Система підготовки до ДПА/ЗНО з математики : висновки, ключові тенденції та чинники якісної підготовки

За вибором випускника, який вивчав математику на рівні стандарту :�ДПА (ЗНО-2022 �профільний рівень)

• Результат виконання завдань №1–26 буде зараховуватися як результат державної підсумкової атестації за освітній рівень повної загальної середньої освіти для випускників закладів загальної середньої освіти 2022 року
• Результат виконання всіх завдань сертифікаційної роботи профільного рівня буде використовуватися під час прийому до вищих навчальних закладів

Завдання для ДПА відповідатимуть програмі рівня стандарту

​

​

Графік проведення ЗНО - 2022

• українська мова, українська мова і література 31 травня
• математика, математика (завдання рівня стандарту)

3 червня

Статистика складання ЗНО з 2004 по 2021 рік

Загальні висновки щодо результатів виконання завдань сертифікаційної роботи 2021

Загальні висновки щодо результатів виконання завдань сертифікаційної роботи 2021

Загальні висновки щодо результатів виконання завдань сертифікаційної роботи 2021

Загальні висновки щодо результатів виконання завдань сертифікаційної роботи 2021

Загальні висновки щодо результатів виконання завдань сертифікаційної роботи 2021

�Загальні висновки щодо результатів виконання завдань сертифікаційної роботи 2021

Загальні висновки щодо результатів виконання завдань сертифікаційної роботи 2021

Загальні висновки щодо результатів виконання завдань сертифікаційної роботи 2021

Аналіз статистичних показників завдань відкритої форми з розгорнутою відповіддю засвідчив:

• учасники тестування часто лише фрагментарно обґрунтовували зроблені висновки, не покликалися на аксіоми, теореми та їхні наслідки, не змогли логічно й послідовно записати хід своїх думок;
• у багатьох учасників недостатньо розвинена просторова уява. Про це свідчить той факт, що зобразити циліндр і побудувати його осьовий переріз змогли лише 41,2 % учасників;
• значна частина учасників недостатньо володіє апаратом математичного аналізу, припускає багато помилок під час визначення похідної функції та знаходження проміжків її монотонності;
• чимало тестованих не розуміють, що означає довести тотожність, зокрема плутають доведення тотожності з розв’язанням рівнянь;
• очікувано викликало труднощі завдання 34, яке належить до завдань найвищого когнітивного рівня. Про це свідчить той факт, що повністю розв’язати завдання змогли лише 0,2 % учасників тестування.

Зміст сертифікаційної роботи з математики 2022 року

Програма зовнішнього незалежного оцінювання результатів навчання з математики, здобутих на основі повної загальної середньої освіти

(наказ МОН України від 04.12.2019 року наказ №1573 «Про затвердження програм зовнішнього незалежного оцінювання результатів навчання, здобутих на основі повної загальної середньої освіти»)

​

Звернути увагу на вимоги:

• Аналізувати та досліджувати рівняння, їх системи та нерівності залежно від коефіцієнтів
• Розв’язувати рівняння та нерівності, використовуючи означення та властивості модуля
• Знаходити кутовий коефіцієнт та кут нахилу дотичної до графіка функції в даній точці
• Завдання практичного змісту!!!

�Ознайомити учнів з технікою тестування:�

• алгоритм виконання тестових завдань;
• оформлення роботи;
• дотримання визначених часових параметрів;
• заповнення бланків відповідей А; Б .

Категорично заборонено використовувати олівець!

Звернути увагу на запис чисел, зокрема десяткових дробів!

Бланки А , Б,

Рекомендуємо

• Виконувати завдання в тому порядку, у якому вони наведені. Для економії часу краще пропустити завдання, яке не вдалося розв’язати відразу, і перейти до наступного.
• Уважно читати умову, чітко усвідомити, що потрібно знайти. Якщо в завданні вимагається знайти суму (добуток, кількість тощо) коренів рівняння, то доцільно цю умову виділити (підкреслити, обвести).
• Запланувати середній час на кожне завдання.
• Залишити час на заповнення бланків відповідей і на їх перевірку (до 30 хвилин)
• Починаючи виконувати завдання, спрогнозувати ймовірну відповідь.

