微分方程初步
李柏翰
國立師大附中/leepohan@gmail.com
22 April, 2022
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1
基礎知識
*
2
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李柏翰老師 教學影片
1.Ch1 三角函數(Math0) (https://youtu.be/A050tIZZDvg)
微積分入門(Math1(Math1) (https://youtu.be/Z2MqFSzl8GQ)
微積分教學與應用(Math1a) (https://youtu.be/lHItY_X_m38)
2.Ch2 向量，斜拋運動(Math2(Math2) (https://youtu.be/A1WHBb3e4PM)
3.Ch3 靜力平衡 (Phy1)(https://youtu.be/hUTu2Iugehs )
4. Ch4 圓周運動與簡諧運動 (Phy2(Phy2)(https://youtu.be/rVqLp5ovMj0)
5. Ch7 圓周運動，向心力，星球重力位能能量轉換(Phy2a) (https://youtu.be/3F3d7UyUf_w )
向心加速度推導(Phy2b) (https://youtu.be/fXQnEgDPeDo )，行星重力位能(Phy2c)(https://youtu.be/LCfYtdjHkyE)
6.Ch8 能量轉換(Phy3(Phy3) (https://youtu.be/9xYXY3BG-YM)
7.Ch9 碰撞(Phy4(Phy4) ( https://youtu.be/1BFmF7ajhsk)
基礎知識
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3
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8.Ch 10 PV=nRT (Phy5(Phy5) (https://youtu.be/k7I5EgglbNc)
Ch 10 氣體動力論 (Phy5a) (https://youtu.be/6keK5xB5H_Q)
9.波動方程初步 (Phy6(Phy6) ( https://youtu.be/e_i86p-OMd0)
10.干涉與繞射 (Phy7 (Phy7) (https://youtu.be/bKiztPwPYG4 (Phy7) (https://youtu.be/bKiztPwPYG4)，雙狹縫干涉(Phy7a) (https://youtu.be/WPmmNne1CZU)。
11. Ch13-1 光波的干涉，Maxwell (Phy8(Phy8) (https://youtu.be/ny0TBjWSAWo )
Ch13-2 光波的干涉，Maxwell (Phy9(Phy9) (https://youtu.be/sUxOD8bJiRQ )
Ch13 光波的干涉波動，視深 (Phy9a) (https://youtu.be/zb4rDF22ASw )
12.微分方程 (Math3 (Math3) (https://youtu.be/qJbA_sVJ2w4 (Math3) (https://youtu.be/qJbA_sVJ2w4) (網站 (Math3) (https://youtu.be/qJbA_sVJ2w4) (網站) (講義)。
13微分方程初步(Math4(Math4)(https://youtu.be/Jxx70ws4WGQ )(ppt)
14 波動光學 (Phy9)(ppt)
16 Ch18 Maxwell equations, 重力位能，磁能轉換 (Phy10(Phy10) (https://youtu.be/qmF41SEkX7)
Ch18 Maxwell equations 推導 (Phy11(Phy11) (https://youtu.be/TXL2oLZczio)
Ch21-4 Bohr氫原子能階 (Phy15) (https://youtu.be/l2Z8p5XnQJs)
*
4
y=f(x)
設 f(x) 為一函數，
Q(x,f(x)) 是圖形上異於 P 的任意一點﹐
割線
當 Q 點逐漸向 P 點靠近，
P(a,f(a))是 y=f(x) 圖形上的一個定點，
∙
P(a,f(a))
Q(x,f(x))
切線
∙
∙
∙
∙
∙
∙
1. 斜率與微分
微積分-part 1
…
…
x
y
O
x=1
y=f(x)=x2
…
…
x
y
O
x=1
y=f(x)=x2
x
y
O
x=1
y=f(x)=x2
函數 y=f(x)=x2 在區間 [0,1]所圍的綠色區域面積為何?
2. 面積與積分
n 條紅色長條面積和
≦所求綠色面積
≦ n 條藍色長條面積和
一個無窮數列〈an〉，當 n 趨近於無限大時( 記做 n → ∞ )
若 an 的值能夠趨近一個定值 α，
此時稱數列〈an〉為收斂數列，其極限值為 α，
當 n → ∞ 時，
注意：當 n 越大，
1. 收斂數列：
極限
若數列〈an〉與〈bn〉為收斂數列，
2. 數列極限的基本性質：
則：數列〈an+bn〉、〈an−bn〉、〈anbn〉都收斂，
3. 範例 求下列各極限值：
4. 範例
5. 範例
6. 範例
7. 範例
畫出 y=f(x) 與 y=g(x) 的圖形，試問兩者是否相等?
