1 of 21

Системы счисления

Арифметика в двоичной СС

1

2 of 21

Арифметические операции

2

сложение

вычитание

0+0=0 0+1=1

1+0=1 1+1=10₂

1 + 1 + 1 = 11₂

0-0=0 1-1=0

1-0=1 10₂-1=1

перенос

заём

1 0 1 1 0₂

+ 1 1 1 0 1 1₂

1

0

1

0

1

0

₂

1 0 0 0 1 0 1₂

– 1 1 0 1 1₂

0

₂

1

∙

0 10₂

1

0

0 1 1 10₂

0

1

0

1

Системы счисления, 10 класс

3 of 21

Арифметические операции

3

101101₂

+ 11111₂

10111₂

+101110₂

111011₂

+ 10011₂

111011₂

+ 11011₂

Системы счисления, 10 класс

4 of 21

Арифметические операции

4

101101₂

– 11111₂

11011₂

–110101₂

110101₂

– 11011₂

110011₂

– 10101₂

Системы счисления, 10 класс

5 of 21

Арифметические операции

5

умножение

деление

1 0 1 0 1₂

× 1 0 1₂

1 0 1 0 1₂

+ 1 0 1 0 1₂

1 1 0 1 0 0 1₂

1 0 1 0 1₂

– 1 1 1₂

1 1 1₂

1

₂

1 1 1₂

– 1 1 1₂

0

Системы счисления, 10 класс

6 of 21

Системы счисления

Арифметика в восьмеричной СС

6

7 of 21

Арифметические операции

7

сложение

1 5 6₈

+ 6 6 2₈

1

6 + 2 = 8 = 8 + 0

5 + 6 + 1 = 12 = 8 + 4

1 + 6 + 1 = 8 = 8 + 0

1

1 в перенос

1

0₈

0

4

1 в перенос

Системы счисления, 10 класс

8 of 21

Примеры

8

3 5 3₈

+ 7 3 6₈

1 3 5 3₈

+ 7 7 7₈

Системы счисления, 10 класс

9 of 21

Арифметические операции

9

вычитание

4 5 6₈

– 2 7 7₈

∙

(6 + 8) – 7 = 7

(5 – 1 + 8) – 7 = 5

(4 – 1) – 2 = 1

∙

заём

7₈

1

5

заём

Системы счисления, 10 класс

10 of 21

Примеры

10

1 5 6₈

6 6 2₈

–

1 1 5 6₈

6 6 2₈

–

Системы счисления, 10 класс

11 of 21

Системы счисления

Арифметика в шестнадцатеричной СС

11

12 of 21

Арифметические операции

12

сложение

A 5 B₁₆

+ C 7 E₁₆

1

1 6 D 9₁₆

10 5 11

+ 12 7 14

11+14=25=16+9

5+7+1=13=D₁₆

10+12=22=16+6

1

1 в перенос

13

9

6

1

Системы счисления, 10 класс

13 of 21

Примеры

13

С В А₁₆

+ A 5 9₁₆

F D В₁₆

+ A B C₁₆

Системы счисления, 10 класс

14 of 21

Арифметические операции

14

вычитание

С 5 B₁₆

– A 7 E₁₆

заём

∙

1 D D₁₆

12 5 11

– 10 7 14

∙

(11+16)–14=13=D₁₆

(5 – 1)+16 – 7=13=D₁₆

(12 – 1) – 10 = 1

заём

13

1

13

Системы счисления, 10 класс

15 of 21

Примеры

15

1 В А₁₆

– A 5 9₁₆

Системы счисления, 10 класс

16 of 21

Системы счисления

Решение задач

16

17 of 21

Задачи

в записи есть цифра 6, поэтому X > 6
переводим правую часть в десятичную систему

решаем уравнение

17

Задача: в некоторой системе счисления число 71 записывается как «56_x»? Определите основание системы счисления X.

71 = 56_X

1 0

56_x

= 5·X¹+ 6·X⁰

= 5·X+ 6

71 = 5·X+ 6

X= 13

Системы счисления, 10 класс

18 of 21

Задачи

в записи есть цифра 6, поэтому X > 6
переводим правую часть в десятичную систему

решаем уравнение

18

Задача: в некоторой системе счисления число 71 записывается как «155_x»? Определите основание системы счисления X.

71 = 155_X

2 1 0

155_x

= 1·X²+ 5·X¹+ 5·X⁰

= X²+ 5·X+ 5

71 = X²+ 5·X+ 5

X= 6

X= -11

Системы счисления, 10 класс

19 of 21

Задачи

19

Задача: найдите все основания систем счисления, в которых запись десятичного числа 24 оканчивается на 3.

24 = k·X+ 3

21 = k·X

X= 3, 7, 21

Системы счисления, 10 класс

20 of 21

Задачи

20

Задача: найдите все десятичные числа, �не превосходящие 40, запись которых в системе счисления с основанием 4 оканчивается на 11.

N = k·4²+ 1·4+ 1 = k·16+ 5

При k =0, 1, 2, 3, … получаем

N = 5, 21, 37, 53, …

Системы счисления, 10 класс

21 of 21

Задачи

21

Задача: Все 5-буквенные слова, составленные из букв А, О и У, записаны в алфавитном порядке. Вот начало списка:

1. ААААА

2. ААААО

3. ААААУ

4. АААОА

5. …

Найдите слово, которое стоит на 140-м месте от начала списка.

А → 0

O → 1

У → 2

1. 00000

2. 00001

3. 00002

4. 00010

5. …

в троичной системе!

на 1-м месте: 0

на 140-м месте: 139

139 = 12011₃

ОУАОО

Сколько всего?

?

Системы счисления, 10 класс