​

• Відпрацьовувати алгоритм виконання тестових завдань різних форм на різних етапах навчання.
• Дотримуватися вимог до виконання завдань з розгорнутою відповіддю:
• обґрунтування етапів розв’язання здійснювати математично грамотно;
• методи розв’язання, форми його запису й форми запису відповіді можуть бути різними;
• достатньо виконати завдання лише одним способом;
• зображення просторових тіл виконувати з урахуванням властивостей паралельного проектування;
• побудову перерізів многогранників виконувати з використанням властивостей паралельних прямих і площин.

Якісна підготовка до ЗНО з математики

• Діагностичні та тренувальні тести.
• Мета діагностичного тесту — навчальна, а сам тест, в основному, спрямований на виявлення прогалин у підготовці випускника до ЗНО. Тренувальний тест проводиться безпосередньо перед проведенням тестування (у квітні та травні) і покликаний змоделювати ситуацію реального тесту ЗНО

​

Особливості теми «Числа і вирази»

Дана тема розбивається на наступні підтеми:

• Цілі та дробові раціональні вирази,
• Ірраціональні вирази,
• Тригонометричні та обернені

тригонометричні вирази,

• Логарифмічні вирази.

​

Акценти

• Розрізняти множину цілих та натуральних чисел, доволі часто учні плутають їх і, наприклад, відносять число нуль до натуральних. У завданнях із короткою відповіддю на розв’язування нерівностей часто вимагається знайти суму чи добуток усіх натуральних чи цілих її розв’язків. У випадку, якщо учень погано розрізняє числові множини, це може призвести до неправильної відповіді навіть у випадку, коли сама нерівність розв’язана правильно.

​

ЗНО -2020

ЗНО -2021

ЗНО 2018

ЗНО 2019

Довідкова інформація

• Варто витратити час на формування в учнів розуміння суті поняття тригонометричних функцій довільного кута на одиничному колі. Значна кількість тестових завдань на тригонометричні вирази значно простіше розв’язується, якщо це розуміння сформоване.

• Поняття модуля числа традиційно викликає труднощі в учнів зі слабким та середнім рівнем підготовки, а тому цій темі варто приділити належну увагу, зокрема, важливим для подальшого повторення є геометричний зміст модуля.

​

Готуємось до ЗНО заздалегідь

• Формули скороченого множення є надзвичайно важливими не лише під час перетворення виразів, а й у майбутньому, наприклад, при розв’язуванні, рівнянь та нерівностей, дослідженні функції на монотонність та екстремуми тощо.

​

�Тема «Функції та їх графіки» �

Дана тема розбивається на наступні підтеми:

• Означення функції, основні властивості функцій,
• Основні елементарні функції (лінійна, квадратична, степенева, показникова, тригонометричні, обернені тригонометричні, логарифмічна),
• Побудова графіків функцій методом геометричних перетворень
• Окремі множини площини, які не є графіками функцій

Акценти

• При вивченні основних властивостей функцій (до таких ми відносимо область визначення, множину значень, парність/непарність, періодичність, монотонність та екстремуми) слід дуже акуратно формулювати означення, звертаючи увагу на «тонкі моменти» цих означень.
• Варто звернути увагу учнів на геометричний зміст параметрів лінійної ( y = kx + b ) та квадратичної ( y =ax² + bx + c ) функцій, оскільки окремі тестові завдання по суті зводяться до перевірки розуміння цього геометричного змісту.

• Перед вивченням логарифмічної та обернених тригонометричних функцій слід приділити увагу загальному означенню оберненої функції та правилу її

знаходження. Зокрема, досить ефективним є методичний прийом із перевертанням і поворотом аркуша на кут π/2 для демонстрації графіка оберненої функції.

