MUKAVEMET - Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor

1

23.08.2024

KOLONLAR

(Burkulma, Euler ve Tetmajer Formülleri)

11

(Video 11.a)

(Video 11.b)

Konu Anlatımı

Örnekler

MUKAVEMET - Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor

2

23.08.2024

11.1 Kolon Nedir?:

Kolonların Burkulması -1/ Örnekli Konu Anlatımı

Bir kolonun (veya bir çubuk elemanın) ekseni yönünde bası yüküne maruz kalması sonucu, akma (veya gevrek malzemelerde kırılma) sınırından önce, yanal olarak eğilmesine burkulma denir.

Bu sebeple bir kolonun tasarımı yapılırken, sadece akma/kırılma sınırı değil burkulma sınırının da göze alınması son derece önemlidir.

İşte bu konuda amacımız, kolonların burkulma sınırlarını (kritik burkulma yüklerini) teorik olarak hesaplamamızı sağlayacak formüllerin çıkarılmasıdır. Son kısımda çeşitli örneklerle konu pekiştirilecektir.

11.2 Burkulma Nedir?

Düşey eksenli taşıyıcı çubuk elemanlara kolon denir. Yapıların statiğinde ve sağlamlığında hayati önem taşıyan kolonlar genellikle ekseni yönünde bası yüklerine maruz kalır.

Kesilmiş bir kolon ☹.

Şekil 11.1

(a)

(b)

(c)

Şekil 11.2

MUKAVEMET - Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor

3

23.08.2024

Bir kolon yeterince kalınsa, bası yükünü akma sınırına kadar taşır.

Bu durumda mukavemet hesapları akma sınırına göre yapılır.

a-) Kalın Kolonlar

Akma Anında:

b-) İnce Kolonlar

Bir kolon yeterince ince ise, eksenel bası yükü sonucunda akma sınırına ulaşmadan önce yanal olarak eğilir yani burkulur.

Bu durumda ise mukavemet hesapları burkulma sınırına göre yapılmalıdır.

Burkulma Anında:

Akmadan önce:

Burkulmadan önce:

Akmadan önce

11.3 Kolonların Sınıflandırılması :

Kolonları hasar şekillerine göre (akma veya burkulma durumuna göre ) kalın ve ince kolon olmak üzere ikiye ayırabiliriz.

Not: Gevrek kolonlarda akma çok az miktardadır. Bu sebeple akma sınırı yerine kırılma anı dikkate alınır.

Burkulmadan önce

Şekil 11.3

Şekil 11.4

Şekil 11.5a

Şekil 11.5b

Kolonların Burkulması -1/ Örnekli Konu Anlatımı

MUKAVEMET - Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor

4

23.08.2024

11.4. Burkulma ile İlgili Püf Noktalar:

4. Sınır koşullarına bağlı olarak kolonda burkulma farklı modlarda meydana gelebilir ve kolonun son burkulma şekli her modda farklı olabilir. Genel olarak bir kolon en kolay şekilde 1nci modda burkulur. Her mod için farklı bir kritik burkulma yükü vardır.

3. Burkulmada bası yükleri ve bası gerilmeleri söz konusudur ancak hesaplamalarda işaretleri + olarak alınır.

5. Düzlemlere göre sınır şartı farkı yoksa, kolon öncelikle minimum asal atalet ekseni etrafında dönmeye çalışır yani burkulur.

(Bu madde 11..7 konusunda daha detaylı açıklanmıştır. )

Şekil 11.6

(a)

(b)

(c)

Kolonların Burkulması -1/ Örnekli Konu Anlatımı

11.5 Elastik Eğri Benzeşimi ile Euler Burkulma Yaklaşımı

MUKAVEMET - Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor

5

23.08.2024

• Bu yaklaşım, eğilmeye maruz kirişlerin elastik eğrisindeki kabul ve denklemleri esas alır,
• Eksenel yüklerdeki burkulmayı, yanal bir elastik eğri gibi düşünür ve
• Kritik burkulma yüklerini farklı sınır şartları için hesaplamamızı sağlar.
• Bu hesaplamalar Hooke kanunun geçerli olduğu orantı sınırına kadar (bası eğrisinin doğrusal kısmı için) uygulanabilir.

