Matrislər və determinanatlar.

1. Matrislər. Matrislər üzərində əməllər

2. İki və üç tərtibli determinantlar. Onların əsas xassələri

3. Minor və cəbri tamamlayıcı anlayışları. Determinanatın sətr və ya sütun üzrə ayrılışı.

4. Matrisin ranqı və bazis üzrə ayrılışı.

5. Tərs matris və onun təyin edilməsi.

​

11. Matrislər. Matrislər üzərində əməllər

m SƏTİR VƏ n SÜTÜNDAN İBARƏT OLAN MATRİS m x n Ölçülü MATRİS ADLANİR.

​

m=n OLDUQDA MATRİS TƏRTİBLİ KVADRAT MATRİS ADLANİR.

​

• Sətir matris

• Sütun matris

Diaqonal

matris

Skalyar

matris

Vahid

matris

Sıfır

matris

Matrisin növləri

Bütün elementləri eyni olan matrislərə BƏRABƏR MATRISLƏR deyilir.

• MATRİSİN ƏDƏDƏ VURULMASI

​

​

MATRİSLƏRİN CƏMİ VƏ FƏRQİ

​

​

YADDA SAXLA: yalnız və yalnız eyni ölçülü matrisləri toplamaq və ya çıxmaq olar.

​

​

SƏTİR MATRİSİN SÜTUN MATRİSƏ VURULMASI

(a₁₁ a₁₂ a₁₃ )

b₁₁

b₂₁

b₃₁

(a₁₁b₁₁+a₁₂b₂₁+a₁₃b₃₁ )

=

x

YADDA SAXLA: A matirsini B matrisinə vurmaq üçün A-nın sütunlarının sayı B-nin sətirlərinin sayına bərabər olmalıdır.

​

​

A_mxn x B_nxq = C_mxq

MATRİSLƏRİN HASİLİ

​

​

2. İKİ VƏ ÜÇTƏRTİBLİ DETERMİNANTLAR �VƏ ONLARIN XASSƏLƏRİ

KİMİ İŞARƏ OLUNUR.

Determinant-kvadrat matrisi

xarakterizə edən ədəddir.

,

,

Birtərtibli matrisin determenantı

İkitərtibli matrisin determenantı

+

-

İkitərtibli matrisin determenantı aşagıdakı qaydaya əsasən təyin edilir:

Aşağıdakı qayda ilə təyin olunan ədəd üçüncü dərəcəli determinant adlanır:

Üçünçü tərtib determinantın hesablanmasi üçün üçbüçaqlar metodundan istifade etmek məsləhətdi:

SƏTİRLƏRİN (SÜTUNLARIN) �PARALEL KÖÇÜRÜLMƏSİ

a₁₁ a₁₂ a₁₃

a₂₁ a₂₂ a₂₃

a₃₁ a₃₂ a₃₃

a₁₁ a₁₂

a₂₁ a₂₂

a₃₁ a₃₂

+

+

+

-

-

-

Determinantın xassələri

Xassə 1. Determinantın bütün sətirlərini uyğun sütunlarla əvəz etdikdə, yəni determinantı transponirə etdikdə, onun qiyməti dəyişmir.

​

Xassə 2. Determinantın iki sətrinin (sütunun) yerini dəyişdikdə, onun yalnız işarəsi dəyişir.

​

Xassə 3. İki sətri (sütunu) eyni olan determinant sıfra bərabərdir.

​

Xassə 4. Əgər determinantın bir sətri (sütunu) ancaq sıfırlardan ibarətdirsə, bu determinant sıfra bərabərdir.

​

Xassə 5. İxtiyari sətirini (sütununun) bütün elemtləri sıfır olan determinant sıfra bərabərdir.

Determinantın xassələri

Xassə 6. Determinantı ədədə vurmaq üçün onun hər hansı bir sətir (sütun) elementlərini həmin ədədə vurmaq kifayətdir.

​

Xassə 7. Determinantın hər hansı bir sətir (sütun) elementlərinin ortaq vuruğu varsa, həmin vuruğu determinant işarəsi qarşısına çıxarmaq olar.

​

Xassə 8. Determinantın hər hansı bir sətrinin (sütununun) bütün elementləri iki toplanandan ibarət olduqda onu iki determinantın cəmi şəklində yazmaq olar, belə ki, bu determinantların birində həmin sətir (sütun) elementləri birinci, digərində isə ikinci toplananlardan ibarət olur.

