Mata Pelajaran Wajib
TP. 2022-2023
MATEMATIKA
Disusun Oleh:
ADI GUNAWAN, S. Pd.
BAB I Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak
A. Konsep Nilai Mutlak�
|x| = jarak x dari titik nol pada garis bilangan
Jarak –3 dari 0 adalah 3 sehingga |–3| = 3.
Jarak 3 dari 0 adalah 3 sehingga |3| = 3.
�
x jika x ≥ 0
–x jika x < 0
|x| =
�
x jika x ≥ 0
– x jika x < 0
Grafik fungsi f(x) = |x|
f(x) = |x| =
ax + b jika (ax + b) ≥ 0
–(ax + b) jika (ax + b) < 0
Contoh 1:
Diketahui a = 5 dan b = –2, maka:
|ab| = |5 × (–2)| = |–10| = –(–10) = 10
|a||b| = |5| × |–2| = 5 × 2 = 10
|a + b| = |5 + (–2)| = |3| = 3
|a| + |b| = |5| + |–2| = 5 + 2 = 7
|a² – b²| = |5² – (–2)²| = |25 – 4| = |21| = 21
f(x) = | ax + b | =
Contoh 2:
Nilai |2x – 4| untuk x = –6 adalah
|2x – 4| = |2 × (–6) – 4|
= |–12 – 4|
= |–16|
= –(–16) = 16
Contoh 3:
Nilai|x| + 2|x| + |–5x| untuk nilai x < –2 sebagai berikut.
Oleh karena x < –2 maka |x| = –x.
Oleh karena x < –2 maka |–5x |= –5x.
Sehingga:
|x| + 2|x| + |–5x|
= –x + 2(–x) + (–5x)
= –x – 2x – 5x = –8x
Bentuk Umum Persamaan Nilai Mutlak
Untuk f(x) dan g(x) fungsi dalam variabel x
Menyelesaikan Persamaan Nilai Mutlak |f(x)| = c dengan syarat c ≥ 0
ax + b jika (ax + b) ≥ 0
–(ax + b) jika (ax + b) < 0
|x – 2| = 3
⇔ x – 2 = 3 atau x – 2 = –3
⇔ x = 5 atau –x + 2 = 3
⇔ x = 5 atau x = –1
Jadi, penyelesaian |x – 2| = 3 adalah x = –1 atau x = 5.
f(x) = | ax + b | =
Menyelesaikan Persamaan Nilai Mutlak |f(x)| = |g(x)|
|x – 2| = |6 + 2x|
⇔ (|x – 2|)² = (|6 + 2x|)²
⇔ (x – 2)² = (6 + 2x)² ← Sifat |x|² = x²
⇔ (x – 2 ² – (6 + 2x)² = 0
⇔ (x – 2 + (6 + 2x))(x – 2 – (6 + 2x)) = 0 ← Ingat (a² – b²) = (a + b)(a – b)
⇔ (3x + 4)(–x – 8) = 0
⇔ 3x + 4 = 0 atau –x – 8 = 0
⇔ x = – atau x = –8
Jadi, penyelesaian persamaan |x – 2| = |6 + 2x| adalah x = –8 atau
x = – .
Nilai mutlak selalu bernilai positif sehingga |x – 2| dan |6 + 2x| bernilai positif. Oleh karena kedua
ruas persamaan bernilai positif maka kedua ruas dapat dikuadratkan.
Menyelesaikan Persamaan Nilai Mutlak |f(x)| = g(x) dengan syarat g(x) ≥ 0
|2x + 16| = x + 4
Pembuat nol nilai mutlak:
|2x + 16|
= 0 ⇔ 2x + 16 = 0 ⇔ 2x = −16 ⇔ x = –8
Ruas kanan belum tentu bernilai positif. Gunakan cara analisis nilai x.
|2x + 16| = –(2x + 16)
⇔ |2x + 16| = x + 4
⇔ –(2x + 16) = x + 4
⇔ –2x – 16 = x + 4
⇔ –3x = 20
⇔ x = –
Oleh karena x = – tidak termuat pada interval x ≤ –8, persamaan |2x + 16| = x + 4 untuk interval x ≤ –8 tidak mempunyai penyelesaian atau penyelesaiannya { }.
|2x + 16| = 2x + 16
⇔ |2x + 16| = x + 4
⇔ 2x + 16 = x + 4
⇔ x = –12
Oleh karena x = –12 tidak termuat pada interval
x ≥ –8, persamaan |2x + 16| = x + 4 untuk interval x ≥ –8 tidak mempunyai penyelesaian atau penyelesaiannya { }.
Jadi, persamaan |2x + 16| = x + 4 tidak mempunyai penyelesaian.
Dengan c bilangan real dan f(x) atau g(x) merupakan fungsi dalam variabel x.
�Contoh 1:�|y| < 3 ⇔ –3 < y < 3�Jadi, himpunan penyelesaian |y| < 3 adalah {y| –3 < y < 3}.�
Contoh 2:
|2x + 1| < |2x – 3|
⇔ |2x + 1|² < |2x – 3|²
⇔ (2x + 1)² < (2x – 3)²
⇔ (2x + 1)² – (2x – 3)² < 0
⇔ (2x + 1 + (2x – 3))(2x + 1 – (2x – 3)) < 0
⇔ (4x – 2)(4) < 0
Pembuat nol:
4x – 2 = 0 ⇔ x =
Penyelesaian (4x – 2)(4) < 0 adalah x <
Jadi, himpunan semua nilai x yang memenuhi |2x + 1| < |2x – 3| adalah {x | x < , x ∈ R}.
← Kedua ruas bernilai positif. Kedua ruas dikuadratkan.
Contoh 3:�
|4x – 6|< 3x + 4
Pembuat nol nilai mutlak:
|4x – 6| = 0 ⇔ 4x – 6 = 0 ⇔ x =
|4x – 6| = –(4x – 6)
|4x – 6| < 3x + 4
⇔ –(4x – 6) < 3x + 4
⇔ –4x + 6 < 3x + 4
⇔ –4x – 3x < 4 – 6
⇔ –7x < –2
⇔ x >
Irisan x > dan x ≤ adalah < x ≤ . . . . (1)
|4x – 6| = 4x – 6
|4x – 6| < 3x + 4
⇔ 4x – 6 < 3x + 4
⇔ 4x – 3x < 4 + 6
⇔ x < 10
Irisan x < 10 dan x ≥ adalah ≤ x < 10. . . . (2)
< x < 10
Jadi, himpunan penyelesaian |4x – 6| < 3x + 4 adalah {x| < x < 10}.
TUGAS MANDIRI