1 of 19

1

23.08.2024

(Diğer İsimleri: Simetrik Olmayan Eğilme veya İki eksenli Eğilme)

5.7 EĞİK EĞİLME

(video 5.9.c)

(video 5.9.b)

(video 5.9.a)

Mukavemet II – Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor

2 of 19

2

23.08.2024

C

O

bulunduğumuz nokta

Çemberin yarıçapı:

Bir noktadan geçen tüm eksenlere göre atalet momentlerinin geometrik ifadesi olan mohr çemberi aşağıdaki adımlarla çizilir:

5.7.2 Hatırlatma-1 : (Statik 6.3 konusundan Asal Atalet Eksenleri)

Asal Atalet momentleri:

Asal Atalet ekseni açısı:

2θ

(5.7 4)

(5.7.5)

(5.7.6)

3- M-N çizgisi çizilir ve C noktası belirlenir.

4- C merkezli, M ve N’den geçen çember çizilir.

5- Çember üzerinde bulunduğumuz M noktasından itibaren gerçekteki

Not: Statik 6.3 konusunda, alan x-y düzleminde incelenmişti. Ancak Mukavemetteki eğilme konularında kesit y-z düzleminde incelenmektedir. ,Bu nedenle statik 6.3 konusundaki formüller, y-z eksenlerine göre tekrar uyarlanmıştır.

(5.7.1)

(5.7.2)

(5.7.3)

5.7.1 Bu bölümde Amacımız: Bir kirişte, iki eksenli eğilme veya diğer ismiyle eğik eğilme mevcut iken kiriş kesitinde normal gerilme dağılımını formülüze etmektir. Eğik Eğilmenin ne olduğunu anlamak için öncelikle Statik ve Mukavemet 1 den iki hatırlatma yapacağız:

Eğik Eğilme

v

u

y

z

θ

z_p

y_p

O

Şekil 5.7.2

Şekil 5.7.1

Mukavemet II – Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor

3 of 19

MUKAVEMET - Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor

3

23.08.2024

x

y, y_p

B

z, z_p

Eğik Eğilme nedir? Ne zaman oluşur?

Mukavemet 1 de öğrendiğimiz üzere, bir kirişin y-z düzlemindeki kesitinde Basit Eğilme aşağıdaki iki şart mevcutken oluşur:

Yukarıdaki iki şarttan en az birisi sağlanmıyorsa kesitte Eğik Eğilme oluşur.

Aşağıda eğik eğilme durumuna 3 örnek verilmiştir.

5.7.3 Hatırlatma 2: (Mukavemet 1 den Basit Eğilme)

1. Şart: Kesit y veya z eksenlerinden en az birisine göre simetrik olmalıdır.

2. Şart : Kesitteki bileşke moment vektörünün doğrultusu y veya z eksenlerinden birisiyle çakışmalıdır.

x

y, y_p

z, z_p

B

Normal Gerilme Formülü

y yönünde basit eğilme

z yönünde basit eğilme

Amacımız Eğik Eğilme Durumunda normal gerilme dağılımını elde etmektir.

Simetrik kesitlerde asal atalet eksenleri (y_p, z_p) y ve z eksenleriyle çakışıktır.

x

y, y_p

z, z_p

y

z

G

(2nci şart sağlanmıyor)

(1nci şart sağlanmıyor)

y

z

G

(1nci ve 2nci şartlar sağlanmıyor)

Tümü

Eğik Eğilme

y_p

z_p

y_p

z_p

Eksen takımı daima kesitin G ağırlık merkezine yerleştirilmelidir.

Bu formülün başında niçin «-» yok. Cevap için 5.1.7 konusuna bakınız

Eğik Eğilme

Şekil 5.7.3

Şekil 5.7.4

Şekil 5.7.5

Şekil 5.7.6

Şekil 5.7.7

4 of 19

MUKAVEMET - Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor

4

23.08.2024

Simetrik veya Simetrik olmayan kesitlerde, Bileşke Eğilme Moment Vektörünün doğrultusu, asal atalet eksenlerinden birisiyle çakışırsa, (asal eksen takımına göre) basit eğilme oluşur. Aksi Halde Eğik Eğilme Oluşur.