• Перед вивченням побудови графіків методом геометричних перетворень слід

приділити час коректним означенням самих геометричних перетворень (паралельного перенесення, симетрії, «стиску» та «розтягу» вздовж осей координат). Особливо це стосується так званих «стисків» та «розтягів».

Завдання ЗНО- 2018 суто теоретичні знання

ДОРЕЧНІ ПРИКЛАДИ СУТО ТЕОРЕТИЧНІ ЗНАННЯ

ДОРЕЧНІ ПРИКЛАДИ (ЗНО 2019)�суто теоретичні знання

ЗНО -2021

• Під час вивчення окремих множин площини, що не є графіками функцій, особливу увагу слід приділити колу та його рівнянню, бо коло часто використовується під час розв’язування традиційних для тесту ЗНО систем рівнянь з параметром, а також у інших темах шкільного курсу математики.

​

Тема «Рівняння та системи рівнянь»

• Тема розбивається на наступні підтеми:
• Цілі та дробові раціональні рівняння,
• Ірраціональні рівняння, Тригонометричні рівняння,
• Показникові та логарифмічні рівняння,
• Комбіновані типи рівнянь.

• Значна частина учнів із певним острахом сприймає навіть саме слово «параметр». Для виправлення цієї ситуації варто розглядати найпростіші (лінійні та квадратні) рівняння з параметром уже на перших заняттях теми, підкреслюючи, що параметр це лише число.

• Варто акцентувати увагу учнів на графічному способі розв’язування рівнянь та систем рівнянь, бо доволі часто якщо в тестовому завданні йде мова про кількість коренів рівняння чи розв’язків системи рівнянь, саме графічний спосіб є найпростішим.

• Оскільки тест ЗНО з математики практично не містить завдань «олімпіадного типу» (таких завдань традиційно 2-3 на весь тест), то під час підготовки більшості учнів до цього виду тестування приділяти надто багато часу нестандартним типам рівнянь не варто.

• Доволі часто під час розв’язування тестових завдань із короткою відповіддю на розв’язування рівнянь та систем рівнянь після розв’язання вимагається записати у відповідь суму коренів, добуток коренів, найменший корінь тощо.

Тема «Нерівності та системи нерівностей»

• На відміну від рівнянь, нерівності є більш поширеним інструментом опису явищ і процесів реального світу, але й методи їх розв’язування є дещо складнішими, ніж методи розв’язування рівнянь.
• За статистикою саме під час розв’язування нерівностей виникає найбільша кількість технічних помилок.

• Тема природним чином розбивається на наступні підтеми:
• Загальний метод інтервалів, властивості числових нерівностей,
• Цілі та дробові раціональні нерівності,
• Ірраціональні нерівності,
• Тригонометричні нерівності,
• Показникові та логарифмічні нерівності,
• Комбіновані типи нерівностей.

ЗНО 2021

• Звернути увагу учнів, що рівняння та нерівності – принципово різні математичні об’єкти і те, що «проходило» для рівнянь, у багатьох випадках для нерівностей «не проходить». Наприклад, рівняння

sin x = 3 не має коренів, а нерівність

sin x ≤ 3 має безліч розв’язків тощо.

Не оминати під час повторення нерівностей та систем нерівностей акуратного означення розв’язку нерівності та системи нерівностей. Крім того,важливо розглянути різні види числових проміжків, оскільки доволі часто від того,«входить» чи «не входить» дана точка (число) до даного проміжку, суттєво залежить відповідь до тестового завдання.

​

​

• На відміну від рівнянь, для нерівностей існує універсальний метод, який дозволяє розв’язання будь-якої з них звести до розв’язання рівняння – загальний метод інтервалів.
• Загальний метод інтервалів є універсальним для розв’язування будь-якої нерівності, але користуватися ним при розв’язуванні найпростіших нерівностей і незручно, і недоцільно.
• Не слід під час повторення курсу математики оминати підтему «Властивості числових нерівностей».

