Interpolasi

Tujuan

• Interpolasi berguna untuk menaksir harga-harga tengah antara titik data yang sudah tepat.
• Interpolasi mempunyai orde atau derajat.

Macam Interpolasi

• Interpolasi Linier
• Interpolasi Kuadratik
• Interpolasi Kubik
• Interpolasi Beda Terbagi Newton
• Interpolasi Lagrange

​

Interpolasi

Perbedaan Interpolasi dan Ekstrapolasi

Macam Interpolasi Beda Terbagi Newton

• Interpolasi Linier

Derajat/orde 1 → memerlukan 2 titik

• Interpolasi Kuadratik

Derajat/orde 2 → memerlukan 3 titik

• Interpolasi Kubik

Derajat/orde 3 → memerlukan 4 titik

• Interpolasi derajat/orde ke-n

→ memerlukan n+1 titik

• Semakin tinggi orde yang digunakan untuk interpolasi hasilnya akan semakin baik (teliti)

x₀

x₁

x

f(x)

L(x)

Interpolasi Linier

Interpolasi Kudrat

x₀

x₁

x

f(x)

x₂

h

h

L(x)

Interpolasi Qubic

x₀

x₁

x

f(x)

x₂

h

h

L(x)

x₃

h

Interpolasi dg Polinomial

Interpolasi dg Polinomial

Figure : Higher order polynomial interpolation is a bad idea

Uji Coba

Interpolasi Kuadratik

• Titik yang digunakan
• -0.52 0.128866
• 0.52 0.128866
• 0 1
• F(x) =-3.22165x² + 1

Interpolasi Polinom derajat 4

• Titik yang digunakan
• 0 1
• 0.2 0.5
• -0.2 0.5
• 0.8 0.058824
• -0.8 0.058824
• F(x) =18.3824x⁴-13.2353x²+ 1

Interpolasi Polinom derajat 4

Contoh 2 :

Titik2 yang digunakan untuk menghitung interpolasi n = 3

(-3,-63) (3,-9)

(0,0) (-2,-24)

Contoh 2 :

• Persamaan
• -27a + 9b – 3c + d = -63
• 7a + 9b + 3c + d = -9
• -8a + 4b – 2c + d = -24
• d = 0
• Penyelesaian
• X³ – 4x² + 1.59872e-15X

Hasil

Interpolasi Linier

• ide dasar : pada saat data dalam bentuk tabel tidak begitu bervariasi, sehingga memungkinkan untuk dilakukan pendekatan dengan menggunakan sebuah garis lurus di antara dua titik yang berdekatan.

Interpolasi Linier

Contoh :

• Jarak yang dibutuhkan sebuah kendaraan untuk berhenti adalah fungsi kecepatan. Data percobaan berikut ini menunjukkan hubungan antara kecepatan dan jarak yang dibutuhkan untuk menghentikan kendaraan.

​

​

• Perkirakan jarak henti yang dibutuhkan bagi sebuah kenderaan yang melaju dengan kecepatan 45 mil/jam.

Contoh :

• maka untuk mencari nilai x=45 maka,

Example

The upward velocity of a rocket is given as a function of time in Table 1. Find the velocity at t=16 seconds using linear splines.

​

​

​

Table : Velocity as a

function of time

Figure : Velocity vs. time data

for the rocket example

Linear Interpolation

Interpolasi Kuadrat

F(x) = ax² + bx + c

​

Interpolasi Kuadrat

• Titik-titik data (x₁,y₁) (x₂,y₂) (x₃,y₃)

​

​

​

​

​

• Hitung a, b dan c dari sistem persamaan tersebut dengan Metode Eliminasi Gauss

Interpolasi Kuadrat (Versi lain)

• Untuk memperoleh titik baru Q (x,y)

​

​

​

​

Contoh :

• Diberikan titik ln(8) = 2.0794, ln(9) = 2.1972, ln(9.5) = 2.2513. Tentukan nilai ln(9.2) dengan interpolasi kuadrat

​

• Sistem Pers Linier yang terbentuk.
• 64 a + 8 b + c = 2.0794
• 81 a + 9 b + c = 2.1972
• 90.25 a + 9.5 b + c = 2.2513
• Penyelesaian a= -0.0064 b = 0.2266

c = 0.6762

• Sehingga p2(9.2) = 2.2192

Interpolasi Qubic

x₀

x₁

x

f(x)

x₂

h

h

L(x)

x₃

h

Interpolasi Qubic

• Terdapat 4 titik data (x₀,y₀) (x₁,y₁) (x₂,y₂) dan (x₃,y₃)
• p₃(x) = a₀ + a₁x + a₂x² + a₃x³
• Polinom p₃(x) ditentukan dengan cara
• Masukan (x_i,y_i) ke dalam persamaan
• a₀ + a₁x₀ + a₂x₀² + a₃x₀³ = y₀
• a₀ + a₁x₁ + a₂x₁² + a₃x₁³ = y₁
• a₀ + a₁x₂ + a₂x₂² + a₃x₂³ = y₂
• a₀ + a₁x₃ + a₂x₃² + a₃x₃³ = y₃
• Hitung a₀ , a₁ , a₂ , dan a₃