Kirişin şekil değiştirmemiş hali dikkate alınırsa

Kirişin şekil değiştirmiş hali dikkate alınırsa

Euler yaklaşımında:

• Kirişin elastik eğrisinin şekil değiştirmiş hali dikkate alınır.
• Sadece kiriş ekseni doğrultusunda P bası kuvveti olduğunu kabul edilir.

* Eğilme iç momenti M’in üzerinde P’nin etkisi yoktur.

* M’in üzerinde P’nin etkisi vardır. Şöyleki:

Kirişi boylamasına çevirirsek

kolon elde ederiz.

Kolonlar için de Euler yaklaşımı aynen geçerli olur.

Şimdi Euler yaklaşım mantığından hareketle farklı sınır şartlarına sahip kolonlar için P_cr yüklerini elde edeceğiz…>>

9ncu bölümde anlatıldığı üzere düşey yüklü bir kiriş düşünelim. Bu kirişe ayrıca eksenel yatay bir P kuvveti etki etsin:

9.2.2.a denkleminden

Kirişin eğriliği:

* Bölüm 5 Eğilme ve Bölüm 9 kirişlerin çökmesi konularında bu kabul yapılmıştır.

*9.2.2.a denklemi yukarıdaki her iki durum için de geçerlidir.

Euler

orantı sınırı

Şekil 11.7

Şekil 11.8

Şekil 11.9

Şekil 11.10

Şekil 11.11a

Şekil 11.11b

Şekil 11.11c

Kolonların Burkulması -1/ Örnekli Konu Anlatımı

11.6 Farklı Durumlar için Euler Burkulma Formülleri

L uzunluğunda, P eksenel kuvvetine maruz kolon düşünelim . Kesit simetriktir ve asal atalet eksenleri z ve y dir. I_z < I_y dolayısıyla minimum asal atalet momenti I_min = I_z =I olur. Kolon bu düzlemde z ekseni etrafında döner yani burkulur ve y yönünde bir yanal deplasman oluşur.

MUKAVEMET - Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor

6

23.08.2024

Bu sabit katsayılı homojen diferansiyel denklemin genel çözümü:

şeklindedir.

x=0 için

--> B sin(kL)=0

Burada B sıfır olamaz (B≠0). Çünkü A=0 olduğundan her durumda y=0 çıkar ki burkulmanın hiçbir zaman olmayacağı anlamına gelecektir ki bu da olamaz. O halde sin(kL)=0 olmalıdır.

;

Bu durumda kL=π, 2π,….,nπ değerlerinden birisi olmalıdır.

kL= nπ alınırsa:

(buckling mode number: n=1, 2, 3,…. )

11.6.1 Alt ve üst uçları küresel mafsallı ve üst ucu ayrıca kayabilir kolon

I-I kesimi alt kısmının şekil değiştirmiş halinin dengesinden:

3.1 denkleminden:

A ve B sabitlerini sınır şartlarından bulabiliriz: Mesnetlerde bir yanal deplasman olmayacağından;

--------> A=0

x=L için

P yavaş yavaş arttırılır, k değeri de artar ve P= P_kr değerine eriştiğinde burkulma oluşur ve

sin(kL)=0

ve

olur.

burkulma anında:

n nolu modda burkulma yükü:

İlk modda ( n = 1)

2nci modda ( n = 2)

n değeri sınır şartlarına göre değişir.

Şekil 11.12

Kolonların Burkulması -1/ Örnekli Konu Anlatımı

11.6.2 Alt ucu ankastre, üst ucu serbest kolon

​

MUKAVEMET - Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor

7

23.08.2024

yazılabilir.

Burada yine:

Bu dif. denklemin genel çözümü:

x=0 için

x=0 için y=0

P yavaş yavaş arttırılır. 0<P<P_kr süresince bir y deplasmanı yani burkulma oluşmaz. P=P_kr olduğu anda B noktasında x=L için y= δ olacaktır ve bu anda burkulma oluştuğu söylenebilir.