Тема «Текстові задачі»

• Для теми «Текстові задачі» розбиття на підтеми є умовним, бо є досить багато різних основ класифікації текстових задач за змістом чи за способом розв’язування. Пропонуємо виокремити наступні підтеми: «Задачі на арифметичні співвідношення між об’єктами», «Задачі на рух і на роботу», «Задачі на відсотки», «Задачі на подільність цілих чисел».

Акценти

• Варто роз’яснити учням суть поняття математичної моделі та навести основні етапи її побудови, проілюструвавши цю побудову на простих конкретних прикладах. Досвід показує, що однією з найбільших проблем при розв’язуванні текстових задач є вміння відокремити в умові задачі суттєву інформацію від несуттєвої.
• Корисним при розв’язуванні текстових задач ми вважаємо використання гумористичної форми їх формулювання.

• Радимо під час повторення не уникати арифметичних способів розв’язування текстових задач. У ситуаціях, коли можна застосувати алгебраїчний спосіб розв’язування, але існує альтернативний йому арифметичний, варто показати учням обидва ці способи.
• Корисним під час розв’язування текстових задач є використання таблиць, малюнків, діаграм, схем тощо.
• До задач «на арифметичні співвідношення між об’єктами» ми відносимо текстові задачі, у яких здійснюється порівняння кількісних характеристик об’єктів реального світу, але які не можна віднести до задач на рух, роботу, проценти та подільність.

• Під час розв’язування задач на рух і роботу варто звернути увагу учнів, що задачі на спільний рух і спільну роботу, по суті, є однаковими (кількість роботи є аналогом шляху, а продуктивність – аналогом швидкості).
• Досвід показує, що під час розв’язування задач на відсотки використання пропорцій у більшості випадків лише шкодить. Варто при розгляді трьох найпростіших задач на відсотки (знаходження відсотка від числа, числа за його відсотком, відсоткове порівняння двох чисел) детально розглядати їх розв’язування за допомогою формул, а не лише пропорцій.

• Задачі на подільність цілих чисел не завжди формулюються саме у формі текстових задач, але їх розгляд у цій темі є досить природним, зважаючи на методи їх розв’язування, певною мірою аналогічні до методів розв’язування задач інших типів.

​

�Тема «Елементи математичного аналізу» �

• Дана тема природним чином розбивається на наступні підтеми:
• Послідовності, арифметична і геометрична прогресії,
• Похідна та її застосування, Первісна й інтеграл та їх застосування.

• Під час повторення арифметичної та геометричної прогресій варто звернути увагу на ознаки цих прогресій, які дозволяють їх «упізнавати». Досвід показує, що значна кількість учнів ці ознаки просто не пам’ятає, хоч завдання на «впізнавання» арифметичної те геометричної прогресій є досить популярними в тесті ЗНО.

ЗНО 2021

ЗНО 2020

• Під час вивчення похідної можна виділити два підходи до її вивчення – так звані «формальний» та «сутнісний». З позицій «формального» підходу похідна – це своєрідний оператор (штрих), який перетворює функції за певними «аксіомами» (таблиця похідних, правила диференціювання), а з позицій «сутнісного» підходу похідна є границею відношення приросту функції до приросту аргументу за умови прямування до нуля останнього.

​

• У тесті ЗНО з математики останні роки популярними є завдання саме на розуміння суті поняття похідної, зокрема, механічного та геометричного змісту похідної.
• Далеко не всі випускники знайомі з поняттям невизначеного інтеграла як множини всіх первісних даної функції, то при повторенні цієї теми можливі термінологічні непорозуміння.

• Для значної частини учнівської аудиторії означення визначеного інтеграла як границі інтегральної суми є складним. Тому при розгляді цього поняття можна обмежитись його спрощеним розумінням як числа, що обчислюється за формулою Ньютона-Лейбніца.
• У тестах ЗНО з математики досить популярними є завдання на використання геометричного змісту визначеного інтеграла, зокрема, на обчислення окремих інтегралів через площу криволінійної трапеції. Внаслідок цього в частини учнів формується хибне уявлення про те, що визначений інтеграл завжди є додатним числом.