Metode Lain

• Secara umum, penentuan polinomial dengan cara tsb kurang disukai, karena mempunyai kemungkinan yang jelek terutama untuk derajat polinomial yang semakin tinggi.
• Terdapat beberapa metode polinom interpolasi :
• Polinom Lagrange
• Polinom Newton
• Polinom Newton Gregory

Polinom Lagrange

• Polinom berderajat satu

​

• Dapat diatur kembali sedemikian rupa sehingga menjadi

​

​

• Atau dapat dinyatakan dalam bentuk (*)

​

​

• Dimana

​

​

• Persamaan * dinamakan Polinom Lagrange derajat 1.

​

Polinom Lagrange

• Bentuk umum Polinom Lagrange derajat ≤ n untuk (n+1) titik berbeda adalah :

​

​

• Yang dalam hal ini

​

​

Contoh :

• Hampiri fungsi f(x) = cos(x) dengan polinom interpolasi derajat tiga pada range [0.0, 1.2]. Gunakan empat titik
• x₀ = 0.0, x₁ = 0.4, x₂ = 0.8, x₃ = 1.2
• Perkirakan nilai p3(0.5) dan bandingkan dengan nilai sebenarnya.

​

Contoh :

• Polinom Lagrange derajat 3 yang menginterpolasi keempat titik tsb.

​

​

​

​

​

​

​

Polinom Newton

• Polinom Lagrange kurang disukai dalam praktek karena :
• Jumlah komputasi yang dibutuhkan untuk satu kali interpolasi adalah besar. Interpolasi untuk nilai x yang lain memerlukan jumlah komputasi yang sama karena tidak ada bagian komputasi sebelumnya yang dapat digunakan.
• Bila jumlah titik data meningkat atau menurun, hasil komputasi sebelumnya tidak dapat digunakan. Karena tidak ada hubungannya antara p_n-1(x) dan p_n(x) pada polinom Lagrange
• Polinom yang dibentuk sebelumnya dapat digunakan untuk membentuk polinom derajat yang lebih tinggi.

Polinom Newton

• Persamaan Polinom Linier

​

​

• Bentuk pers ini dapat ditulis :

​

• Yang dalam hal ini (1)
• Dan (2)

​

• Pers ini merupakan bentuk selish terbagi (divided-difference)

​

Polinom Newton

• Polinom kuadratik

​

• Atau

​

• Dari pers ini menunjukkan bahwa p₂(x) dapat dibentuk dari pers sebelumnya p₁(x). Nilai a₂ dapat ditemukan dengan mengganti x=x₂ untuk mendapatkan (3)

​

​

• Nilai a₀ dan a₁ pada pers 1 dan 2 dimasukkan pada pers 3

Polinom Newton

• Dengan melakukan utak-atik aljabar, pers ini lebih disukai

Polinom Newton

• Jadi tahapan pembentukan polinom Newton :

​

Polinom Newton

• Nilai konstanta a₀, a₁, a₂,…, a_n, merupakan nilai selisih terbagi , dg nilai

​

​

​

• Yang dalam hal ini

​

Polinom Newton

• Dengan demikian polinom Newton dapat ditulis dalam hub rekursif sebagai :
• Rekurens

​

​

• basis
• Atau dalam bentuk polinom yang lengkap sbb :

Contoh Soal :

• Bentuklah polinom Newton derajat satu, dua, tiga dan empat yang menghampiri f(x)=cos(x) dalam range[0.0, 4] dan jarak antar titik adalah 1.0. Lalu taksirlah f(x) dengan x=2.5 dengan Polinom Newton derajat 3.

• Bentuklah polinom Newton derajat satu, dua, tiga dan empat yang menghampiri f(x)=cos(x) dalam range[0.0, 4] dan jarak antar titik adalah 1.0. Lalu taksirlah f(x) dengan x=2.5 dengan Polinom Newton derajat 3.

Contoh Soal :

• Contoh cara menghitung nilai selisih terbagi pada tabel :

Contoh Soal :

• Maka polinom Newton derajat 1,2 dan 3 dengan x₀ = 0 sebagai titik pertama :

​

​

​

​

​

​

​

• Nilai sejati f(2.5) adalah
• F(2.5) = cos(2.5)=-0.8011

​

​

​

​