1 of 35

24.02.2025

Сьогодні

Урок

№44

Розв’язування

типових

вправ і задач

Геометрія

Розділ 3. Паралельні прямі. Сума кутів трикутника

2 of 35

24.02.2025

Сьогодні

Організація класу

Математика – наука

Точна і серйозна,

і прожить без неї нам

навіть дня не можна.

Міркуємо – швидко!

Відповідаємо – правильно!

Лічимо – точно!

Пишемо – гарно!

3 of 35

24.02.2025

Сьогодні

Перевірка домашнього завдання

Перевіряємо

домашнє

завдання

4 of 35

24.02.2025

Сьогодні

Повідомлення теми уроку та мотивація навчально-пізнавальної

діяльності учнів

Мета уроку:�закріпити знання властивостей прямокутного трикутника, ознак рівності прямокутних трикутників; сформувати вміння застосовувати їх під час розв'язування задач

5 of 35

24.02.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Цікаві

факти

Про прямокутний трикутник згадується в папірусі Ахмеса. Деякі відомості про нього знали також вавилонські геометри. Ще тоді землеміри використовували ці властивості для визначення відстані на місцевості. Термін «гіпотенуза» походить від грецького слова «іпотейнуза» і перекладається як «що тягнеться під чим-небудь», «та, що стягує». Походить це слово, найімовірніше, від давньоєгипетських арф, струни яких натягувалися на кінцях двох взаємно перпендикулярних підставок. Термін «катет» походить від грецького слова «катетос», що перекладається як «схил», «перпендикуляр».

Евклід у своїх роботах для катетів використовував формулювання «сторони, що містять прямий кут», а для гіпотенузи - «сторона, що стягує прямий кут».

6 of 35

24.02.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Повторимо…

Трикутник називають прямокутним,

якщо один з його кутів прямий.

Сторону прямокутного трикутника, яка лежить проти прямого кута, називають гіпотенузою, а дві інші сторони -

катетами.

7 of 35

24.02.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Ознаки рівності прямокутних трикутників

8 of 35

24.02.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Властивість медіани прямокутного трикутника,

проведеної до гіпотенузи

5. У прямокутному трикутнику медіана, проведена до гіпотенузи, дорівнює половині гіпотенузи.

Середина гіпотенузи рівновіддалена від його вершин.

9 of 35

24.02.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Математична розминка

10 of 35

24.02.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Завдання

від Ботана

Знайдіть на малюнках рівні трикутники.

Поясніть, чому вони рівні.

11 of 35

24.02.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Назвіть гіпотенузу і катети прямокутного трикутника PFL.

Яка сторона довша: PL чи PF; LF чи PF?

Розв’язування

типових вправ і задач

12 of 35

24.02.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Доведіть, що висоти рівнобедреного трикутника, проведені до його бічних сторін, є рівними.

Завдання 499

Підручник.

Сторінка

169

рівень

13 of 35

24.02.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Дано: ∆ABC — рівнобедрений. AB = BC; AN, CK — висоти; AN ⊥ BC, CK ⊥ AB.

Довести: AN = CK.

Доведення: За умовою ∆ABC — рівнобедрений (AB = BC).

За властивістю кутів при основі рівнобедреного трикутника маємо: ∠BAC = ∠BCA.

За умовою AN ⊥ BC; ∠ANC = 90°; CK ⊥ AB, ∠CKA =90°.

Розглянемо ∆AKC і ∆CNA:

1) ∠ANC = ∠CKA = 90°;

2) ∠BAC = ∠BCA;

3) AC — спільна сторона.

Завдання 499|Розв’язання:

рівень

За ознакою рівності прямокутних трикутників маємо: ∆AKC = ∆CNA. Звідси AN = CK (як рівні елементи рівних фігур). Доведено.

14 of 35

24.02.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Доведіть рівність прямокутних трикутників за катетом і бісектрисою, проведеною з вершини прямого кута.

Завдання 501

Підручник.

Сторінка

170

рівень

15 of 35

24.02.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Дано: ∆ABC — прямокутний (∠B = 90°).

∆A₁B₁C₁ — прямокутний (∠B1 = 90°).

BC = B₁C₁; BN — бісектриса ∠ABC;

B₁N ₁ – бісектриса ∠∆A₁B₁C₁.

Довести: ∆ABC = ∆A₁B₁C₁.

Доведення: За умовою ∠ABC = 90° і BN — бісектриса ∠ABC.

За означенням бісектриси кута маємо:

∠ABN = ∠NBC = 90° : 2 = 45°.

Аналогічно B₁N₁ – бісектриса ∠A₁B₁C₁, тоді ∠A₁B₁N₁ = = ∠N ₁B₁C₁ = 45°.

Завдання 501|Розв’язання (І):

рівень

16 of 35

24.02.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Розглянемо ∆NBC і ∆N₁B₁C₁:

1) BN – B₁N₁ (за умовою);

2) BC = B₁C₁ (за умовою);

3) ∠NBC = ∠N₁B₁C₁ = 45°.