Simetrik kesitler için Örnekler

Püf Noktası 5.7.1: Simetrik kesitlerde Kartezyen eksenler aynı zamanda asal atalet eksenleridir.

z_p,

,y_p

(Bileşke moment asal eksenlerden birisiyle çakışmış.)

a-) Basit Eğilme

z_p,

,y_p

(Bileşke moment asal eksenlerden hiçbiriyle çakışmamış.)

b-) Eğik Eğilme

Simetrik olmayan kesitler için Örnekler

Asal atalet eksenleri y ve z eksenlerinden farklıdır.

a-) Basit Eğilme

(Bileşke moment asal eksenlerden birisiyle çakışmış.)

b-) Eğik Eğilme

c-) Eğik Eğilme

(Bileşke moment asal eksenlerden hiçbiriyle çakışmamış.)

(Bileşke moment asal eksenlerden hiçbiriyle çakışmamış. y ile çakışmış ama y asal atalet ekseni değil)

Eğik Eğilme

Şekil 5.7.8

Şekil 5.7.9

5.7.4 Eğik Eğilme Tespitinde Daha Genel Kural:

5 of 19

MUKAVEMET - Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor

5

23.08.2024

5.7.5.1 - 1. Yöntem: Eğik Eğilmenin 2 tane Basit Eğilmeye İndirgenmesi (Süperpozisyon Yöntemi)

Eğik Eğilme

z ekseninde Basit eğilme

y ekseninde basit eğilme

Eğik eğilme

+

=

+

z_p,

,y_p

z_p,

+

Bileşke moment asal atalet eksenleriyle çakışmadığı için

T.E

(tarafsız eksen)

T.E

(tarafsız eksen)

(5.7.7)

Şekil 5.7.10.a

Şekil 5.7.10.b

Şekil 5.7.10.c

,y_p

z_p,

6 of 19

MUKAVEMET - Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor

6

23.08.2024

2nci örnek: Simetrik olmayan bir kesit için M bileşke momentinden dolayı kesitin herhangi bir b noktasındaki normal gerilmenin hesaplanması:

Eğik Eğilme

Basit Eğilme

(5.7.8)

Eğik Eğilme

Şekil 5.7.11

(a)

(b)

(c)

7 of 19

MUKAVEMET - Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor

7

23.08.2024

Bu yöntemde normal gerilme denklemi y ve z alt simgeli değişkenler (Iz, Iy, Izy, Mz, My, z, y) cinsinden ifade edilecektir. Asal atalet momentlerini veya asal atalet eksenlerini kullanmaya gerek kalmayacaktır. Bu yöntem simetrik olmayan kesitler için daha pratiktir.

Eğik eğilme

Şimdi bu sorunun cevabını araştıracağız..>>

?

Eğik Eğilme

Şekil 5.7.12.a

Şekil 5.7.12.b

Şekil 5.7.12.c

8 of 19

MUKAVEMET - Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor

8

23.08.2024

3

Eğik Eğilme

5.7.6 Hatırlatma:

Tarafsız Eksen

y

z

x

G

Tarafsız Düzlem

Şekil 5.7.14

Şekil 5.7.13.a

Şekil 5.7.13.b

9 of 19

MUKAVEMET - Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor

9

23.08.2024

5.7.7 Kartezyen Koordinatlara Göre Eğik Eğilme Hesapları:

3

Simetrik olmayan bir kiriş kesitinde eğik eğilme durumunda Tarafsız Eksen y ekseniyle belli bir β açısı yapar. Bu β açısı da şu an bilinmeyenler arasındadır.