x
O
y
4
2
x
O
y
y=x+2
4
2
解：(1) y=f(x)的圖形如左下圖，且f(x)的定義域為 R。
(2) y=g(x)的圖形如右下圖，且g(x)的定義域為{x⎪x≠2} 。
故 f(x) 與 g(x) 不相等。
∙
y=f (x)
x
1.999
3.999
1.99
3.99
1.8
3.8
1.9
3.9
4
2
2.001
4.001
2.01
4.01
2.1
4.1
2.2
4.2
x 由左側逐漸接近 2，
x 由右側逐漸接近 2，
f(x)隨之接近 4
f(x)隨之接近 4
(1) 考慮函數 y=f (x)=x+2，
觀察函數 f (x) 的值的變化。
8. 觀察函數的極限
x
O
y
y=x+2
∙
4
2
稱「當 x 趨近 2 時，
當 x 愈接近 2 時，
函數 f(x)隨之愈接近 4。
函數 f(x)的極限為 4」
(但是 x ≠2)
當 x 的值愈來愈接近 2
y=f (x)
x
1.999
3.999
1.99
3.99
1.8
3.8
1.9
3.9
2.001
4.001
2.01
4.01
2.1
4.1
2.2
4.2
x 由左側逐漸接近 2，
x 由右側逐漸接近2 ，
f(x)隨之接近 4
f(x)隨之接近 4
x
O
y
y=x+2
4
2
當 x 趨近 2 時，
函數 f(x)的極限為 4。
，當x 趨近2 時，
2
×
觀察 f (x) 值的變化。
x
O
y
L
a
∙
x
O
y
L
a
y=f(x)
y=f(x)
當函數 f(x) 滿足
，稱函數 f(x) 在 x=a 連續。
∙
x
O
y
L
a
y=f(x)
f(x) 在 x=a 連續
f(x) 在 x=a 不連續
9. 函數的連續
說明：
f(x) 在 x=a 不連續
若函數 f(x) 在 x=a 連續
10. 連續函數與極限
(1) 在 x=a 連續：
(2) 在 x=a 不連續：
例：f(x)=x+3 在 x=2 連續
f(x)=x2 在 x=3 連續
f(x)=3x2+4在 x=1 連續
以 x=a 代入 f(x) 即可。
須另外化簡求極限。
11. 範例 已知點 P(2,4)在二次函數 f(x)=x2 的圖形上，
y
x
O
y=x2
P(2,4)
切線 L
Q(x,f(x))
∙
∙
求以 P 點為切點的切線方程式。
解：切線 L 的斜率
割線
12. 範例 已知點 P(1,2) 在三次函數 f(x)=x3+1 的圖形上，
y=x3+1
P(1,2)
Q(x,f(x))
切線 L
∙
∙
求以 P 點為切點的切線方程式。
解：切線 L 的斜率
割線
13. 函數的夾擠定理：
若三個函數 f、g、h 滿足下列兩條件：
(1) 在 a 附近且 x≠a 之 x 值，恆有 f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) 。
h(x)
f(x)
g(x)
∙
α
說明：
14. 範例：
C
B
A
O
x
1
tanx
1
當 x 很小時，sinx ≈ x 。
注意：
15. 範例 試利用夾擠定理證明：半徑為 r 之圓的面積=πr2 。
∙
A
O
B
r
r
證明：(1) 圓內接正 n 邊形面積
= n ∙ ΔAOB面積
P
O
Q
∙
∴ 由夾擠定理得：圓面積=πr2 。
∵ 圓內接正 n 邊形面積 ≦ 圓面積 ≦ 圓外切正 n 邊形面積
r
H
(2) 圓外切正 n 邊形面積
= n ∙ ΔPOQ面積
若函數 f(x) 在定義域中 x=a 處
例如： 求函數 f(x)=x2 在 x=5 處的導數。
1. 導 數 的 定 義
微分
2. 範例
(1) 當函數 f(x) 在 x=a 處的導數 f′(a) 存在時，
稱函數 f(x) 在 x=a 處可微分；
3. 導 數 與 微 分
(2) 若函數 f(x) 在 x=a 處可微分，
則函數圖形 y=f(x) 在點 P(a, f(a)) 的切線斜率為 f′(a)，
否則稱 f(x) 在 x=a 處不可微分。
∙
P(a,f(a))
Q(x,f(x))
切線
∙
∙
∙
y=f(x)
∙
∙
∙
設函數 f(x) 表示一個運動質點在時刻 x 的位移函數，
4. 平均速度與瞬時速度
5. 範例 已知一物體從離地面 50 公尺高處自由落下，
(1)求時刻t=2到t=3之間的平均速度 (2)求時刻t=2的瞬時速度。
(2) 若函數 f(x) 在定義域中的每一個 x=a 處都有導數
如此對應構成一個函數關係，此函數以 f ′(x) 表示之。
我們稱 f ′(x) 為 f(x) 的導函數，並稱 f(x) 為可微分函數。
(1) 若函數 f(x) 在定義域中 x=a 處
