Vektorregning i planet og rommet
Kjetil Liestøl Nielsen
Førsteamanuensis
Institutt for matematikk og naturfag
1
Dagens tema
Socrative:
https://b.socrative.com/login/student/
Logg inn med “19ogekso”
Læringsutbytter:
Lengden av en vektor
Lengden (også kalt normen) av en vektor er gitt ved lengden av pilen i koordinatsystemet.
Vi kan lage en rettvinklet trekant for å regne ut lengden av vektoren.
Merk: Lengden for en n-dimensjonal vektor blir tilsvarende:
Dersom vi lager en rettvinkla trekant med kateter og , ser vi at vektorpilen danner hypotenusen i trekanten. Dersom vi kaller denne lengden for |a|, får vi fra Pythagoras:
Merk: Noen fagbøker skriver lengden av en vektor med doble streker:
Eksempel
Vektoren a = [2,3] har en lengde på
Enhetsvektorer
En enhetsvektor er en vektor med lengde 1. For en gitt vektor, u, kan vi normalisere den (gi lengde 1) ved å dele på lengden, dvs:
Merk: Vi bruker vanligvis en “hatt” over symbolet for å vise at det er en enhetsvektorer. Vi leser dette da som “u-hatt”.
Newtons gravitasjonslov: Enhetsvektorern blir brukt til å vise
Loven kan også skrives på skalarform:
Enhetsvektorer langs koordinataksene
Enhetsvektorer som peker langskoordinataksene, er spesielt viktige. Dersom vi har et 3D-koordinatsystem med akser, x, y og z, kaller vi enhetsvektorene langs koordinataksene for
Enhetsvektorene langs koordinataksene for to dimensjoner.
Merk: enhetsvektorene langs koordinataksene skrives også ofte som
Oppgave 1
Finn komponentene til og .
Enhetsvektorene langs koordinataksene for to dimensjoner.
Lineærkombinasjon
En vektor kalles en lineærkombinasjon av vektorene dersom
kan skrives på formen
hvor er skalarer.
Eksempel:
a) Vektoren a = [4, 5] er en lineærkombinasjon av b = [2, 3] og c = [1,2] siden
a = 3b - 2c
b) Vektoren a = [0, 5] er en lineærkombinasjon av b = [1,2], c = [3,3] og d = [2,0] siden
a = b + c - 2d
Eksempel
Finn konstantene k og g slik at vektorlikningen:
[0.5, 15] = k[0.5, 3] + g[2, -4]
holder.
Løsning
Oppgave 2
Finn konstantene a og b slik at vektorlikningen:
[7, -12] = a[1, 3] + b[3, -2]
holder.
Dekomponering
En vektor kan også skrives som en lineærkombinasjon av enhetsvektorer som peker langs koordinataksene. F.eks. kan vektoren
skrives som
hvor og er enhetsvektorene langs henholdsvis x-aksen og y-aksen.
En vektor kan dekomponeres i flere komponenter.
Dekomponering i fysikken - 1
Dekomponering er et viktig verktøy for å kunne løse problemer i fysikken. Dette gjør f.eks. at en komplisert bevegelse i flere dimensjoner, kan forenkles til flere enklere endimensjonale bevegelser som man løser uavhengig av hverandre.
Kort sagt: det som skjer i x-retning, påvirker ikke det som skjer i y-retning og motsatt.
Steinkast: Akselerasjonen a virker kun i y-retning og påvirker derfor kun y-komponenten av hastigheten, v.
Dekomponering i fysikken - 2
Anta vi står ved et stup og kaster en stein 30 grader oppover med en fart på 15 m/s. Etter at steinen har forlatt hånden, har den en akselerasjon på 9.8 m/s^2 som virker rett nedover. Steinen treffer bakken etter 3 sekunder. Finn hastigheten til steinen (både verdi og retning) akkurat idet den traff bakken.
Dekomponering i fysikken - 3
Problemet kan virke komplisert, men ved å dele opp problemet i en x-retning og y-retning og jobbe med disse uavhengig av hverandre, blir problemet overkommelig.
