التوجيه العام للرياضيات دورة المعلمين الجدد للعام الدراسي 2022 / 2023 م

1

2

سوف نتعلم كيف نتعرف على المفاهيم الهندسية، ونمثلها، مثل: النقاط، والمستقيمات، والمستويات الموجودة في الفضاء، بالإضافة إلى خصائصها.

ربما سمعتَ عن شخص اسمه إقليدس يطلق عليه «أبو الهندسة». وقد اهتم الإغريق بدراسة الهندسة وأسموها «جيومتري» أو geometry، وهي تتكون من مقطعين «جيو»، ويعني الأرض، و«متري»، وهي عملية القياس‎. نحن نفهم العالَم من حولنا من خلال كتابات إقليدس عن الهندسة الفراغية التي تتناول الأجسام الثلاثية الأبعاد، مثل المكعبات والكُرَات، والهندسة المستوية التي تتناول الأجسام في الفضاء الثنائي الأبعاد. النقاط والمستقيمات والمستويات على وجه التحديد جميعها مفاهيم هندسية تتعلق بالمواضع في الفضاء وتمثل بداية لتعريف جميع المفاهيم الهندسية الأخرى.

3

تعاريف ومفاهيم هندسية

النقطة الهندسية :

النقطة الهندسية هي احدى المفاهيم التي يبنى عليها علم الهندسة ونحصل عليها من تقاطع خطين ، وتمثل بنقطة صغيرة ، لها موضع فقط في الفضاء . ونرمز للنقطة بحرف مثل أ

مثال : ^. _أ

4

الخط :

الخط هو مجموعة غير منتهية من النقط المتصلة ( أي المتقاربة قرباً لا نهائياً) يمكن أن يكون الخط مستقيماً أو منحنياً أو تركيب ذلك معاً

5

المستقيم :

6

القطعة المستقيمة :

7

الشعاع :

8

ويرمز أ بز جـ أو جـ بز أ أو بز

الزاوية : تتشكل من شعاعين لهما نقطة بداية ( طرف) واحدة تسمى رأس الزاوية .

9

المستوي :

هو سطح يمتد إلى ما لا نهاية في جميع الاتجاهات. أيُّ ثلاث نقاط مختلفة و ليست على استقامة واحدة يحويها مستوٍ وحيد .

تذكر أنه لأي نقطة في الفضاء، يوجد عدد لا نهائي من المستقيمات التي تمرُّ بهذه النقطة.

10

1. أي ثلاث نقاط مختلفة ليست على استقامة واحدة تعين مستوياً واحداً فقط.

كما في الشكل التالي :

الحالات التي يتعين فيها المستوي في الفضاء :

11

نشاط ( 1) :

هل تستطيع تثبيت ورقة على رأس قلمين كما في الشكل ؟

نشاط (2) :

هل تستطيع طاولة الوقوف على رجلين فقط ؟

12

2) مستقيم و نقطة خارجة عنه.

لو حاولت تثبيت ورقة على حافة مسطرة و رأس قلم مدبب فهل يمكنك ذلك؟ و لماذا؟

نشاط:

تابع الحالات التي يتعين فيها المستوي في الفضاء:

13

تابع الحالات التي يتعين فيها المستوي في الفضاء :

3) مستقيمين متقاطعين .

هل يمكنك تثبيت ورقة على حافتي مسطرتين متقاطعتين او متوازيتين ؟ و لماذا؟

4) مستقيمين متوازيان مختلفان .

نشاط:

14

فيما يلي استعراض سريع لحالات تعيين المستوي:

1. أي ثلاث نقاط مختلفة ليست على استقامة واحدة تعين مستوياً واحداً فقط .

​

2. أي مستقيم و نقطة خارجه عنه يعينان مستوياً واحداً فقط .

3. أي مستقيمان متقاطعان يعينان مستوياً واحداً فقط .

​

4. أي مستقيمان متوازيان مختلفان يعينان مستوياً واحداً فقط .