Basit eğilme için yapılan kabuller eğik eğilme için x-y’ düzleminde geçerlidir.

x: kiriş ekseni ve kesit normalidir. x-y’ düzleminde eksene dik çizgiler, eğilmeden sonra da dik kalır. Düzlem kesitler düzlem kalır.

JK lifinin son boyu :

JK lifinin Toplam uzaması :

JK lifinin birim elastik uzaması :

JK lifinin geçtiği herhangi bir c noktasında elastik bölgedeki normal gerilme:

Herhangi bir c noktasının y’ koordinatı:

y’: T.E (tarafsız eksene) dik eksendir. Kuvvet hattı ise M bileşke momentine diktir.

(5.7.9)

Eğik Eğilme

Kuvvet hattı

y

z

y

Kiriş kesiti

Tarafsız Eksen

β

y’

G

c

z

β

y.sinβ

β

y’

z.cosβ

Şekil 5.7.15

Şekil 5.7.16.a

Şekil 5.7.16.b

10 of 19

MUKAVEMET - Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor

10

23.08.2024

b

Son 5.7.9 denklemini açıp düzenlersek:

Dış normal kuvvet olmadığından, kesitte iç normal kuvvet sıfır olmalıdır (statik denge sebebiyle)

dif. iç kuvvet = gerilme x dif.alan

y yönündeki toplam iç moment:

Sağ el kaidesine göre pozitiftir.

(Sağ el kaidesine göre negatiftir.)

z yönündeki toplam iç moment:

Katsayılar tanımlarsak:

(5.7.10)

(5.7.11)

Eğik Eğilme

y

G

z

x

y

z

dA

Kiriş kesiti

c

Şekil 5.7.17

11 of 19

MUKAVEMET - Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor

11

23.08.2024

5.7.10 ve 5.7.11 denklemlerinden katsayılar aşağıdaki gibi elde edilir:

y

G

z

x

y

z

Kiriş kesiti

c

dA

Buna göre, eğik eğilmeye maruz bir kirişin herhangi bir kesitinin y, z koordinatlarına sahip herhangi bir noktasındaki normal gerilme aşağıdaki denklemden hesaplanabilir.:

(5.7.13)

Eğik Eğilme

2. Özel hal: 1. Özel hale ilaveten ayrıca M_y = 0 olursa, basit eğilme durumuna dönülmüş olur ve bu durumda 5.7.13 denklemi basit eğilmedeki normal gerilme denklemine dönüşür.

Basit Eğilme

5.7.13 denklemi izotropik cisimler için, elastik bölgede geçerlidir ve tüm eğilme durumlarını kapsayan genel bir denklemdir. Alttaki 2 özel hallerden 5.7.13 ün genel bir denklem olduğunu görebiliriz:

(5.7.12a,b)

Basit Eğilme aslında eğik eğilmenin özel bir halidir.

Eğik Eğilme

Şekil 5.7.18

Şekil 5.7.19

Şekil 5.7.20

12 of 19

MUKAVEMET - Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor

12

23.08.2024

z

y

Kiriş kesiti

Tarafsız Eksen

β

y’

G

5.7.7.1 Tarafsız eksenin doğrultusunu veren β açısının elde edilmesi:

Gerilme formülündeki katsayılar daha önce şu şekilde tanımlanmıştı:

Bunları birbirine oranlarsak:

Ayrıca 5.7.12a,b denklemlerinden :

Eğik Eğilme Durumunda Tarafsız eksen doğrultu açısı:

(5.7.14)

5.7.7.2 Özel Hal İncelemesi:

Basit Eğilme

Bu durumda 5.7.14 denkleminden

Bu ise tarafsız eksenin z ekseni olduğunu gösterir ki, basit eğilmede böyle olduğu söylenmişti.

(5.7.14 denklemi izotropik malzemeler için elastik yüklemede geçerlidir. +y ekseninden itibaren saat ibreleri tersi yönündeki açıdır. Tüm eğilme tiplerini kapsar.)