I x-retning:
Virker ingen akselerasjon, så farten i x-retning er konstant. Dvs.
I y-retning:
Virker en akselerasjon, a = 9.8 m/s^2. Vi får da:
Se bilde på neste side
Dekomponering i fysikken - 4
Dekomponering i fysikken - 5
Oppgave 3
En kloss sklir langs et horisontalt underlag og fyker utfor et stup. Klossen treffer bakken etter 2 sekunder med en fart på 20 m/s og en vinkel på 60 grader relativt til underlaget. Hvilken fart hadde klossen idet den skled utfor stupet?
Hint: Oppgaven er mye enklere enn den forrige og kan løses på noen få linjer.
Vektormultiplikasjon
Vektormultiplikasjon
Forrige gang så vi på addisjon og subtraksjon, og så at regnereglene gjør vektorene oppfører seg som vanlige tall når vi regner med den.
Dette endrer seg drastisk når vi kommer til multiplikasjon. Divisjon er enda verre siden det ikke finnes noen måte å dele en vektor med en annen.
Det er to måter å multiplisere to vektorer:
Skalarprodukt
Et skalarprodukt er et en multiplikasjon mellom to vektorer hvor resultatet er en skalar.
La og
være to n-dimensjonale vektorer. Skalarproduktet mellom a og b er da definert som:
Eksempel:
a)
b)
Merk: På engelsk kalles skalarprodukt også ofte for “dot-product”.
Oppgave 4
Vinkelen mellom to vektorer
Anta at θ angir vinkelen mellom to vektorer, a og b. Da gjelder:
Vi kan bruke dette til å finne vinkelen mellom to vektorer.
Bevis
2
2
Skalarprodukt - del 2
Ved å skrive om uttrykket for vinkelen mellom to vektorer, får vi en ny metode for å regne ut skalarprodukt:
Dette er nyttig dersom vi vet lengdene av vektorene og vinkelen mellom dem.
Geometrisk tolkning av skalarprodukt
La oss dele vektor a i to delkomponenter, en del parallell med vektor b og en del normalt på vektor b.
Ved å skrive om uttrykket for skalarproduktet, ser vi ved bruk av trigonometri:
Dvs. at skalarproduktet er lik lengden av b ganget med lengden av en delkomponent av a som er parallell med b.
Oppgave 5
Vis at vi også kunne tenkt motsatt, dvs. at skalarproduktet mellom a og b er lik lengden til a multiplisert med lengden av delkomponenten av b som virker parallell med a.
Eksempel: Arbeid i fysikk
Fra ungdomsskolen: Arbeid er definert som kraft ganger strekning: W = Fs
Arbeid er egentlig definert som et skalarprodukt mellom kraft og forflytning:
Fra den geometriske tolkningen: Det er kun den delen av kraften som virker langs forflytningen som bidrar til det utførte arbeidet.
Arbeid er kraft ganger strekning.
Formelen fra ungdomsskolen fungerer kun dersom kraften og strekningen virker i samme retning. Ellers må vi bruke skalarprodukt.
Eksempel
Vi drar et akebrett langs et horisontalt underlag med en kraft på F = 100 N i en vinkel på 30 grader med underlaget. Dersom vi drar akebrettet 15 meter, hvor stort arbeid har vi utført?
Løsning
Vi bruker uttrykket for scalarprodukt og får:
Merk: J-en på slutten er bare enheten til arbeid: “Joule”.
Spørsmål: Hvor stort arbeid utfører vi dersom vinkelen er på 90 grader?
Oppgave 6
En gutt prøver drar et akebrett oppover en bakke med en kraft på F = 50 N som er parallell med underlaget. Men selv om han drar med en kraft, så seiler akebrettet 10 meter nedover bakken. Hvor stort arbeid har gutten utført på akebrettet?
Hint: Hva er vinkelen mellom vektorene?
Ortogonale vektorer
Skalarproduktet kan blant annet brukes til å sjekke om to vektorer står vinkelrett på hverandre (dvs. de er ortogonale). Vi har
når
Når vinkelen mellom to vektorer er 90 grader, sier vi at vektorene er ortogonale.