​

15

ملاحظة : في الفضاء تظهر حالة جديدة من أوضاع المستقيمات وهي ما تسمى بالمستقيمات المتخالفة

16

العلاقات بين الزوايا الناتجة من تقاطع مستقيمين

الزوايا المتجاورة ، المتقابلة بالرأس ، المتتامة ، المتكاملة

17

نشاط :

هل من الممكن اثبات ق(1) = ق(2)

18

الزوايا الناتجة من قطع مستقيمين بثالث

19

نشاط :

20

نشاط :

21

الزاويتين المتتامتان / الزاويتين المتكاملتان

22

ما هو لون الفستان ؟؟

23

ان كنت ترى الفستان باللون الذهبي والأبيض ، فأنت من أصحاب الفص الأيسر [ دماغك أيسر ] . أما إذا كنت من أصحاب الفص الأيمن [ دماغك أيمن ] ، فإنك تراه أسود وأزرق

24

هو رسم الاشكال والزوايا بدقة . باستخدام الحافة المستقيمة

والفرجار فقط

الانشاء الهندسي

25

لتنصيف القطعة المستقيمة أ ب

1) افتح الفرجار فتحة تزيد عن نصف طول القطعة المستقيمة (بالتقدير):

2) ركز رأس الفرجار المدبب في النقطة أ، وارسم قوسًا يقطع أب:

3) بالفتحة السابقة نفسها ركز رأس الفرجار المدبب في النقطة ب، وارسم قوسًا يقطع القوس الأول في النقطتين ج، د:

4) صل ج، د بالمسطرة فيقطع القطعة المستقيمة أب في النقطة (و)، فتكون النقطة (و) هي منتصف القطعة أب :

26

لتنصيف الزاوية أ ب ج :

1) افتح الفرجار فتحة مناسبة، ركز الرأس المدبب في رأس الزاوية المعلومة أ ب ج وارسم قوسًا يقطع ضلعيها في النقطتين د هـ:

2) استخدم فتحة الفرجار السابقة نفسها أو فتحة أخرى مناسبة، ركز الرأس المدبب في النقطة (د) وارسم قوسًا داخل الزاوية أ ب ج:

3) ركز الرأس المدبب في النقطة (هـ)، وارسم قوسًا يقطع القوس الأول في النقطة (س):

3) صل س ب بالمسطرة فيكون س ب منصفًا للزاوية أ ب ج:

27

لإقامة عامود على المستقيم ل من نقطة عليه

1) ارسم المستقيم ل ونقطة أ عليه:

2) فتح الفرجار فتحة مناسبة، وركز الرأس المدبب في النقطة (أ)، وارسم قوسين يقطعان المستقيم ل في النقطتين ب، ج:

3) افتح الفرجار فتحة أكبر من السابقة، وركزه في (ب) وارسم قوسًا،ثم ركزه في (ج) وارسم قوسًا آخر يقطع القوس الأول في النقطة (د):

4) صل أ، د لتحصل على العامود المطلوب:

5) تحقق من صحة الرسم باستخدام المنقلة:

28

لإقامة عامود على المستقيم ل من نقطة خارجه عنه:

1) ارسم المستقيم ل ونقطة أ خارجه عنه:

2) افتح الفرجار فتحة مناسبة، وركز الرأس المدبب في النقطة (أ)، وارسم قوسًا يقطع الخط المستقيم في النقطتين ب، ج:

3) افتح الفرجار فتحة تختلف عن الفتحة الأولى، وركزه في (ب) وارسم قوسًا، ثم ركزه في (ج) وارسم قوسًا آخر يقطع القوس الأول في النقطة (د):

4) صل أ، د بالمسطرة ومده على استقامته حتى يلتقي مع الخط المستقيم ل في النقطة (و):

5) تحقق من صحة الرسم باستخدام المنقلة:

29

لرسم مستقيم متوازي للمستقيم ل من النقطة م اتبع الخطوات التالية:

1. ارسم خط مستقيم يوصل بين النقطة م والمستقيم ل ولتكن نقطة التقاطع س .

2. افتح الفرجار فتحة مناسبة، ركز الرأس المدبب في النقطة س ، وارسم قوسًا يقطع المستقيمين ل و م س .