I-I kesiminin şekil değiştirmiş halinin üst kısmının dengesinden:

9.2.2.a denkleminden:

(sehim denklemi)

(eğim denklemi)

Ankastre uçta eğim ve sehim sıfırdır:

O halde burkulma anında:

(sabit katsayısı homojen dif. denklem)

Şekil 11.13

Kolonların Burkulması -1/ Örnekli Konu Anlatımı

-----> D=0

----> C = -δ bulunur.

alınırsa:

Örnek 11.1

​

MUKAVEMET - Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor

8

23.08.2024

yazılabilir.

olmak üzere,

bu dif. denklemin genel çözümü:

,

(sabit katsayılı homojen dif. Denklem)

Alt ucu ankastre, üst ucu serbest olan kolona, serbest ucundan P kuvvetine ilaveten M_o tekil eğilme momenti uygulanırsa Burkulma yükü ne kadar değişir?

M_o momentini de hesaba katarak 11.6.2 maddesindeki işlem adımlarıyla sonuca ulaşacağız:

I-I kesiminin şekil değiştirmiş halinin üst kısmının dengesinden:

9.2.2.a denkleminden

Şekil 11.14.a

Kolonların Burkulması -1/ Örnekli Konu Anlatımı

bulunur.

..>>

Çözüm

MUKAVEMET - Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor

9

23.08.2024

x=L için

olduğu anda:

(Bu sebeple burkulmanın bu anda oluştuğu kabul edilir.)

P arttırılır, bu sırada k terimi de artar. y deplasmanı oluşmaya başlar.

Burkulma anında :

Kolonların Burkulması -1/ Örnekli Konu Anlatımı

Şekil 11.14.b

Sehim (çökme) denklemi:

Bulduğumuz denklemleri tekrar yazalım:

Eğim açısı denklemi:

Şimdi sınır şartlarından C ve D sabitlerini bulalım.

Ankastre uçta, hem sehim hem eğim değeri sıfır olur.

Serbest uçtaki sehim:

Burkulma anının tespiti:

ve

Olur.

ve

11.7 Euler Burkulma Formülünün Genelleştirilmesi :

MUKAVEMET - Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor

23.08.2024

Aşağıdaki Şekil 11.15 de gösterilen tiplerin her birisi için benzer şekilde kritik burkulma yükleri hesaplanır ve yandaki gibi genel formüller 11.5 ve 11.6 denklemlerindeki gibi yazılabilir:..>>

Bu Formüller hangi durumda geçerlidir? … >>

Tablo 11.1

Düzlem mafsal, kendi düzlemine dik doğrultuda serbestçe dönmeye izin vermez ve ankastre gibi davranır. Bu sebeple dik yön için L_e = 0.5L alınır. Burkulma kontrolü dik yön için de ayrıca yapılmalıdır. (tablodaki tip 2 için olan L değeri düzlem mafsalın kendi düzlemi içindir.)

Küresel mafsal ve ankastre bağlantılar diğer yönlerde farklı bir sınırlandırma getirmez ve tablodaki L_e değerleri değişmez. Burkulma kesitin minimum asal atalet ekseni etrafında gerçekleşir. Bu durumlar ileride izah edilecektir.

Üst:

Alt:

Serbest

Ankastre

Küresel veya Düzlem Mafsal

Küresel veya Düzlem Mafsal

Küresel veya Düzlem Mafsal

Ankastre

Ankastre

Ankastre

Ankastre

Kayar

Ankastre

Ayrıca farklı sınır şartları için de benzer çözümler yapılarak P_kr ve σ_kr hesaplanabilir.

Burkulma ekseni: Burkulma sırasında kolonun etrafında dönmeye zorlandığı eksendir. Denklemlerdeki I burkulma eksenine göre atalet momentidir. Küresel mafsal ve ankastre bağlantılarda, kolon minimum asal atalet ekseni etrafında dönmek ister ve I = Imin olur. Düzlem mafsalda ise I değeri Imin dan farklı olabilir.