6. 導 函 數
例：函數 f(x)=x3 在 x=a 處的導數
7. 範例
8. 範例
若 r 是任意實數，且 f(x)=xr，
9. 微分公式
則導函數 f ′(x)= r‧xr−1 。
10. 範例 已知 P(2,−2) 為二次函數 f(x)=x2−2x+2 的圖形外一點，
求通過 P 點的切線方程式。
x
O
y
P(2,− 2)
∙
∙
∙
y=x2−2x+2
解：設切點A(a , a2−2a+2)
過 P 點的切線 L：y−(−2)=(2a−2)(x−2)
A(a,a2−2a+2)
∵ f ′(x)=2x−2
切線 L
a2−2a+2−(−2)=(2a−2)(a−2)
整理得 a2−4a=0
(1)切點(4,10)， f ′(4)=6
(2)切點(0,2)， f ′(0)= −2
∴ 切線斜率=f ′(a)=2a−2，
A在 L上：
⇒ a=4 或 0 。
⇒ 切線 L：6x−y=14 。
⇒ 切線 L：2x+y=2 。
1. 範例 設 f(x)=x2 的圖形與直線 y=0，x=0 及 x=1 所圍成的
區域 R ，將閉區間 [0,1] 等分成 n 個線段後，
(1) 求上和Un與下和Ln。 (2) 求區域 R 的面積。
…
x
y
O
x=1
…
解：(1)上和 Un(藍色長條面積和 )
y=f(x)=x2
∙
∙
∙
∙
∙
積分-part 2
…
x
y
O
x=1
…
y=f(x)=x2
∙
∙
∙
∙
下和 Ln (紅色長條面積和 )
∙
…
…
x
y
O
x=1
y=f(x)=x2
…
…
x
y
O
x=1
y=f(x)=x2
x
y
O
x=1
y=f(x)=x2
n 條紅色長條面積和
所求綠色面積
n 條藍色長條面積和
≦
≦
x
y
O
x=1
y=f(x)=x2
x
y
O
x=1
y=f(x)=x2
2. 積分的符號表示法
總和
高
底
說明：
x
y
O
y=f(x)
2
x
y
O
y=f(x)
4
x
y
O
y=f(x)
3
x
y
O
y=f(x)
1
設函數 f(x) 在區間 [0,b] 上連續，且 b>0，f(x)≥0，則：
3、積分與面積的關係
x
y
O
y=f(x)
f(t)
f(c)
t
c
4. 微積分基本定理
若函數 f(x) 在區間 [0,b] 上連續，且 0 < t < b，
說明：
積分
微分
5. 積分即為反導數
此時 f(x) 為 g(x) 的導函數。
我們稱 g(x) 為 f(x) 的反導函數，
例如：f(x)=x2 的反導函數可為
f(x)=x3 的反導函數為
f(x)=x4 的反導函數為
f(x)=12x2+10x 的反導函數為
說明：
f(x)=x3+2x2−4 的反導函數為
6. 定積分的求法
x
y
O
y=f(x)
f(b)
f(a)
b
a
= 紅色區域面積
說明：
若函數 f(x) 在區間 [a,b] 上連續，
x
y
O
5
f(x)=x3
f(x)
dx
例如：
7. 定積分的性質
若函數 f(x) 與 g(x) 在區間 [a,b] 上連續，則：
說明：
(4) 當 f(x)≥0，
x
y
O
y=f(x)
f(b)
f(a)
b
a
(5) 當 f(x)≤0，
x
y
O
a
b
−f(a)
−f(b)
y=f(x)
說明：
若 f(x) 的圖形與直線 y=0，x=a 及 x=b 所圍面積為 R，則：
8. 範例 右下圖為 f(x)=x2−3x+2 的圖形，求灰色區域的面積。
x
O
y
y=f(x)
f(x)
dx
−f(x)
dx
1
2
∙
∙
解：在區間 [0,1] 上，f(x)≥0，
在區間 [1,2] 上，f(x)≤ 0，
9. 範例 求兩拋物線 y=x2 與 y= −x2+2x+4 所圍成之區域面積。
x
O
y
(−1,1)
(2,4)
y= −x2+2x+4
y=x2
∙
∙
dx
解：所求面積
(−x2+2x+4)−x2
設函數 f(x) 在區間 [a,b] 上連續
則 y=f(x) 與直線 y=0，x=a，x=b
所圍成之區域繞 x 軸旋轉，
x
y=f(x)
a
b
x
旋轉半徑R(x)=f(x)
10. 旋轉體的體積
所得旋轉體的體積為
y=f(x)
a
b
x
說明：
薄片
旋轉體
很細的長條形
旋轉一圈
堆 疊
f(x)
π ∙ (f(x))2
x
11. 範例 證明：直圓錐體的體積等於其底面積與高
之乘積的三分之一。
解：所求體積
x
y
O
x
(h,r)
r
h
∙
(r,0)
x
y
(0,r)
O
(0,−r)
(−r,0)
∙
∙
∙
∙
x
解：所求體積
12. 範例
Sec2: 微分方程初步
物理學與動力學?
