Barisan dan Deret

Anggraini Syahputri, S.S.T., M.M

Barisan Aritmatika

• Barisan Aritmatika adalah Suatu Barisan Bilangan yang selisih setiap dua suku berturutan selalu merupakan bilangan tetap (konstan).
• Bilangan yang tetap tersebut disebut beda dan dilambangkan dengan b
• Perhatikan juga barisan-barisan bilangan berikut ini :
• 1, 4, 7, 10, 13, ...
• 2, 8, 14, 20,… Barisan Aritmatika
• 30, 25, 20, 15, ...

​

​

​

​

Contoh Soal :

1. 1, 4, 7, 10, 13, ...

+3 +3 +3 +3

Pada barisan ini, suku berikutnya diperoleh dari suku sebelumnya ditambah 3. Dapat dikatakan bahwa beda sukunya 3 atau b =3.

b.  2, 8, 14, 20, ...

+6 +6 +6

Pada barisan ini, suku berikutnya diperoleh dari suku sebelumnya ditambah 6. Dapat dikatakan bahwa beda sukunya 6 atau b = 6.

C. 30, 25, 20, 15, ...

-5 -5 -5

Pada barisan ini, suku berikutnya diperoleh dari suku sebelumnya ditambah –5. Dapat dikatakan bahwa beda sukunya –5 atau b = –5.Secara umum dapat dikatakan sebagai berikut.

​

​

​

Rumus umum suku ke-n barisan aritmatika dengan suku pertama (U1) dilambangkan dengan a dan beda dengan b dapat ditentuka sebagai berikut.

​

​

b = Un Jika Un adalah suku ke-n dari suatu barisan aritmetika maka berlaku b = Un – Un – 1.�– 1.�

U1 = a

U2 = U1 + b = a + b

U3 = U2 + b = ( a + b ) + b = a + 2b

U4 = U3 + b = ( a + 2b) + b = a + 3b

U5 = U4 + b = ( a + 3b) + b = a + 4b

.

.

 Un = Un + b = a + (n – 1)b

Jadi, rumus suku ke-n dari barisan aritmetika adalah Keterangan : Un = suku ke-n

a = suku pertama

b = beda

n = banyak suku

​

Un = a + (n – 1)b

Contoh 1 :

​

Tentukan suku ke-8 dan ke-20 dari barisan –3, 2, 7, 12, ....

Jawab :

 –3, 2, 7, 12, …

Suku pertama adalah a = –3 dan bedanya b = 2 – (–3) = 5.

Dengan menyubstitusikan a dan b, diperoleh : Un = –3 + (n – 1)5.

Suku ke-8 : U8 = –3 + (8 – 1)5 = 32

Suku ke-20 : U20 = –3 + (20 – 1)5 = 92.

�

Contoh 2:

Diketahui barisan aritmetika –2, 1, 4, 7, ..., 40.

Tentukan banyak suku barisan tersebut.

Jawab :

diketahui barisan aritmetika –2, 1, 4, 7, ..., 40

Dari barisan tersebut, diperoleh a = –2, b = 1 – (–2) = 3,dan Un = 40.

Rumus suku ke-n adalah U = a + (n – 1)b, sehingga

40 = –2 + (n – 1)3

40 = 3n – 5

3n = 45

Karena 3n = 45, diperoleh n = 15. Jadi, banyaknya suku dari barisan di atas adalah 15.

​

Model Perkembangan Usaha

Contoh Kasus :

Besarnya penrimaan PT. Cemerlang dari hasil penjualan barangnya Rp. 720 Juta pada tahun kelima dan Rp. 980 Juta pada tahun ketujuh. Apabila perkembangan penerimaan penjualan tersebut berpola seperti deret hitung, berapa perkembangan penerimaanya per tahun? Berapa besar penerimaan pada tahun pertama dan tahun keberapa penerimaanya sebesar 460 juta?