Eğik Eğilme

Şekil 5.7.21

Şekil 5.7.22

13 of 19

MUKAVEMET - Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor

13

23.08.2024

5.7.7.3 Kirişin eğrilik yarıçapı ρ nun elde edilmesi:

x-y’ düzleminden bakınca kirişin C merkezine göre eğrilik yarıçapını da elde edebiliriz. Şöyle ki:

Gerilme katsayıların karelerini toplarsak:

Ayrıca 5.7.12a,b denklemlerinden :

Eğik eğilme durumunda

Eğrilik yarıçapı genel denklemi:

(5.7.15)

5.7.7.4 Özel Hal İncelemesi:

Basit Eğilme

(Bölüm 5.1 de anlatılan Basit Eğilme konusunda da bu son denklem çıkarılmıştı.)

5.7.15 denklemi bu durumda:

(5.7.15 denklemi izotropik malzemeler için elastik yüklemede geçerlidir ve basit eğilmeyi de kapsar.)

Eğik Eğilme

Şekil 5.7.16.a

Şekil 5.7.16.b

Şekil 5.7.22

14 of 19

MUKAVEMET - Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor

14

23.08.2024

5.7.7.5 Eğik Eğilmede Normal Gerilme Dağılımı:

z

y

Kiriş kesiti

T.E

β

G

A

B

c

-

+

y’

Basit eğilmede olduğu gibi maksimum ve minimum normal gerilmeler Tarafsız eksenden en uzak noktalardadır.
Tarafsız Eksenin altında kalan kesit noktaları negatif gerilmeye sahip iken üstünde kalan noktalarda gerilmeler pozitif olur. Ancak momentlerin yönü ve şiddetine göre pozitif ve negatif gerilme bölgeleri yer değiştirebilir.
Kesitteki herhangi bir c noktasından Tarafsız Eksene paralel çizilerek bu noktadaki gerilmenin grafikteki yeri bulunabilir. Şiddeti ise 5.7.13 denkleminden elde edilir.
Gerilmelerin hepsi düzlem normali (x) doğrultusundadır. Burada üstteki şekilde y-z düzleminde gerilme şiddetleri için şematik bir dağılım gösterilmiştir. Gerilmelerin gerçek yönü ve dağılımı x-y’ düzleminden bakışta ancak gözükebilir.

x-y’ düzleminden bakışta gerilme dağılımı :

Eğik Eğilme

y’

x

G

B

A

Şekil 5.7.23

Şekil 5.7.24

15 of 19

MUKAVEMET - Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor

15

23.08.2024

M

M_y

M_z

T.E

L profilli bir çubuğun herhangi bir kesitinde oluşan bileşke eğilme momenti M=20kNm ve bu momentin +z ekseniyle yaptığı açı 30⁰ olarak hesaplanmıştır. Malzemenin akma mukavemeti 200MPa ve emniyet katsayısı n=2 ise, bu kesitin emniyet sınırlarını aşıp aşmayacağını belirleyiniz.

y-z Kartezyen koordinatları kullanılarak (2.Yöntemle) çözüm:

Atalet momentleri:

Sol alt köşeye göre Ağırlık merkezinin koordinatları:

M

Kesit simetrik olmadığından M momentinden dolayı eğik eğilme oluşur. 5.7.13 denkleminden:

Moment Bileşenleri:

Tarafsız Eksen (T.E)üzerindeki noktalarda gerilmeler sıfırdır:

T.E denklemi :

Maksimum ve minimum gerilmeler tarafsız eksenden en uzak olan A(115;35) ve C (-65; -85)noktalarındadır.

emniyetlidir.

Ağırlık merkezi ve atalet moment değerleri hesaplandığında şu değerler bulunur.