Şekil 11.15

Kolonların Burkulması -1/ Örnekli Konu Anlatımı

Denklemlerdeki L_e : etkin uzunluk olup, kolon tipine göre farklılık gösterir.

10

MUKAVEMET - Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor

11

23.08.2024

(Çünkü Euler formüllerinin dayanağını oluşturan elastik eğri benzeşimindeki 11.3 denkleminin çıkarımında Hooke bağıntısı kullanılmıştır.)

Euler

Malzemenin bası test diyagramı

orantı sınırı

Çubuğun geometrisine bağlı bir özelliği olup şu şekilde tanımlanır:

Bu durumda 11.6 kritik burkulma gerilmesi (genel euler denklemi),11.10 denklemindeki gibi ifade edilebilecektir:..>>

Dikkat: Euler formülleri (11.2 den 11.11 ‘e kadar olan tüm denklemleri) orantı sınırına kadar geçerlidir.

Orantı Sınırına kadar:

Şekil 11.16

Kolonların Burkulması -1/ Örnekli Konu Anlatımı

ve Narinlik oranının kritik değeri:

Orantı sınırında

MUKAVEMET - Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor

12

23.08.2024

11.9 Tetmajer Amprik Denklemi

Orantı Sınırı Aşıldığında:

Orantı sınırı aşıldığı zaman burkulma yükü hesaplarında deneysel verilerle elde edilmiş olan Tetmajer Amprik Denklemi (Denklem 11.12)kullanılır:

Tablo 11.2 Tetmajer Amprik Denklemi sabitleri

Niçin «Tetmajer doğrusu» denir?

Tetmajer denklemi 2nci dereceden olmasına rağmen Tablo 11.2 den görüleceği üzere c sabiti birçok malzeme için sıfırdır.

Bu sebeple Tetmajer denklemi genelde doğrusal olur ve bu sebeple tetmajer doğrusu da denilebilir.

Şekil 11.17

Kolonların Burkulması -1/ Örnekli Konu Anlatımı

Euler

Tetmajer

Malzemenin bası

Test diyagramı

orantı sınırı

Şekil 11.16

MUKAVEMET - Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor

13

23.08.2024

11.10. İlk Burkulma hangi eksende ortaya çıkar?

Şu ana kadar kolonun burkulmasını x-y düzlemi içerisinde inceledik ve z ekseni etrafında dönmeye çalışması şeklinde düşündük.

Ancak sınır şartları ve kiriş kesitine bağlı olarak kirişin ilk burkulması dik düzlemde ve y ekseni veya farklı bir eksen etrafında da çıkabilir.

Kritik burkulma yükünü tespit ederken bu durum mutlaka göz önüne alınmalı ve irdelenmelidir. Çünkü önemli olan kolonun ilk burkulduğu andaki P_kr yükünü bulmaktır.

Burkulma ekseni

Küresel Mafsal ve Ankastre bağlantılar, kirişi tüm yönlerde aynı şekilde sınırlar, yani bağlantı bölgesinde tüm yönlerde ötelenme veya dönme serbestlikleri aynıdır. Serbest uç için de aynı şeyler söylenebilir.

Bu durumda kendi kesitinin minimum asal atalet ekseni etrafında kolonun bir miktar dönmesiyle ilk burkulma gerçekleşir. Bu sınır şartları için daima I_min kullanılır ve etkin uzunluk daima küresel mafsal için L_e =L, ankastre için ise L_e=0.5L dir. Kesit geometrisine bağlı olarak I_min. hesaplanır.

