ПРЯМОКУТНИКОМ називають паралелограм, у якого всі кути прямі
Властивості прямокутника
2. Протилежні кути прямокутника рівні
3. Діагоналі прямокутника точкою перетину діляться навпіл
6. Діагоналі прямокутника рівні
4. Діагональ прямокутника ділить його на 2 рівних трикутника
5. Бісектриса кута прямокутника відтинає від нього рівнобедрений
трикутник
Доведення
АВСD-прямокутник за умовою. АС, BD- його діагоналі. АС∩BD=0.
АС=DB за властивістю діагоналей прямокутника.
АО=ОС, ВО=ОD за властивістю діагоналей прямокутника. Звідси, ВО=АО і АО=DO.
Маємо, ∆АОВ та ∆АОD рівнобедрені за означенням
Розвʼязання
Нехай ABC ( ∠C=90°) заданий рівнобедрений прямокутний трикутник, AC=CB=12 см, ∠A=∠B=45°; CDEF - вписаний у нього прямокутник за умовою.
Оскільки, CDEF - вписаний прямокутник, то CF ∈ CB, CD ∈ CA за побудовою. CF ॥DE, як протилежні сторони прямокутника, тому CB॥DE.
∠ADE=∠C =90° за властивістю паралельних прямих.
Розглянемо ΔADE ( ∠ADE=90°) : ∠A=45°, тоді ∠AED=45°⇒ ΔADE -рівнобедрений за ознакою, тобто AD=DE.
P=2(CD+DE)= 2(CD+AD)=2AC=2⋅12 = 24 (cм)
ВІДПОВІДЬ: 24 см
Розвʼязання
ABCD - заданий прямокутник, AC, BD- його діагоналі, AC⋂BD=О .
∠BCA :∠DCA=1:5, AC= 18 см. CE丄BD, таким чином CE - шукана відстань.
Нехай х- коефіцієнт пропорційності, тоді ∠BCA=х°, ∠DCA=5х°.
∠BCA +∠DCA=90° за основною властивостю величини кута. Маємо рівняння:
х+5х=90;
6х=90;
х=15
Отже, ∠BCA=15°, ∠DCA=5・15°= 75°
У ΔCOD: CO=DO - за властивістю діагоналей прямокутника, тоді ΔCOD рівнобедрений і ∠OCD = ∠CDO за властивістю кутів рівнобедреного трикутника. З теореми про суму кутів трикутника маємо: ∠COE= 180°-(∠DCO+∠CDO)= 180°-(75°+75°)=30°
Із ΔCEO (∠CEO=90°): OC=½・AC = ½・18 = 9 (см). Катет CE лежить проти ∠COE=30°, тому CE=½・CO= ½・9=4,5 (см)
ВІДПОВІДЬ: 4,5 см
ПРЯМОКУТНИКОМ називають паралелограм, у якого всі кути прямі
Властивості прямокутника
1. | Протилежні кути та сторони рівні |
2. | Діагоналі точкою перетину діляться навпіл |
3. | Діагональ прямокутника ділить його на два рівних трикутника |
4. | Бісектриса прямокутника відтинає від нього рівнобедрений трикутник |
5. | Діагоналі прямокутника рівні |
Доведення
Нехай ABCD заданий паралелограм. АС, BD- його діагоналі. AC∩BD=E. ∠EAD =∠EDA, ∠EBA = ∠EAB за умовою.
Маємо, ΔAED i ΔAEB рівнобедрені за ознакою, з основами AD та AB.
Звідси, AE=ED i AE=BE (1)
Оскільки ABCD паралелограм , то BE=ED, AE=EC (2)
З рівностей (1) та (2) маємо: AC=BD
Отже, ABCD - прямокутник за Ознакою