За І ознакою рівності трикутників маємо:

∆NBC = ∆N₁B₁C₁. Звідси ∠C = ∠C₁.

Розглянемо ∆ABC і ∆A₁B₁C₁:

1) ∠ABC = ∠A₁B₁C₁ = 90°;

2) BC = B₁C₁;

3) ∠C = ∠C₁.

За ознакою рівності прямокутних трикутників маємо: ∆ABC = ∆A₁B₁C₁. Доведено.

Завдання 501|Розв’язання (ІІ):

рівень

17 of 35

24.02.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Доведіть рівність прямокутних трикутників за катетом і бісектрисою, проведеною з вершини прилег лого до цього катета гострого кута.

Завдання 503

Підручник.

Сторінка

170

рівень

18 of 35

24.02.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Дано: ∆ABC — прямокутний (∠B = 90°).

∆A₁B₁C₁ — прямокутний (∠B₁ = 90°).

AB = A₁B₁. AN — бісектриса ∠BAC;

A₁N₁ — бісектриса ∠B₁A₁C₁. AN = A₁N₁.

Довести: ∆ABC – ∆A₁B₁C₁.

Доведення:

За умовою AN — бісектриса ∠BAC, тоді за означенням бісектриси маємо: ∠BAN = ∠NAC.

Аналогічно, якщо A₁N₁ — бісектриса ∠B₁A₁C₁ тоді

∠B₁A₁N₁ = ∠N₁A₁C₁.

Завдання 503|Розв’язання (І):

рівень

19 of 35

24.02.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Розглянемо ∆BAN і ∆B₁A₁N₁:

1) ∠ABN = ∠B₁A₁N₁ = 90°;

2) AB = A₁B₁ (за умовою);

3) AN = A₁N₁ (за умовою).

За ознакою рівності прямокутних трикутників маємо: ∆BAN=∆B₁A₁N₁.

Звідси ∠BAN = ∠B₁A₁N₁ тоді ∠BAC = ∠B₁A₁C₁.

Розглянемо ∆ABC і ∆A₁B₁C₁:

1) ∠ABC = ∠A₁B₁C₁ = 90°;

2) AB = A₁B₁;

3) ∠BAC = ∠B₁A₁C₁.

Завдання 503|Розв’язання (ІІ):

рівень

За ознакою рівності прямокутних трикутників маємо: ∆ABC. Доведено.

20 of 35

24.02.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Доведіть, що в рівних трикутниках висоти, опущені на відповідні сторони, є рівними.

Завдання 505

Підручник.

Сторінка

170

рівень

21 of 35

24.02.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Дано: ∆ABC = ∆A₁B₁C₁. BN ⊥ AC; B₁N₁ ⊥ A₁C₁.

Довести: BN = B₁N₁.

Доведення: За умовою ∆ABC – ∆A₁B₁C₁, звідси AB = A₁B₁; ∠A = ∠A₁.

За умовою BN — висота, BN ⊥ AC (∠BNA =90°).

B₁N₁⊥A₁C₁ (∠B₁N₁A₁ = 90°).

Розглянемо ∆ANB і ∆A₁N₁B₁:

1) ∠BNA = ∠B₁N₁A₁ = 90°;

2) AB = A₁B₁;

3) ∠A = ∠A₁.

За ознакою рівності прямокутних трикутників маємо:

∆ABN = ∆A₁B₁N₁. Звідси BN = B₁N₁. Доведено.

Завдання 505|Розв’язання:

рівень

22 of 35

24.02.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Пряма перетинає сторони AB і BC трикутника ABC відповідно в точках M і K, які є серединами цих сторін. Доведіть, що вершини даного трикутника рівновіддалені від прямої MK.

Завдання 506

Підручник.

Сторінка

170

рівень

23 of 35

24.02.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Дано: ∆АВС. M — середина АВ. K — середина BC.

AP ⊥ MX; BE ⊥ MK; CF ⊥ MK.

Довести: AP = BE = CF.

Доведення: За умовою K — середина BC, тоді

BK = KC. Аналогічно M — середина АВ, тоді AM = MB.

Розглянемо ∆BEK і ∆CFK.

За умовою BE ⊥ MK; ∠BEK = 90°.

Аналогічно CF ⊥ MK; ∠CFK = 90°.

1) ∠BEK = ∠CFK = 90°;

2) ∠BKE = ∠CKF (вертикальні);

3) BK = KC.

Завдання 506|Розв’язання (І):

рівень

24 of 35

24.02.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

За І ознакою рівності трикутників маємо: ∆BEK = ∆CFK. Звідси BE = CF.

Розглянемо ∆APM і ∆BEM : ∠APM = ∠BEM = 90°; AM = MP;

∠AMP = ∠BME (вертикальні). За І ознакою рівності трикутників маємо:

∆APM = ∆ВЕМ.

Звідси BE = АР.

Отже AP = BE = CF.

Тому вершина трикутника рівновіддалена від прямої MK.