11.10.1 Sınır Şartlarının Yöne Göre Değişmemesi Durumunda Burkulma Ekseni Tespiti (küresel mafsal, ankastre uç, serbest uç)

2 sınır şartı kategorisi için ilk burkulmanın ekseni tespiti farklılık gösterebilir:

Kolon kesiti alternatifleri (I-I kesimi)

Simetrik olmayan kesit

Simetrik kesit

Şekil 11.18

Şekil 11.19

(a)

(b)

Kolonların Burkulması -1/ Örnekli Konu Anlatımı

MUKAVEMET - Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor

14

23.08.2024

Aynı kolonun

farklı düzlemlerden görünüşleri

5.6 denkleminden:

kesit

11.10.2) Sınır Şartlarının Yöne Göre Değişmesi Durumunda Burkulma Ekseni Tespiti (Düzlemsel Mafsallar)

Bu durumda Önce x-y düzleminde yani z ekseni etrafında burkulma meydana gelecektir. O halde:

Burkulma ekseni: z

Burkulma ekseni: y

Şekil 11.20.a

Şekil 11.20.b

Kolonların Burkulması -1/ Örnekli Konu Anlatımı

olacaktır.

MUKAVEMET - Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor

15

23.08.2024

Aynı kolonun

farklı düzlemlerden görünüşü

11.10.3) Narinlik Oranından İlk Burkulma Eksenin Tespiti:

olur.

x-y düzleminde (z etrafında)burkulma oluşacaktır.

Şekil 11.21.a

Şekil 11.21.b

Kolonların Burkulması -1/ Örnekli Konu Anlatımı

11.8 denkleminden y ve z eksenlerindeki narinlik katsayılarını hesaplarsak:..>>

olur.

x-z düzleminde (y etrafında)burkulma oluşacaktır.

kesit

Yanda iki farklı görünüşü verilen kolon için,

MUKAVEMET - Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor

16

23.08.2024

11.11 Kolon Problemlerinde İzlenecek Yol Haritası:

1.Adım - Burkulma Yükü Tespiti:

1.2- Euler veya Tetmajer formüllerinden hangisini kullanılacağına karar verilir. 2 alternatif vardır:

1. Alternatif:

Narinlik oranlarının karşılaştırılması

,

ise

Euler kullanılır

ise

Tetmajer kullanılır

2. Alternatif:

1.4 – Bağlantı düzlem mafsal vb şekilde olup yöne bağlı sınır şartlarını değiştiriyorsa o yönlerdeki burkulma kontrolü de mutlaka yapılmalıdır.

2. Adım - Bası Yükü Tespiti:

Bası emniyetini aşmaya sebep olacak yük :

P_b-max =

hesaplanır.

3.Adım - Maksimum Yükün Tespiti:

P_cr ve P_b-max değerlerinden küçük olanı Kolonun Taşıyabileceği maksimum yük (P_max) değeridir.

1.1- Şekil 11.15 ve Tablo 11.1 den kolonun hangi tipe girdiği ve etkin uzunluğu ( L_e ) belirlenir.

Özel problemlerde bağlantıların serbestçe izin verdiği dönme ve ötelenmeler iyi analiz edilerek, hangi mesnet tipine uygun olduğu ve hangi kolon tipine girdiği doğru tespit edilmelidir. Bazı durumlarda kolonun tipi düzleme göre farklı yorumlanabilir. Ayrıca 2 den fazla bağlantı söz konusu ise burkulma modu şekil 11.6’ dan doğru tespit edilmelidir. Eğer kolonun tipi belirlenemiyorsa, , 11.6 konusundaki gibi burkulma formülü Euler kiriş benzeşimden hesaplanmalıdır.

Boyutları ve malzemesi belli bir kolonun taşıyabileceği eksenel bası yükü aşağıdaki adımlarla bulunur:

11.8 denkleminden mevcut durumdaki narinlik oranı belirlenir:

11.9 denkleminden orantı sınırındaki narinlik oranı belirlenir:

Denklem: 11.10

Denklem: 11.12

Kolonların Burkulması -1/ Örnekli Konu Anlatımı

4 aşaması vardır.

MUKAVEMET - Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor

17

23.08.2024

Örnek 11.2

Alt ucundan ankastre edilmiş kolonun işlevselliğini yitirmeden taşıyabileceği maksimum P yükünü hesaplayınız. Kolon malzemesi gevrek olup çeki-bası diyagramı aşağıda verilmiştir.