Тема «Планіметрія»

• Дана тема природним чином розбивається на наступні підтеми:
• Найпростіші геометричні фігури на площині,
• Трикутники,
• Многокутники,
• Коло, круг та їх елементи.

• Аксіоми планіметрії відіграють надзвичайно важливу світоглядну функцію, а тому ми радимо не оминати їх при підготовці до ЗНО з математики.
• Для трикутників варто спочатку розглянути властивості і твердження, що стосуються довільного трикутника, а вже потім розглядати його часткові випадки: рівнобедрений трикутник, прямокутний трикутник, правильний трикутник тощо.
• Радимо повторювати лише основні формули та твердження планіметрії. Зосередити більше уваги на формування в учнів уміння міркувати при розв’язуванні геометричних задач, ніж «натаскувати» їх на конкретні типи цих задач

• Корисними при повторенні геометрії (зокрема, планіметрії) є опорні конспекти, своєрідні «досьє» на геометричні фігури

​

​

• Коло в планіметричних задачах фігурує частіше, ніж круг, бо воно неявно зустрічається вже під час систематизації відомостей про многокутники (формули радіусів вписаного та описаного кіл тощо).

​

Тема «Стереометрія»

Тема природним чином розбивається на наступні підтеми:

• Прямі та площини в просторі, Призми та паралелепіпеди, Піраміди і зрізані піраміди,
• Тіла обертання,
• Комбінації геометричних тіл.

• Формування просторової уяви є непростим завданням. Тому під час повторення стереометрії для цього можна використовувати просторові моделі, а за їх відсутності – будь-які підручні засоби: ручки, олівці, аркуші паперу тощо.

​

• Під час повторення взаємного розташування прямих та площин у просторі зручно використовувати зображення або модель куба. Досвід показує, що практично всі поняття і твердження підтеми «Прямі та площини в просторі» можна проілюструвати на кубі.

​

• При повторенні підтеми «Призми та паралелепіпеди» варто зауважити, що паралелепіпеди бувають не лише прямокутні, оскільки в багатьох учнів складається саме така ілюзія.
• Звернути увагу учнів на те, що зрізана піраміда не є частковим випадком піраміди, а зрізаний конус не є частковим випадком конуса. Тому зрізана піраміда та зрізаний конус не наслідують властивостей піраміди та конуса відповідно.
• При розгляді тіл обертання варто дати два альтернативних означення циліндра, конуса, сфери та кулі: конструктивне та через обертання плоскої геометричної фігури.

ЗНО 2021

Довідкові матеріали

Тема «Координати і вектори»

• Тема природним чином розбивається на наступні підтеми:
• Системи координат на площині та в просторі,
• Вектори та дії над ними,
• Застосування векторно-координатного методу до задач геометрії.

• У традиційному шкільному курсі геометрії вивченню векторів приділяється не дуже багато часу, а тому варто «рекламувати» векторно-координатний метод, демонструючи, наскільки простими стають розв’язання окремих задач із використанням цього методу. Досвід показує, що особливо добре учні сприймають доведення теореми Піфагора в три рядки…
• Під час повторення розглядати вектори і координати на площині та в просторі паралельно.

• Під час розгляду даної теми природним є повторення основних геометричних перетворень площини та простору: паралельного перенесення, симетрій відносно точки, прямої та площини тощо.
• Традиційно непросто для учнів зі слабкою просторовою уявою даються завдання на побудову точок у просторовій системі координат, на знаходження їх проекцій на координатні осі та площини, а також на знаходження точок, симетричних даній точці відносно координатних осей і площин.

Тема «Елементи стохастики».

• Тема природним чином розбивається на наступні підтеми:
• Комбінаторика,
• Різні означення ймовірності,
• Основні теореми теорії ймовірностей,
• Елементи математичної статистики.

Акценти

• Ми радимо під час вивчення комбінаторики звернути особливу увагу не лише на комбінаторні формули кількості сполук того чи іншого виду, а й на правила додавання та множення, за допомогою яких і обґрунтовуються всі ці формули. Доволі часто комбінаторну задачу можна розв’язати і без застосування сполук, обмежившись лише цими правилами.

