לכובע של איינשטיין 13 פינות
על מתמטיקה, אומנות ומה שביניהם
לפני כשנה הכריז ג׳יימס סמית, מתמטיקאי חובבן וטכנאי דפוס בדימוס, על גילוי צורה מיוחדת במינה שהחיפוש אחריה ארך למעלה מ-60 שנה!
הצורה שגילה זכתה לכינוי ״ריצוף איינשטיין בצורת כובע״, וייחודה בכך שניתן לרצף באמצעותה מישור אינסופי באופן לא מחזורי (כלומר בצורה שאינה חוזרת על עצמה).
הכינוי, ריצוף איינשטיין בצורת כובע, ניתן לה ללא קשר לפיזיקאי הדגול אלברט איינשטיין, אלא בשל צורתה הדומה לכובע וכקריצה לצירוף בגרמנית ein Stein (איין-שטיין) שפירושו אבן אחת.
בעיית ריצוף המישור האינסופי היא בעיה ידועה במתמטיקה ששורשיה ביוון העתיקה. מדובר בחיפוש קבוצה סופית של מרצפות אשר יכולות לרצף מישור אינסופי מבלי להשאיר רווחים ביניהן ומבלי שהמרצפות יעלו זו לע זו.
כולנו מכירים לפחות ריצוף אחד כזה: המרצפת הריבועית שמשתמשים בה כמעט בכל בית.
אפשר לרצף את המישור באמצעות הרבה סוגים של מצולעים. מתמטיקאים הוכיחו שאם למצולע יש שלוש או ארבע צלעות (כלומר אם הוא משולש או מרובע), תמיד אפשר לרצף באמצעותו את המישור.
גם מחומשים ומשושים מסוימים יכולים לרצף את המישור וכך גם מצולעים עם מספר גדול יותר של צלעות.
גם שילובים של כמה סוגי מצולעים, למשל ריבוע ומשולש, יכולים לרצף את המישור.
הנה דוגמאות נוספות:
עד כה, כל הריצופים שראינו היו מחזוריים (כאלה שחוזרים על עצמם).
אבל האם קיים גם ריצוף שאינו מחזורי?
מה דעתכם?
עד המאה ה-20 ההנחה המקובלת הייתה שאפשר לרצף את המישור רק באופן מחזורי, כלומר שאפשר לכסות את המישור על ידי כך שנרצף אזור סופי, ואז נשכפל אותו, ונצמיד אזור משוכפל לאזור משוכפל כך שתתקבל אותה התבנית שוב ושוב.
בשנות השישים של המאה ה-20 החלו מתמטיקאים לחפש סטים של מצולעים שמרצפים את המישור בצורה שאינה מחזורית. רוב הריצופים שנמצאו הורכבו ממספר רב של צורות, אולם בשנת 1974 גילה המתמטיקאי והפיזיקאי הבריטי, רוג׳ר פנרוז, ריצוף *לא-מחזורי שמורכב ממרצפות בשתי צורות בלבד.
אילו צורות?
*אין אף אזור בריצוף שניתן לשכפל ואז להצמיד את האזורים המשוכפלים כך שייווצר ריצוף אינסופי.
בשנת 1984 גילה הכימאי הישראלי דן שכטמן מהטכניון שקיימים בטבע גבישים לא-מחזוריים, תגלית שזיכתה אותו בפרס נובל בכימיה בשנת 2011.
כל הריצופים הלא-מחזוריים שהתגלו מאז מורכבים מלפחות שתי מרצפות שונות זו מזו. לא היה ידוע אם בכלל קיים ריצוף שכזה עם מרצפת בודדת ומתמטיקאים רבים חיפשו בקדחתנות תשובה לשאלה הגדולה.
לפני כשנה המתמטיקאי החובבן, ג׳יימס סמית׳, שם קץ לחיפוש, כשגילה את ״אריח איינשטיין״ - מרצפת בעלת 13 צלעות, שבאמצעותה ניתן לרצף מישור אינסופי באופן לא מחזורי!
התגלית המדהימה של סמית׳, שהכתה גלים בעולם המתמטי ומעבר לו, לא קרתה באמצעות מחקר מקצועי, אלא בזכות סקרנותו, מסירותו ותשוקתו לחקר עולם המתמטיקה.
קרייג קפלן, מדען מחשבים שסייע בפריצת הדרך.
דיוויד סמית׳
לאחרונה, השיקו המוזיאון הלאומי למתמטיקה בניו יורק בשיתוף עם הקרן הבריטית למתמטיקה תחרות אשר במסגרתה נשאל הציבור הרחב:
מה הייתם עושים עם ״אריח איינשטיין״?
245 רעיונות הוגשו מ-32 מדינות, והרי הפיינליסטים:
וויליאם פריי, בן 12 מניו יורק: לשחק טטריס!
אוון ברוק, בן 31, מטורונטו: ״רביולי כובע״ לחווית אוכל ״גיאומטרית"
*הרביולי הוכן עם תבניות עץ בהזמנה אישית. עשויים מבצקים צהובים (כורכום), כתומים (גזר) ואדומים (סלק) עבור אריחי כובע לא משתקפים; ובצק ירוק (תרד) לאריחים משתקפים.
סי צ'ן, אמן אוריגמי בן 61: קיפול ׳אריחי כובע׳ משטרות של דולר
*בחורים שנוצרו ניתן לראות את האריחים המשתקפים (כאלה שהם תמונת מראה)
גרנט פרווסט, בן 70, אמן חזותי מלונדון, הציג אלמנט אדריכלי שכלל יותר מ-1,500 אריחי קרמיקה בעבודת יד. האלמנט הדקורטיבי הוצב בחלון הראווה של בית מלאכה לקרמיקה.
אמה לאוטון, בת 65 מבריטניה, הציגה אריג טלאים לתלייה שתפור כולו בעבודת יד.
לדבריה: "העיצוב נועד למשוך את העין עם שילוב אלמנטים של חזרה וסימטריה, שעומדים בניגוד להיעדר מחזוריות".
שיינג דונג, בת 41, עקרת בית בעלת דוקטורט בפיזיקה ותואר שני במתמטיקה, קיפלה יצירת אמנות תלת מימדית מנייר.
"אני מבלה את רוב זמני בימים אלה במחשבה וביצירת דברים תלת מימדיים בהשראת מתמטיקה".
דווי קושסר, סטודנטית בת 17 מלונדון, יצרה עפיפון ׳אריחי כובע׳ גדול.
העפיפון עשוי כובע, שעשוי מעפיפונים עשויים כובעים.
פייר ברוקה, בן 33, מעצב גרפי ומורה מצרפת, הציג:
יצירת אמנות עם כובע נייר׳.
ננסי קלארק, בת 11 מלונדון, זכתה לכבוד על ההמצאה המקורית שלה:
כובע האשכולות!
מנהלי התחרות שמחו לראות שאנשים לקחו את התחרות ברצינות, עפו על כנפי הדמיון והפכו את הכובע לשלהם. ומה ה״כובע״ שלכם?
מה אתם הייתם עושים עם ״אריח איינשטיין״?
אריחי חולצות וכובעים. אריחי הכובע הם שיקוף של אריחי החולצה.
החולצות ללא כפתורים מתהפכות (תמונת מראה).
לכל אחד מששת כיווני הסיבוב האפשריים ניתן צבע משלו.
ועוגיית איינשטיין כבר טעמתם?