Bir ucu serbest, diğer ucu ankastre

1.Adım : Burkulma yükü (P_kr )tespiti

2. Alternatiften

Euler’i kullanabileceğimizi kabul edelim:

Çeki ve bası deneysel diyagramları

Çözüm:

11.11 maddesindeki yol haritası adımlarını takip edeceğiz:

1.1-)

1.2-)

Bu kolon Şekil 11.15 deki tiplerden

Tip 1 ‘e girer

Tablo 11.1’den etkin uzunluk

Euler’mi ; Tetmajer mi kullanılmalıdır?

Kolonların Burkulması -1/ Örnekli Konu Anlatımı

Kesitin minimum atalet momenti

Soruda verilen diyagramın bası bölgesine dikkat edilirse, orantı sınırındaki gerilme:

bası akma gerilmesi

(Burkulmada bası kuvvetleri ve gerilmeleri pozitif işaretli düşünülür.)

(Denklem: 11.10’dan burkulma gerilmesi)

Elastiklik modülü ( E) hesabı:

(a)

Şekil 11.22

(b)

Şekil 11.23

MUKAVEMET - Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor

18

23.08.2024

1.3-)

2.Adım :

Max. Yük tespiti:

1.4-)

Sınır şartlarını yöne bağlı değiştiren bir bağlantı ( düzlem mafsal gibi ) yoktur.

Burkulma yükü:

Kolonların Burkulması -1/ Örnekli Konu Anlatımı

Bası yükü:

3.Adım:

Örnek 11.3

MUKAVEMET - Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor

19

23.08.2024

(Gerekli olursa) Tetmajer Denklemi:

Kolonların Burkulması-2 / Örnek Problemler

etkin uzunluk

1.1) Kolon tipi (bknz: konu 11.7)

Bir ucu serbest, diğer ucu ankastre:

Çözüm:

1.Adım) Burkulma yükü (P_kr )tespiti

Tablo 11.1 den

1.2) Euler mi, tetmajer mi kullanılmalı?

1nci alternatiften gidelim:

Kesit simetrik değildir. Kolon minimum asal atalet ekseni etrafında dönmek ister.

Narinlik oranını hesaplamalıyız:

Şekildeki ahşap kolonun emniyet katsayısı e = 3 olacak şekilde, taşıyabileceği P yükünü hesaplayınız.

11.11 maddesinde anlatılan yol haritasını takip ediyoruz.

Şekil 11.24

(a)

(b)

Şekil 11.25

Şekil 11.26

MUKAVEMET II- Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor

20

23.08.2024

Kolonların Burkulması-2 / Örnek Problemler

O halde önce burkulma oluşur.

Narinlik oranı:

olduğundan Tetmajer kullanılmalıdır.

Soruda verilen Tetmajer denkleminden burkulma anındaki gerilme:

Orantı sınırındaki gerilme

Euler Hiperbolü denkleminden bulunabilir:

1.3)

Kritik Burkulma Yükü:

Emniyetli Burkulma Yükü:

(Emniyet sınırları içinde uygulanabilecek max. Kuvvet)

Yol haritasındaki diğer adımları yapmaya gerek kalmamıştır.

Şekil 11.27

MUKAVEMET - Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor

21

23.08.2024

Kolonların Burkulması-2 / Örnek Problemler

Bası mukavemeti açısından önce incelersek;

Örnek 11.4

Çözüm:

Tüpün bir mesnetlenmesi yoktur. Bu durumda hangi tipe sokabiliriz?

• Bu yükleme durumu için, her iki uç, tüm yönlerde dönebilir.
• Her iki uçta da bir eğim açısı olması söz konusudur.
• Yükleme ve sınır şartları simetriktir ve orta eksene göre simetrik bir burkulma beklenir.
• Tüm bu durumları ise Tablo 11.1’deki tiplerden 2 numaralı tipin küresel mafsal durumuyla sağlanır:

L_e=L

Tip 2

1.1- Kolon tipinin ve etkin uzunluğun tespiti:

Burkulma yükü (P_kr )tespiti

11.11 maddesindeki yol haritasındaki adımları takip edeceğiz.