🡺 連結常常是微分方程(Differential Equations)
什麼是微分方程?
🡺一些變數微分後與若干變數或導數的函數組合，所形成的方程式，所有的變數與導數綁定在此方程式中，不再彼此獨立無關。
*
56
(牛頓運動定律F = ma ，時間為變數，F = -k x )
微分方程定義
微分方程
(1)常微分方程(ODE，Ordinary Differential Equations)，只含一個獨立變數以及它的常導數，則稱為常微分方程。
(2)偏微分方程(PDE，Partial Differential Equations)
含有兩個或兩個以上獨立變數以及它的偏導數，則可定義此為偏微分方程。
Schrodinger equations 就是偏微分方程，變數 t，x
*
57
(free-particle)
微分方程 order & degree
微分方程
🡺階(order，微分次數)
🡺次(degree，微分項幾次方)
ODE 與PDE 都有線性與非線性之分。
二階一次
線性常微分方程
*
58
(1)一階一次
線性常微分方程
(2)二階一次
線性常微分方程
(3)一階一次
非線性常微分方程
(4)一階二次
非線性常微分方程
(5)二階一次
線性偏微分方程
*
59
幾階
幾次
線性?
微分方程的解
*
60
微分方程求解
微分方程 Q1
Answer:
如果ODE 能夠將變數分隔開來，用積分處理，問題求解將會是非常容易。比如說此題，等號分隔開變數與常數。
*
61
Q1 :
微分方程Q1求解
(2). 兩邊同時積分
*
62
得到通解 c1，c2 為常數。
微分方程求解
(3). 若有起始條件
*
63
特解完成
微分方程 Q2
Answer:
*
64
Q2 :彈簧拉動物體運動，F = ma，若恢復力為彈簧彈力，
F = -kx， 如何列出ODE，k > 0?
ODE完成
微分方程 Q3
*
65
Q3 :彈簧拉動物體運動，F = ma，若恢復力為彈簧彈力，
F = -kx， 受到阻力 f= -bv，如何解，k > 0?
微分方程Q3求解
Answer:
*
66
微分方程Q3求解
*
67
Answer:
微分方程Q3求解
*
68
討論: r和w值對震盪圖形的關係
(Fig.2: 以r=2,w=1為例)
微分方程Q3求解
*
69
討論: r和w值對震盪圖形的關係
(Fig.3: 以r=2,w=2為例)
微分方程Q3求解
*
70
討論: r和w值對震盪圖形的關係
Fig.4(a):X-t，以r=1,w=2。
Fig.4(b): V-t 圖
微分方程Q3求解
*
71
討論: r和w值對震盪圖形的關係
Fig.5(b): V-t 圖
Fig.5(a): X-t，以r=0,w=2。
微分方程Q3求解
*
72
討論: r和w值對震盪圖形的關係
Fig.5(c): x-t，V-t，V-x 相圖
微分方程Q3求解
*
73
討論: r和w值對震盪圖形的關係
Fig.6: x-t，V-t，V-x 相圖
微分方程Q3求解
*
74
Fig.7: x-t 振盪相圖
(6)整理上述情況，(a) r>w，overdamping，(b) r =w critically damped，(c) r<w，underdamping。
x 是位移，v 是速度，b= 2r = 阻尼
w = 振盪頻率
改寫成兩條一階一次微分方程
一階常微分方程
一階常微分方程在日常生活中有很多運用，常見的表示方式有:
*
75
又或者是表示為:
一階常微分方程
一階常微分方程如果可以寫成:
*
76
兩邊同時積分，則可以得到:
微分方程Q4求解
*
77
Q4:
Answer:
目前變數x,y 可以分隔開來，如果能夠將變數分隔開來，用積分處理，問題求解將會是非常容易。
微分方程Q4求解
*
78
Answer:
(2) 利用連鎖律
兩邊同時積分
微分方程Q4求解
*
79
(3) 對照連鎖律
微分方程Q4求解
*
80
(4) 整體解
k 為常數，DE 詳解完成。
這便是用連鎖律將變數分隔處理，這個連鎖律的使用是
一階微分方程解常見的技巧。Sec1完!