​

Xassə 9. Determinantın hər hansı sətr (sütun) elementlərini eyni bir ədədə vurub, başqa sətrin (sütunun) uyğun elementləri ilə toplasaq, determinant dəyişməz.

a₁₁ a₁₂ a₁₃

a₂₁ a₂₂ a₂₃

a₃₁ a₃₂ a₃₃

a₁₁ a₁₂

a₃₁ a₃₂

a₂₃ elementinin M₂₃ minorunun tapılması

​

​

a_ij elementinin minoru M_ij kimi işarə olunur

​

​

3. MINOR VƏ CƏBRI TAMAMLAYICI.

DETERMINANTIN SƏTIR (SÜTUN) ÜZRƏ AYRILIŞI

Determinantın a_ij elementinin M_ij minorunun

(-1)^i+j ədədinə hasili həmin elementin

cəbri tamamlayıcısı adlanır və aşağıdakı

kimi işarə olunur.

a₂₃ elementinin A₂₃ cəbri tamamlayıcısı:

​

​

a₁₁ a₁₂

a₃₁ a₃₂

(-1)²⁺³

a₁₁ a₁₂

a₃₁ a₃₂

-

YADDA SAXLA: elementin minoru ilə cəbri tamamlayıcısı yalnız işarə ilə fərqlənirlər

​

​

Hər bir determinant hər hansı bir sətir və ya sütun elementlərinin öz cəbri tamalayıcılrı ilə hasillərin cəminə bərabərdir:

4. MATRİSİN RANQI VƏ BAZİS MİNORU

YADDA SAXLA

Elementar çevirmələr aparmaqla matrisin ranqını tapmaq olar:

1) Matrisin transponirə edilməsi;

2) İxtiyari iki sətrinin və ya sütununun yerlərinin dəyişdirilməsi;

3) Hər hansı sətir və ya sütun elementlərinin sıfırdan fərqli ixtiyari bir ədədə vurulması;

4) Hər hansı bir sətir elementlərinin müəyyən bir ədədə vurulub başqa sətrin uyğun elementləri ilə toplanması;

5) Bütün elementləri sıfır olan sətir və sütunların matrisdən kənar edilməsi.

6) Bütün elementləri eyni olan sətir və sütunların atılması.

Ranqı r olan A matrisinin sıfırdan fərqli olan

r-tərtibli minoruna onun bazis minoru deyilir.

A matrisinin, kəsişmələrində hər hansı bazis minorunun elementləri yerləşən sətir və sütunlarına bazis sətirləri və bazis sütunları deyilir.

Teorem (bazis minoru haqqında). Bazis sətirləri (sütunları) xətti asılı deyildir. A matrisinin istənilən sətri (sütunu) onun bazis sətirlərinin (sütunlarının) xətti kombinasiyasından ibarətdir.

YADDA SAXLA: mxn ölçülü matrisin k-tərtibli minorlarının

p aşağıdakı kimidir:

​

​

5. TƏRS MATRİS VƏ ONUN VARLIĞI

Tərif. A matrisinin tərsi elə A^-1 matrisinə deyilir ki,

​

​

bərabərliyi ödənilsin.

Teorem (tərs matrisin varlığı). Verilmiş A matrisinin

tərs A^-1 matrisi olması üçün onun

Δ(A) determinantının sıfırdan fərqli

olması zəruri və kafi şərtdir.

1

Matrisin kvadrat olub olmamasını təyin etməli.

Kvadrat olmayan matrisin tərs matrisi yoxdur.

2

Matrisin determinantını tapmalı.

Δ(A)=0 olduqda A^-1 var, əks halda A^-1 yoxdur.

3

Matrisin hər bir elementini onun cəbri

tamamlayıcıları ilə əvəz etməli.

4

Alınmış matrisi transponirə etməli.

5

Alınmış matrisin hər bir elementini verilmiş

matrisin determinantına bölməli.

6

Yoxlanması: A A^-1 = A^-1 A=E

Matrisə tərs olan matrisi tapmalı

Ters matrisin tapılmasi ücün alqoritm tətbiq edək.

Determinantı tapırıq:

Мatris kvadratdır

1

2

Matrisin hər bir elementinin cəbri tamamlayıcısını tapırıq:

3

Alınmış qiymətlərdən matris düzəldirik:

Onu transponere edirik :

Matrisin hər bi elementini Δ=1 determinanatına bolürük ve tərs matrisi alırıq:

4

5

Yoxlayırıq :

6