Vektorprodukt / kryssprodukt
Et kryssprodukt er en multiplikasjon mellom to vektorer hvor resultatet er en ny vektor.
La a og b være to vektorer med tre dimensjoner. Kryssproduktet mellom disse er da definert som:
Lengden av den resulterende vektoren kan også skrives som:
Merk: Kryssprodukt er kun definert mellom to tredimensjonale vektorer. I figuren under kan vi tenke oss at vektorene a og b ligger i et plan og a x b står vinkelrett på planet.
Utfordring: Prøv å bevis uttrykket for å regne ut lengden til kryssproduktvektoren.
Høyrehåndsregelen
Det er en lett huskeregel for finne ut hvilken retning kryssproduktvektoren peker. Strekk ut høyre hånd slik at fingrene peker i retning til den første vektoren (a). Krum fingrene i retning til den andre vektoren (b). Tommelfingeren peker nå i retningen til kryssproduktregelen.
Sjekk at dette stemmer med figuren på forrige side.
Huskeregel for å regne ut kryssprodukt
Kryssproduktet kan virke veldig knotete, men det er en fin fremgangsmåte for å regne ut komponentene. Fremgangsmåten starter med å skrive kryssproduktet på følgende form:
Vi skal i de neste stegene se hvordan vi regner ut de forskjellige komponentene til kryssproduktvektoren.
For spesielt interesserte: Teknisk sett regner vi ut determinanten til en 3x3-matrise når vi regner ut et kryssprodukt. Determinanter blir en viktig del av lineæralgebraen du får på masteremnet i matematikk.
Huskeregel - del 3
X-komponenten: Ta vekk kolonnen og raden hvor x-hatt er. Gang sammen komponentene i de blå ellipsene og komponentene i de grønne ellipsene. Ta resultatet fra den blå og trekk fra resultatet fra den grønne.
Huskeregel - del 4
Y-komponenten: Ta vekk kolonnen og raden hvor y-hatt er. Gang sammen komponentene i de blå ellipsene og komponentene i de grønne ellipsene. Ta resultatet fra den blå og trekk fra resultatet fra den grønne.
Merk: Her er det grønt oppe til venstre, mens det var blå oppe til venstre for x-komponenten.
Huskeregel - del 5
Z-komponenten: Ta vekk kolonnen og raden hvor z-hatt er. Gang sammen komponentene i de blå ellipsene og komponentene i de grønne ellipsene. Ta resultatet fra den blå og trekk fra resultatet fra den grønne.
Oppgave 7
Geometrisk tolkning av kryssprodukt
La oss dele vektor a i to deler, en del parallell med vektor b og en del normalt på vektor b.
Ved å bruke trigonometri får vi at lengden av kryssproduktvektoren kan skrives som:
Dvs. lengden av kryssproduktvektoren er lik lengden av b ganget med lengden av den delen av a som står vertikalt på b.
Hjemmeoppgave: Vis at det også kan skrives som lengden av a multiplisert med den delen av b som står vinkelrett på a.
Fra fysikken: Dreiemoment
Anta at vi drar i en skiftenøkkel med en kraft F
og la r være en vektor som peker fra dreiningspunktet til hvor kraften virker. Det virker da et dreiemoment gitt ved:
Spørsmål:
Sjekk at svarene passer med uttrykket for lengden av et kryssprodukt.
F
r
θ
Fra fysikken: Magnetisk kraft
Anta at en partikkel med ladning q beveger seg med en hastighet v i et magnetfelt B. Det virker da en magnetisk kraft, F, på ladningen gitt ved:
Oppgave: Anta det virker et magnetfelt rett inn i arket (markert med kryss i tegningen under). Bruk høyrehåndsregelen og loven for magnetisk kraft til å forklare hvorfor de to ladningene under vil bevege seg som de gjør. Tegn på de magnetiske kreftene som virker akkurat idet ladningene kommer inn i magnetfeltet.