 2003. – 206 с.
3. Атанасян Л.С. Геометрия. Доп. главы к школьному учебнику 8 кл.: учебное пособие для учащихся школ и классов с углублённым изучением математики. – М.: Вита-Пресс, 2002. – 205 с.
4. Атанасян Л.С. Геометрия. Доп. главы к школьному учебнику 9 кл.: учебное пособие для учащихся школ и классов с углублённым изучением математики. – М.: Вита-Пресс, 2002. – 198 с.
5. Вагутен В.Н. Средние линии// Журнал «Квант». – 1989. – № 6. – с. 46-51.
6. Генденштейн Л.Э., Ершова А.П. Наглядный справочник по геометрии для 7-11 кл. – Москва-Харьков: Развивающее обучение, 1996. – 96 с.
7. Гусев В.А. Сборник задач по геометрии. – М: ОНИКС 21 век, Мир и образование, 2005. – 480 с.
8. Глейзер Г.И. История математики в школе, 9-10 кл. – М.: Просвещение, 1983. –351 с.
9. Зив Б.Г. Задачи к урокам геометрии. 7-11 кл. – СПб: АКАЦИЯ, 1995. – 624 с.: ил.
10. Ильин В. Применение теоремы о средней линии треугольника к решению задач// Газета «Математика». Объединение педагогических изданий «1 сентября». – 1998. – № 48. – с. 11-12.
11. Куланин Е.Д. 3000 конкурсных задач по математике. – М.: Рольф, 1997. – 608 с.
12. Куркин Е.Б., Спивак А.В., Цветков В.И. Числа и фигуры математики. Новая школьная энциклопедия. – М: Мир книги, 2005. – 675 с.
13. Нагибин Ф.Ф., Канин Е.С. Математическая шкатулка. – М.: Дрофа, 2006. – 270 с.: ил.
14. Фарков А.В. Учимся решать олимпиадные задачи. Геометрия. 5-11 кл. – М.: Айрис-пресс, 2006. – 128 с.: ил.
15. Филипповский Г.Б. Параллелограмм Вариньона решает задачи// Журнал «Математика в школе». – 2006. – № 4. – с. 45-49.
16. Шарыгин И.Ф. Решение задач. Пособие для 10 кл. общеобразоват. учреждений. – М.: Просвещение, 1994. – 252 с.
17. Шарыгин И.Ф. Геометрия 9-11 кл. От учебной задачи к творческой: учеб. пособие. – М.: Дрофа, 1996. – 400 с.
18. Энциклопедический словарь юного математика// Сост. Савин А.П. –
М.: Педагогика, 1985. – 352 с.
19. Энциклопедия. Т.11. Математика. – М.: Аванта +, 2000. – 688 с.