3. استخدم فتحة الفرجار السابقة، ركز الرأس المدبب في النقطة م ، وارسم قوسًا يقطع المستقيم س م في النقطة ع .

4. افتح الفرجار فتحة طولها يلاءم طول القوس للزاوية .

5. استخدم فتحة الفرجار السابقة، ركز الرأس المدبب في النقطة ع وارسم قوسًا بحيث يقطع القوس الثاني، نرمز لنقطة تقاطع القوسين بـ ص .

6. صل بالمسطرة بين النقطتين م و ص ، وهكذا نحصل على مستقيمين متوازيين.

30

كيف يمكننا تحديد مركز الدائرة ؟

31

32

في كل مضلع یوجد :

المضلعات

المضلع : هو شكل مستو مغلق مكون من قطع مستقيمة عددها 3 أو أكثر تتقاطع عند نهايتها فقط .

٢- رؤوس : ھي نقاط الإلتقاء بین كل ضلعین

3- زوایا : تتكون في كل رأس من رؤوس المضلع

٤- قطر : ھو قطعة تصل بین رأسین غیر متجاورین في المضلع. (المثلث مضلع لا يحتوي على اقطار)

١- أضلاع : ھي القطع المستقیمة التي تكون المضلع

33

تصنف المضلعات حسب عدد الأضلاع

3

3

3

4

4

4

5

5

5

6

6

6

7

7

7

34

هل هذه الأشكال مضلعات ؟

الأشكال المغلقة التي تتقاطع أضلاعها مع بعضها

ليست مضلعا

الأشكال المنحنية كالدائرة

ليست مضلعا

35

المثلث

المثلث : هو شكل مستو محاط بثلاثة أضلاع متقاطعة عند نهايتها(مضلع مغلق له ثلاثة أضلاع )

عناصر المثلث :

• ثلاثة رؤوس
• ثلاثة أضلاع
• ثلاثة زوايا

أنواع المثلث بالنسبة لأضلاعه .

• مثلث مختلف الأضلاع
• مثلث متطابق الضلعين
• مثلث متطابق الأضلاع

أنواع المثلث بالنسبة لزواياه .

• مثلث قائم الزاوية
• مثلث منفرج الزاوية
• مثلث حاد الزوايا

36

أنواع المثلثات من حيث الزوايا

مثلث قائم الزاوية :

هو مثلث أحد زواياه قائمة ( 90 ْ ) كما في مم أ ب جـ

مثلث منفرج الزاوية :

هو مثلث أحد زواياه تقع بين 90 ْ و 180 ْ كما فيمم أ ب جـ

مثلث حاد الزوايا :

هو مثلث كل زاوية من زواياه تقع بين 0 ْ و 90 ْ كما في مم أ ب جـ

37

أنواع المثلثات من حيث الأضلاع

مثلث مختلف الأضلاع :

هو مثلث أضلاعه الثلاثة مختلفة في الأطوال .

مثلث متطابق الضلعين :

هو مثلث فيه ضلعان متساويان في الطول .

مثلث متطابق الأضلاع :

هو مثلث أضلاعه الثلاثة متساوية في الطول .

38

أثبات مجموع قياسات زوايا المثلث الداخلية = 180 ْ

• عن طريق القياس لكل زاوية ثم الجمع
• عن طريق رسم مربع أو مستطيل ثم انقسامه إلى نصفين متساويين .
• عن طريق نظريتي الزاوية المستقيمة والزاوية الخارجة عن المثلث .
• عن طريق رسم مستقيم موازي لأحد أضلاع المثلث وعلاقة الزوايا المتبادلة بزوايا المثلث.
• هناك طرق أخرى

39

أوجد قياسات الزوايا المجهولة في كل مثلث .