Not: (Hesaplamalar için Statik 6.3 videosunun sonundaki örneğe bakınız. )

Eğik Eğilme

Örnek 5.7.1

(video 5.9.b örn:9.b.1 )

Şekil 5.7.25

Şekil 5.7.26

16 of 19

MUKAVEMET - Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor

16

23.08.2024

Statik 6.3 videosunun sonundaki örnekte aynı geometri için hesaplanan değerler:

Asal Eksenler y_p - z_p kullanılarak (1.Yöntemle) çözüm:

asal atalet eksenlerinin açısı

asal atalet momentleri:

(+z ekseni ile max. Asal eksenin yaptığı açı) :

z_p

y_p

Eğik Eğilme (M)

=

+

emniyetlidir.

(Aynı sonuçları bulduk)

Tarafsız Eksende:

(T.E Denklemidir.)

z_p

y_p

a(z,y)

T.E

M

z_p

y_p

Saat ibreleri yönünde

2.14’denk.

Eğik Eğilme

17 of 19

MUKAVEMET - Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor

17

23.08.2024

Şekil 5.7.28 de gösterildiği gibi, sol ucundan bir duvara sabitlenmiş olan dikdörtgen kesitli kirişe, serbest ucundan F=10kN luk kuvvet uygulanıyor. Kirişte ortaya çıkan maksimum ve minimum normal gerilmelerin şiddetlerini ve yerlerini bulunuz ve kritik kesitteki normal gerilme dağılımını çiziniz.

z

x

y

60 mm

80 mm

L=1 m

F

A

B

C

O

2.yol:

Vektörel olarak O noktasına göre moment alırız ve işaretleriyle birlikte bileşenleri buluruz.

Moment alınan nokta

Kuvvet hattı

üzerinde bir nokta

z

60 mm

80 mm

L=1 m

F

A

B

C

O

E

y

Öncelikle F kuvvetini kendi doğrultusu üzerinde E noktasına taşıyabiliriz. F kuvvetinin kirişte oluşturacağı maksimum moment bileşenleri, kuvvetten en uzak olan ankastre (duvarla temas eden) kesitte oluşacaktır

Çözüm:

Ankastre uçtaki Moment bileşenlerinin hesaplanması:

1.yol:Dik uzaklıklardan(Skaler):

İşaretleri sağ el kaidesiyle bulunur.

x

F kuvvetinin bileşenleri:

E

a

b

O

E

1m

x

Örnek 5.7.2

(Video 5.9.c örnek 9.c.1)

Eğik Eğilme

Şekil 5.7.28

Şekil 5.7.29

18 of 19

MUKAVEMET - Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor

18

23.08.2024

(T.E denklemi)

A(-40,30)

B(40,-30)

Ankastre kesit için normal gerilme hesabı:

1.Yöntem olan Süperpoziyon yöntemini kullanabiliriz.

Kesit simetrik olduğundan:

z, z_p

y, y_p

O

z, z_p

O

y, y_p

Eğik Eğilme

Basit Eğilme

z, z_p

y, y_p

O

T.E

A

B

T.E den en uzak noktalar A ve B dir ve bu noktalarda max ve min gerilmeler oluşur.

T.E üzerinde gerilmeler sıfırdır

Bu denkleme göre T.E şekil 5.7.31.a daki gibi çizilir.

0

O

z, z_p

y, y_p

Eğik Eğilme

60 mm

80 mm

Şekil 5.7.31.a

Şekil 5.7.30

Şekil 5.7.31.b

Şekil 5.7.31.c

Çarpım atalet momentleri sıfırdır:

19 of 19

MUKAVEMET - Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor

19

23.08.2024

A

B

T.E

z

y

O

y’

x

kiriş

kesit

-

+

Kesit düzlemindedir.

y’

x

O

A

B

T.E

A

B

y'

y

z

O

Perspektif görünüşten normal gerilme dağılımı

x-y’ düzleminden görünüş:

Eğik Eğilme

O : kesitin ağırlık merkezi

Şekil 5.7.32

Şekil 5.7.33

Şekil 5.7.34