Şekil 11.28

Şekil 11.29

Malzemeyi akma sınırına eriştirecek bası kuvveti

MUKAVEMET - Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor

22

23.08.2024

Kolonların Burkulması-2 / Örnek Problemler

1.3 ) Burkulma yükü :

Çelik sünek bir malzemedir ve sünek malzemelerin bası ve çekideki akma gerilmesi eşittir:

olduğundan önce burkulma oluşacağını söyleyebiliriz.

Veya yükler açısından kıyaslama yaparsak:

2. alternatif’ten gidersek

1.2 ) Euler’i mi Tetmajer ‘i kullanmalıyız?

Euler’i kullanacağımızı kabul ediyoruz:

Orantı Sınırındaki gerilme:

alınabilir.

MUKAVEMET - Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor

23

23.08.2024

ÖRNEK 11.5

Şekilde görülen AC çelik çubuğu , sürtünmesiz tekerleklerle B noktasından desteklenmiş ve P yüküne maruz bırakılmıştır. Tekerlekler şekil düzlemine dik y doğrultusunda dönebilirler. A ve C de ise küresel mafsallar mevcuttur. Sistemin burkulma emniyet katsayısını e=2.5 alarak emniyetle taşınabilecek P kuvvetini hesaplayınız.

x-z düzleminde (y ekseni etrafında)burkulma:

Çözüm:

B mesneti ise bu düzlemde şekil değiştirmeye etki eder, (z yönünde deplasmanı engeller.) Ve kiriş 11.6.b şeklindeki gibi burkulur. Bu sebeple burkulma modu bu düzlemde n =2 dir.

Sadece A ve C küresel mafsalları var kabul edilirse kolon tipi 2 dir. (bknz: Şekil 11.15, tablo 11.1)

Tip 2

mod2

n=2 modundaki emniyetli burkulma yükü (Denk. 11.2 ‘den):

Etkin uzunluk (tablo .11.1den)

Atalet yariçapı (Denk. 11.9dan)

Narinlik oranı (Denk. 11.8den)

Kolonların Burkulması-2 / Örnek Problemler

Şekil 11.30.a

Şekil 11.30.b

Şekil 11.31

MUKAVEMET - Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor

24

23.08.2024

Tip 2

Mod 1

x-y düzleminde (z ekseni etrafında)burkulma:

Yine sadece A ve C küresel mafsallarının varlığı kabul edilirse, bu bağlantıları tüm düzlemlerde etkileri aynı olduğundan kolon tipi yine 2 dir.

B mesnetinin şekline dikkat edilirse ve tekerleklerin de sürtünmesiz olduğunu göze alırsak, B mesneti bu düzlemde şekil değiştirmeye etki etmeyeceğini görebiliriz. (y yönünde deplasmana izin verdiği için sanki bu düzlemde B mesneti yok kabul edilebilir). Burkulma modu bu düzlemde n =1 dir.

Çubuğun taşıyabileceği emniyetli yük

Emniyetli bası yükü:

Kolonların Burkulması-2 / Örnek Problemler

Emniyetli burkulma yükü (Denk. 11.2 ‘den):

bulunmuştu.

Şekil 11.32

Etkin uzunluk

(tablo .11.1den):

Atalet yariçapı

(Denk. 11.9dan):

Narinlik oranı (Denk. 11.8den)

MUKAVEMET - Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor

25

23.08.2024

L= 1.5 m , a= 0.5 m ,

b= 60 mm, h= 80 mm, s= 8 mm, t= 6 mm

B ucundan sabit düzlem mafsala bağlı olan BC kirişi, C ucundan bir AC düşey kolonu ile desteklenmiştir ve kirişe F düşey kuvveti uygulanmıştır. AC kolonunun emniyetini bası ve burkulma açısından kontrol ediniz ve burkulma emniyet katsayısını belirleyiniz.

(Tüm bağlantılar düzlem mafsal özelliği göstermektedir. B mafsalı x-z, A ve C mafsalları ise x-y düzlemindedir.)