(4 + س) ْ

2س ْ

س ْ

3س ْ

س ْ

64 ْ

40

تحقق قياسات زوايا المثلث أ ب جـ النسبة 2 : 3 : 4 فما قياسات زوايا هذا المثلث ؟

ﰈ النسبة 2 : 3 : 4 ﺇ نفرض أن قياسات زوايا المثلث الداخلية يساوي 2س ، 3 س ، 4 س

ﰈ مجموع قياسات زوايا المثلث الداخلية تساوي 180 ْ

ومنها قياس الزاوية الأولى = 2 س = 2 × 20 ْ = 40 ْ

قياس الزاوية الثانية = 3 س = 3 × 20 ْ = 60 ْ

قياس الزاوية الثالثة = 4 س = 4 × 20 ْ = 80 ْ

ﺇ 2س + 3 س + 4 س = 180 ْ � 9 س = 180 ْ

س = 20 ْ

41

الزاوية الخارجة للمثلث

الزاوية الخارجة للمثلث : هي الزاوية المحصورة بين ضلع في مثلث وامتداد الآخر .

قياس الزاوية الخارجية للمثلث يساوي مجموع قياسي الزاويتين الداخلتين ما عدا المجاورة لها .

1

42

أوجد قياسات الزوايا المجهولة في كل مثلث .

أ

ب

جـ

أ

ب

جـ

أ

ب

جـ

92 ْ

48 ْ

س ْ

س ْ

س ْ

140 ْ

س ْ

80 ْ

120 ْ

43

أوجد قياسات الزوايا 1 ، 2 ، 3 .

44

علاقات عامة داخل المثلث

45

ما مجموع قياسات الزوايا الخارجيه للمثلث ؟

مجموع قياسات الزوايا الداخلية للمثلث = 180 ْ

ق (1) + ق (6) = 180 ْ

ق (3) + ق (4) = 180 ْ

ق (2) + ق (5) = 180 ْ

مجموع قياسات الزوايا الداخلية + مجموع قياسات الزوايا الخارجية = 180 ْ × 3 = 540 ْ

مجموع قياسات الزوايا الخارجية = 540 ْ – 180 ْ = 360 ْ

46

محيط المثلث

محيط الشكل : هو طول إحاطة الشكل ومنها محيط المثلث : هو مجموع أطوال أضلاعه

محيط المثلث أ ب جـ = 3.5 + 3.8 + 3

محيط المثلث أ ب جـ = 10.3 سم

47

مفهوم المساحة : هي عدد الوحدات المربعة المحصورة داخل الشكل ويعبر عنها كمياً بعدد .

يمكن إيجاد المساحة للمثلث بطرق عدة منها :

(1) الاعتماد على متوازي الأضلاع المشترك معه بالقاعدة والارتفاع

مساحة المثلث

48

تذكر أن الارتفاع : هو العمود النازل من رأس المثلث على الضلع المقابل (القاعدة) أو على امتدادها

أكمل ما يلي :

49

اثراء

50

اثراء

51

القطع المستقيمة الشهيرة في المثلث :

1. ارتفاع المثلث (الأعمدة) .
2. محاور أضلاع المثلث
3. المستقيمات المتوسطة في المثلث .
4. المنصفات الداخلية لزوايا المثلث .

52

نظرية : الاعمدة المرسومة من رؤوس المثلث على أضلاعه تتقاطع في نقطة واحدة

الارتفاع : هو العمود النازل من رأس المثلث على الضلع المقابل (القاعدة) أو على امتدادها

53

نتيجة : نقطة تقاطع محاور أضلاع المثلث تقع على أبعاد متساوية من رؤوسه .

محور القطعة المستقيمة : هو العمود المنصف لها

54

نظرية : القطع المتوسطة للمثلث تتقاطع في نقطة واحدة تقسم كل منها بنسبة 2 : 1

من جهة الرأس

ما نوع المثلث الذي تتطابق فيه القطع المتوسطة الثلاث ؟

القطعة المتوسطة :

هي القطعة المستقيمة التي تصل من أي رأس للمثلث بمنتصف الضلع المقابل له .