Доведено.

Завдання 506|Розв’язання (ІІ):

рівень

25 of 35

24.02.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Кути ABC і DBC суміжні, промінь BM належить куту ABC, промінь BK — куту DBC, ∠МВС = ∠СВК = 30°, кут DBK у 5 разів більший за кут ABM. Знайдіть кути ABC і DBC.

Завдання 514

Підручник.

Сторінка

171

26 of 35

24.02.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Дано: ∠DBC і ∠ABC — суміжні.

Промінь BM проходить між сторонами ∠CBА.

Промінь BK проходить між сторонами ∠DBC.

∠MBC = ∠CBK = 30°. ∠DBK > ∠ABM у 5 разів.

Знайти: ∠ABC і ∠DBC.

Розв'язання: Нехай ∠ABM = x, тоді ∠DBK = 5x.

За аксіомою вимірювання кутів маємо: ∠DBC = ∠DBK + ∠KBC;

∠DBC = 5x + 30; ∠CBA = ∠CBM + ∠MBA; ∠CBA = x + 30.

За умовою ∠DBC і ∠CBA — суміжні.

За теоремою про суміжні кути маємо: ∠DBC + ∠CBA = 180.

Складемо і розв’яжемо рівняння:

Завдання 514|Розв’язання (І):

27 of 35

24.02.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

5х + 30 + х + 30 = 180;

6x + 60 = 180;

6х = 180 – 60;

6х = 120;

х = 20.

∠DBC = 5 ∙ 20° + 30° = 100° + 30° = 130°.

∠CBA = 20° + 30° = 50°.

Відповідь: 130°; 50°.

Завдання 514

Розв’язання (ІІ):

28 of 35

24.02.2025

Сьогодні

Завдання для домашньої роботи

Опрацювати сторінки підручника 164-172.

Виконати завдання

№ 500.

29 of 35

24.02.2025

Сьогодні

Гімнастика для очей

30 of 35

24.02.2025

Сьогодні

Закріплення матеріалу

Різниця градусних мір двох зовнішніх кутів при вершинах гострих кутів прямокутного трикутника дорівнює 20°.

Знайдіть гострі кути трикутника.

ЗАДАЧІ ПІДВИЩЕНОЇ

СКЛАДНОСТІ

31 of 35

24.02.2025

Сьогодні

Закріплення матеріалу

Розв’язання:

ЗАДАЧІ ПІДВИЩЕНОЇ СКЛАДНОСТІ

1) Нехай у ∆ABC i ∠C = 90°; кути BAK і ABM – зовнішні кути трикутника.

2) Нехай ∠ABM = х, тоді ABAK = х + 20°.

3) ∠CBA = 180° – х; ∠CAB = 180° – (х + 20°) = 160° – х (за властивістю суміжних кутів).

4) Маємо ∠CBA + ∠CAB = 90°;

180° – х + 160° – х = 90°;

2х = 250°;

х = 125°.

5) Тоді ∠CBA = 180° – 125° = 55°; ∠CAB = 160° – 125° = 35°.

Відповідь: 55°; 35°.

32 of 35

24.02.2025

Сьогодні

Закріплення матеріалу

Чи вистачить 12 см дроту, щоб зігнути з нього трикутник, одна зі сторін якого дорівнює:

1) 7 см; 2) 6 см; 3) 5 см?

ЖИТТЄВА

МАТЕМАТИКА

33 of 35

24.02.2025

Сьогодні

Закріплення матеріалу

ЖИТТЄВА МАТЕМАТИКА

1) Ні, не вистачить, бо одна сторона (7 см) більша за суму двох інших сторін (12 – 7 = 5 (см)) і не виконується нерівність трикутника 7 см > 5 см;

2) ні, не вистачить, бо одна сторона (6 см) дорівнює сумі двох інших сторін (12 – 6 = 6 (см)) і не виконується нерівність трикутника: 6 см = 6 см;

3) так, вистачить, бо одна сторона (5 см) менша за суму двох інших сторін (12 – 5 = 7 (см)) і виконується нерівність трикутника: 7 см > 5 см.

Розв’язання:

34 of 35

24.02.2025

Сьогодні

Підсумок уроку. Усне опитування

Сформулюйте ознаку рівності прямокутних трикутників за гіпотенузою та катетом.
Сформулюйте ознаку рівності прямокутних трикутників за двома катетами.
Сформулюйте ознаку рівності прямокутних трикутників за катетом і прилеглим гострим кутом.
Сформулюйте ознаку рівності прямокутних трикутників за катетом і протилежним гострим кутом.
Сформулюйте ознаку рівності прямокутних трикутників за гіпотенузою та гострим кутом.

9. Чому дорівнює сума гострих кутів прямокутного трикутника?

35 of 35

24.02.2025

Сьогодні

Рефлексія. Вправа «Інтерв'ю»

Що найбільше вас вразило чи здивувало під час уроку?

Чи було вам важко? Якщо так, то що саме?

Чого ви навчились на уроці?