Kolonların Burkulması-2 / Örnek Problemler

ÖRNEK 11.6

Çözüm..>>

Verilenler:

Şekil 11.33

Şekil 11.34

MUKAVEMET - Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor

26

23.08.2024

Statik analizden, AC çubuğuna gelen eksenel bası kuvvetini hesaplayalım:

Kolonların Burkulması-2 / Örnek Problemler

Çözüm: 11.6

11.11 maddesindeki yol haritasını takip edelim:

1. Adım – AC çubuğu için Burkulma Yükü tespiti

Bu mafsallar z ekseni etrafında dönmeye izin verirler.

tablo 11.1 den bu tip için etkin uzunluk L_e-z=L =1.5m dir

1.1) Çubuk hangi kolon tipine girer? Etkin uzunluk nedir?

x-y düzleminde inceleme

Tip 2

x-z düzleminde inceleme

Üst ve alt bağlantı y ekseni etrafında dönmeye izin vermez (ankastre). Üst uç x yönünde harekete izin verir, çubuğun alt ve üst uçları sabittir.

Sorudaki şekil incelenirse:

üst uç: kayar düzlem mafsal,

alt uç: sabit düzlem mafsal gibi davranır.

Bu sebeple bu düzlem için kolon Tip 2’ye girer. (bknz: konu 11.7)

Bu sebeple bu düzlemde çubuk Tip 4’e girer.

tablo 11.1 den bu tip için

etkin uzunluk L_e-y=0.5L =0.75m dir

Şekil 11.35

Şekil 11.36

Şekil 11.37

Şekil 11.39

Şekil 11.38

MUKAVEMET - Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor

27

23.08.2024

• b= 60 mm , s= 8 mm , h= 80 mm , t= 6 mm

​

​

​

olduğundan ilk burkulma z ekseni etrafında (x-y düzleminde) oluşur.

Kolonların Burkulması-2 / Örnek Problemler

1.2)Burkulma açısından euler veya tetmajer formüllerinden hangisini kullanacağız?

1.Alternatifi kullanırsak:

Orantı sınırındaki narinlik oranı:

Farklı burkulma tipleri olduğundan narinlik oranlarını her iki düzlem içinde belirmemiz gerekir.

Tetmajer bölgesi için sağlama:

sağlanıyor.

2.Alternatif ile Euler veya Tetmajer’in hangisinin kullanılacağının tespiti şöyle de yapılabilirdi:

olduğundan Euler kullanılamaz, O halde Tetmajeri kullanmamız gerekir

(11.11 denkleminden)

Şekil 11.40

MUKAVEMET - Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor

28

23.08.2024

Bası açısından da EMNİYETLİ

Kritik burkulma yükü:

Burkulma Kontrolü:

O halde burkulma olmaz.

Burkulma olmaz ama Bası emniyeti aşılmış olabilir mi?

Mevcut gerilme :

Bası emniyet gerilmesi:

verilmişti

Kolonların Burkulması-2 / Örnek Problemler

Burkulma için emniyet katsayısı :

Şekil 11.41

Örnek 11.8

MUKAVEMET - Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor

29

23.08.2024

Kolonların Burkulması-2 / Örnek Problemler

Şekilde görülen iki ucu ankastre T kesitli çubuk için Euler bölgesinde burkulma emniyet katsayısının 2 olması istendiğine göre çubuğun ne kadar ısıtılabileceğini (sıcaklığının ne kadar arttırılabileceğini) hesaplayınız.

Dikdörtgen kesitli L uzunluğunda alüminyum çubuk B de ankastre olarak mesnetlenmiştir. Çubuğun A bağlantısı z ve y etrafında dönmeye ve z yönünde ötelenmeye izin verir, fakat y yönünde ötelenmeyi engeller. Buna göre;

Örnek11.9

Her iki düzlemde (x-y ve x-z düzlemlerinde) burkulma yüklerinin eşit olması için a/b oranı ne olmalıdır?

Şekil 11.42

(a)

(b)

Şekil 11.43