55

نظرية : منصفات الزوايا الداخلية المثلث تتقاطع في نقطة واحدة

نتيجة : نقطة تقاطع منصفات الزوايا الداخلية

للمثلث على أبعاد متساوية من أضلاعه

56

ملاحظات :

57

ملاحظات :

نظرية : إذا رسم مستقيم من منتصف أحد أضلاع مثلث موازياً ضلعاً آخر فيه ‘ فإنه ينصف الضلع الثالث

58

من خلال الرسم والعمل التعاوني بين مجاميع الطلاب يتضح لهم الفرق بين التطابق والتشابه

ليس مثلث وحيد

59

محاور التناظر في المثلثات

1. مثلث متطابق الأضلاع ( يوجد مثلث وحيد كل زاوية من زواياه 60 ْ)

​

• مثلث متطابق الضلعين ( أنواعه : مثلث قائم الزاوية فيه زاويتان متساويتان كل منهما 45 ْ ، مثلث منفرج الزاوية ، مثلث حاد الزوايا)

​

• مثلث مختلف الاضلاع

محور التناظر : هو القطعة المستقيمة التي تقسم المثلث إلى قسمين منطبقين تمام الانطباق .

60

نظريات في المثلث القائم الزاوية

نظرية (1) في المثلث القائم الزاوية يكون مربع الضلع الأكبر ( الوتر) يساوي مجموع مربعين الضلعين الآخرين .

61

نشاط :

عكس نظرية (1)

إذا كان أحد أضلاع المثلث يساوي مجموع مربعين الضلعين الآخرين كانت الزاوية المكونة في هذين الضلعين قائمة .

62

63

64

نظرية (3) في المثلث القائم الزاوية إذا انزل من رأس القائمة عمودا على الوتر كان كل من المثلثين الحادثيين مشابهاً للمثلث الأصلى وكان كلاهما متشابهان .

65

الأشكال الرباعية

الشكل الرباعي : هو منحنى مغلق بسيط مكون من قطع مستقيمة متقاطعة عند نهايتها عددها اربع . أو هو مضلع عدد أضلاعه أربعه .

خواصه :

1. منحنى مغلق بسيط
2. مكون من قطع مستقيمة متقاطعة عند نهايتها
3. عدد القطع المستقيمة أربع
4. مجموع قياسات زواياه الداخلية يساوي 360 ْ

66

الحالات الخاصة للشكل الرباعي

شبه المنحرف : هو شكل رباعي فيه فقط ضلعان متقابلان متوازيان

يسمى الضلعان المتوازيان قاعدتا شبه المنحرف والضلعان الآخران ساقا شبه المنحرف وطول العمود بين القاعدتين يسمى ارتفاع شبه المنحرف

67

لشبه المنحرف خواص ثانوية منها:

2) القطعة المستقيمة الواصلة بين منتصفي ساقي شبه المنحرف توازي كلا من القاعدتين وطولها يساوي نصف مجموع طولي القاعدتين

1) مساحة المنطقة الداخلية لشبه المنحرف تساوي نصف مجموع طولي القاعدتين مضروبا في الارتفاع

68

69

الحالات الخاصة لشبه المنحرف

إذا كان ساقا شبه المنحرف متطابقين سمي شبه منحرف متطابق الساقين ، أما إذا كان أحد ساقي شبه المنحرف على الأقل عموديا على القاعدتين سمي شبه منحرف قائم .

70

متوازي الأضلاع

71

يكون الشكل الرباعي متوازي اضلاع اذا تحقق أحد الشروط التالية :

- كل ضلعان متقابلان متوازيان

- كل ضلعين متقابلين متطابقان

- فيه ضلعان متقابلان متوازيان

ومتطابقان

• قطراه ينصف كل منهما الآخر
• كل زاويتين متقابلتين متطابقتان
• كل زاويتين متتاليتين متكاملتين

​

حالات الكشف عن متوازي الاضلاع

72

المستطيل : هو متوازي أضلاع احدى زواياه قائمة

خواصه :

1. جميع زواياه قوائم
2. قطرا المستطيل متطابقان

73

المعين : هو متوازي أضلاع فيه ضلعان متجاوران متطابقان .

خواصه :

• جميع أضلاع المعين متطابقة
• قطرا المعين متعامدان
• كل قطر في المعين ينصف زاويتي المعين عند طرفيه
• محيط المعين = 4 × طول الضلع
• مساحة المنطقة الداخلية للمعين = نصف حاصل ضرب طولي قطريه .