• Дуже важливими поняттями в теорії ймовірностей є поняття несумісних і незалежних подій, які нерідко учні плутають. Радимо за допомогою простих життєвих прикладів показати, що існують сумісні залежні, несумісні залежні, сумісні незалежні і несумісні незалежні події.

​

• Під час вивчення елементів математичної статистики за традиційною схемою у окремих учнів може скластися враження, що поняття середнього значення тотожне поняттю середнього арифметичного значення. Насправді ж існує досить багато простих прикладів, які показують, що середнє значення статистичної сукупності далеко не завжди можна обчислити як середнє арифметичне. Ми радимо, якщо дозволяє час, навести ці приклади інших середніх (середнього геометричного, середнього гармонійного, середнього квадратичного тощо), не заглиблюючись у технічні деталі та властивості

• Звернути увагу на статистику минулих років щодо аналізу виконання учасниками завдань сертифікаційної роботи

Що завадило учасникам?

1. Не вистачило часу

​

• Не знали, як розв’язувати
• Не знали, як оформлювати

​

• Не вважали за потрібне

витрачати на це час

…………………………………………………..

Стереометрична задача відкритої форми з розгорнутою відповіддю

• 1. Описова частина. Описуємо умови задачі, що не потребують обгрунтування.
• 2. Обгрунтування ключових моментів розв’язання.
• 3. Обчислювальна частина. Безпосередньо знаходимо величину, що вимагається у задачі.

​

Що обов’язково пояснюємо та обгрунтовуємо

1. Обгрунтування побудови перерізу, якщо заданий в умові переріз, паралельний деякій прямій, або деякій площині, або перпендикулярний до прямої , або перпендикулярний до площини тощо. Обгрунтування форми перерізу.

2. Обгрунтування:

• кута між мимобіжними прямими;
• кута між прямою і площиною;
• лінійного кута двогранного кута.

Що обов’язково пояснюємо та обгрунтовуємо

• 3. Обгрунтування відстані між :
• точкою та прямою
• точкою та площиною
• паралельними прямими;
• паралельною прямою і площиною
• паралельними площинами.
• 4. Обгрунтування розташування висоти піраміди.
• 5. Обгрунтування побудови шуканої в умові величини (наприклад, радіус вписаного кола тощо).

119

Фабрика виготовляє комплекти пластикових меблів, кожен з яких складається зі стола, дивана та двох крісел. На виготовлення дивана витрачається на 1 кг пластику більше, ніж на виготовлення стола, та на 3 кг більше, ніж на виготовлення одного крісла. Відомо, що на виготовлення 10 крісел витрачається пластику стільки ж, як і на виготовлення 2 столів та 4 диванів разом. Скільки кілограмів пластику витрачається на виготовлення одного комплекту пластикових меблів?

Привернути увагу до умов задач

Приклад ЗНО 2016

Не робити того, чого не просять!

Рекомендації, які стануть у пригоді

учасникам тестування

Звернути увагу!

• Розв’язання завдань у чернетці не перевіряються і до уваги не беруться.
• Завдання 30-34, на які надано правильну відповідь, але розв’язання не наведено, оцінюють у 0 балів. Завдання, розв’язання якого не відповідає умові, оцінюють у 0 балів.

В нормативних документах не передбачена можливість оскаржувати зміст завдань сертифікаційної роботи або правильність установлених і затверджених відповідей.

​

​

��

Шість недоліків у самоорганізації учнів

1. не уважно читають інструкцію, шаблонно виконують завдання
2. слабкі базові знання
3. погано формулюють думки письмово
4. не міркують логічно
5. не перевіряють виконані завдання
6. відчувають “ неправильні ” страхи

​

ВИСНОВОК

• уважно читати завдання,
• концентруватись на головному,
• стежити за часом,
•  контролювати свої емоції,

і уникаємо багатьох помилок

Натхнення

та

удачі !