Penyelesaian :

Dalam Jutaan : S1 = 980 maka a + 6b = 980

S2 = 720 maka a + 4b = 720

2b = 260, b = 130

Perkembangan penerimaan per tahun sebesar 130 Juta.

a + 4b = 720

a = 720 - 4b

= 720 – 4 (130) = 200

Penerimaan pada tahun pertama sebesar Rp. 200 Juta.

S_n = a + (n – 1)b

460 = 200 + (n-1) 130

460 = 200 + 130n – 130

390 = 130 n

N = 3

Maka Penerimaan sebesar Rp. 460 Juta juga diterima pada tahun ketiga

Model Bunga Majemuk

• Jika misalnya modal pokok sebesar P dibungakan secara majemuk dengan suku bunga per tahun setingkat I, maka jumlah akumulatif modal tersebut di masa datang setelah n tahun (F_n) dapat dihitung sebagai berikut :

Setelah 1 tahun : F₁= P + P.i = P (1 + i)

Setelah 2 tahun : F₂= P (1+i) + P(1+i)I = P(1+i)²

Setelah 3 tahun : F₃= P( 1+i) ² + P(1+i) ² i = P(1+i)²

-

-

-

Setelah n tahun F_n = (……) + (…….) i = P(1+ i) ⁿ

​

​

Contoh Kasus :

Seorang nasabah meminjam uang di bank sebanyak Rp. 5 juta untuk jangka waktu 3 tahun dengan tingkat bunga 2 % per tahun. Berapa jumlah seluruh uang yg harus dikembalikanya pada saat pelunasan? Seandainya perhitungan pembayaran bunga bukan tiap tahun, melainkan tiap semester berapa jumlah yg harus ia kembalikan?

P = 5.000.000 F_n = P(1+ i) ⁿ

n = 3 F₃ = 5.000.000(1+ 0,02) ³

i = 2 % = 0,02 = 5.000.000 ( 1,06121) = 5.306.040

​

Jadi pada saat pelunasana, setelah tiga tahun, nasabah tadi secara keseluruhan harus mengembalikan sebanyak Rp. 5.306.040,00. seandainya bunga diperhitungkan dibayarkan tiap semester , m = 2, maka :

F_n = P(1+ I/m) ^mn

F₃ = 5.000.000(1+ 0,02) ⁶

= 5.000.000 ( 1,06152)

= 5.307.600

Jumlah yang harus dikembalikan menjadi lebih besar, Rp. 5.307.600,00

Deret Aritmatika

• Misalkan U1, U2, U3, ..., Un merupakan suku-suku dari suatu barisan aritmetika. U1 + U2 + U Un disebut deret aritmetika, dengan Un = a + (n – 1)b.
• Deret aritmetika adalah jumlah n suku pertama barisan aritmetika. Jumlah n suku pertama dari suatu barisan bilangan dinotasikan S.
• Dengan demikian, S = U1 + U2 + U U . Untuk memahami langkah-langkah menentukan rumus S , perhatikan contoh berikut :
• Misalkan U1, U2, U3, ..., Un merupakan suku-suku dari suatu barisan aritmetika. U1 + U2 + U Un disebut deret aritmetika, dengan Un = a + (n – 1)b.

Anuitas Nilai Sekarang

• Misalkan ɑn Present Value atau nilai sekarang dia awal periode, dimana i tingkat bunga per periode, n jumlah periode, A anuitas atau pembayaran per periode.
• Nilai sekarang dari pembayaran atau penerimaan hingga aikhir periode ke-n dapat diuraikan sebagai berikut:

Nilai Sekarang Pembayaran /penerimaan ke -1 A (1+i) ^-1

Nilai Sekarang Pembayaran /penerimaan ke -2 A (1+i) ^-2

Nilai Sekarang Pembayaran /penerimaan ke -3 A (1+i) ^-3

Dan seterusnya…

Nilai Sekarang Pembayaran /penerimaan ke - (n-1) A (1+i) ^(n-1)

Nilai Sekarang Pembayaran /penerimaan ke –n A (1+i)^-n

​

​

Menentukan Besarnya Angsuran