​

​

74

المربع هو :

1- متوازي أضلاع احدى زواياه قائمة وفيه ضلعان متجاوران متطابقان .

2- مستطيل فيه ضلعان متجاوران متطابقان.

3- معين احدى زواياه قائمة .

فالمربع يجمع خواص المستطيل والمعين ومن خواصه الثانوية : قطراه متعامدان ومتناصفان ومتطابقان

75

مخطط الشكل الرباعي

76

عدد الأقطار = 18 ، عدد الأقطار = 9

2

إثراء

إذا أردنا إيجاد عدد اقطار أي مضلع نستخدم القانون التالي :

عدد أقطار المضلع

عدد الأقطار = ( ن – 3 ) × ن

2

مثال : مضلع ذو ٦ أضلاع

عدد الأقطار = ( 6– 3 ) × 6

2

( بحیث ان ن ھو عدد أضلاع المضلع )

77

مثال : مضلع ذو ٦ أضلاع

​

مجموع زوايا المضلع السداسي = ( 6 – 2 ) × 180 ْ

= 4 × 180 °

= 720 °

إثراء

مجموع زوايا المضلع الداخلية

إذا أردنا إيجاد مجموع قياسات الزوايا الداخلية لأي مضلع نستخدم القانون التالي:

مجموع قياسات زوايا المضلع الداخلية = ( ن – 2 ) × 180 ْ

( بحیث ان ن ھو عدد أضلاع المضلع )

78

قياس زاوية المضلع السداسي = ( 6 – 2 ) × 180 °

6

= 4 × 180 ° = 120 °

6

إثراء

قياس زاوية المضلع المنتظم الداخلية

إذا أردنا إيجاد قياس زاوية لأي مضلع منتظم نستخدم القانون التالي:

قانون قياس زاوية المضلع المنتظم الداخلية = ( ن – 2 ) × 180 ْ

ن

( بحیث ان ن ھو عدد أضلاع المضلع )

مثال : مضلع ذو ٦ أضلاع

المضلع المنتظم : هو المضلع الذي تكون اضلاعه متطابقة وزواياه متطابقة

نشاط :

80

الحجوم

سَبَقَ وَتَعَلَّمْنا أنَّ الْمَنْشورَ الْقائِمَ هُوَ مُجَسَّمٌ لَهُ قاعِدَتانِ مُتَطابِقَتانِ وَمُتَوازِيَتانِ ، وَأوْجُهُهُ الْجانِبِيَّةُمُسْتَطيلَةٌ .

​

وَإذا كانَتْ قاعِدَتا الْمَنْشورِ الْقائِمِ مُسْتَطيلَتَيِ الشَّكْلِ ، فَإنَّ هذا الْمُجَسَّمَ يُسَمّى شِبْهَ مُكَعَّبٍ .

​

وَ عِنْدَ تَقْسيمِ شِبْهِ الْمُكَعَّبِ إلى وَحَداتٍ مُكَعَّبَةٍ مُتَساوِيَةٍ ، يُمْكِنُنا عَدُّ هذِە الْوَحَداتِ لِمَعْرِفَةِ مِقْدارِ الْحَيِّزِ

الَّذي يَشْغَلُهُ الْمُجَسَّمُ ، وَهذا ما نُطْلِقُ عَلَيْهِ الْحَجْمَ .

التوجيه العام للرياضيات دورة المعلمين الجدد للعام الدراسي 2022 / 2023 م

81

حجم المنشور القائم ( المكعب – شبه المكعب )

82

83

حجم المنشور القائم – حجم الإسطوانة الدائرية القائمة

التوجيه العام للرياضيات دورة المعلمين الجدد للعام الدراسي 2022 / 2023 م

84

85

86

87

حجم المخروط الدائري القائم

التوجيه العام للرياضيات دورة المعلمين الجدد للعام الدراسي 2022 / 2023 م

88

89

90

حجم الهرم القائم

التوجيه العام للرياضيات دورة المعلمين الجدد للعام الدراسي 2022 / 2023 م

91

حجم الهرم القائم

92

93

حجم الكرة

94

95

شكرا لكم على حسن الاستماع