Геометрія� 8 клас�

Чотирикутники:

• Паралелограм
• Прямокутник
• Ромб
• Квадрат
• Трапеція
• Вписані й описані чотирикутники �� � �

​

Чотирикутником називається фігура, яка складається з чотирьох точок і чотирьох відрізків, що послідовно їх сполучають. При цьому жодні три з даних точок не повинні лежати на одній прямій, а відрізки, які їх сполучають, не повинні перетинатися. Дані точки називаються вершинами чотирикутника, а відрізки, що їх сполучають,— сторонами чотирикутника.

​

​

Вершини чотирикутника називаються сусідніми , якщо вони є кінцями однієї з його сторін. Несусідні вершини називаються протилежними. Відрізки, що сполучають протилежні вершини чотирикутника, називаються діагоналями.

D

В

С

A

� A� D �� �  ��

• Сторони чотирикутника, що виходять з однієї вершини, називаються сусідніми сторонами.
• Сторони, які не мають спільного кінця, називаються протилежними сторонами.
• Периметр чотирикутника — сума довжин усіх його сторін.

P=(a+b)2, де a і b – сторони чотирикутника

​

• Чотирикутник називається опуклим, ­якщо він лежить в одній півплощині відносно будь-якої прямої, що містить його сторону.�На рисунку нижче зліва ABCD — опуклий чотирикутник; AC, BD — його діагоналі. На рисунку справа KMNP — неопуклий чотирикутник; KN, MP — його діагоналі.��

​

​

​

​

​

• Сума кутів чотирикутника дорівнює 360° .

Паралелограм

• Паралелограм — це чотирикутник, у якого протилежні сторони паралельні.� На рисунку ABCD — паралелограм.

​

AB ΙΙ DC;

BC II AD.

​

Властивості паралелограма

• Теорема 1. У паралелограма

протилежні сторони рівні,

протилежні кути рівні.

АВ=СD, BC=AD

<A=<C, <B= <D

Теорема 2. У паралелограмі кути, прилеглі до однієї сторони, в сумі

дорівнюють :

< A+ <B=180 °, <A+ <D=180 °,

<B+ <C=180 °, <C+ <D=180 °

Теорема 3. Діагоналі паралелограма перетинаються й у точці перетину

діляться навпіл.

BO=OD, AO=OC

�

Властивості паралелограма�Теорема 4. Діагональ паралелограма поділяє його на два рівні трикутники.

На рисунку нижче зліва ABC = CDA

На рисунку справа ABD = CDB

​

�

​

​

Властивості паралелограма

• Теорема 5. Діагоналі паралелограма розбивають його на дві пари рівних трикутників.

��На рисунку

AOB = COD,

BOC = DOA

Ознаки паралелограма

• Теорема 1. Якщо діагоналі чотирикутника перетинаються й у точці перетину діляться навпіл, то цей чотирикутник — паралелограм.�Теорема 2. Якщо в чотирикутнику дві сторони паралельні й рівні, то цей чотирикутник — паралелограм.�Теорема 3. Якщо в чотирикутнику протилежні сторони рівні, то цей чотирикутник — паралелограм.�Теорема 4. Якщо в чотирикутнику протилежні кути рівні, то цей чотирикутник — паралелограм.�Теорема 5. Якщо в чотирикутнику кути, що є прилеглими до кожної із сторін, у сумі дорівнюють , то цей чотирикутник — паралелограм.�Теорема 6. Якщо кожна діагональ поділяє чотирикутник на два рівні трикутники, то цей чотирикутник — паралелограм.

Кут між висотами паралелограма

• Висота паралелограма — це відрізок, перпендикулярний до протилежних сторін паралелограма з кінцями на цих сторонах.�На рисунку h₁ I h₂— висоти паралелограмa.

​

• Найчастіше висоти опускають із вершин паралелограма. Із кожної вершини паралелограма можна провести дві висоти. Кут між ними дорівнюватиме куту паралелограма при сусідній вершині.

​

-----кут між висотами

паралелограма, опущеними з

тупого кута,

​

----------кут між висотами,опущеними

з гострого кута

​

​

​

​

​

​

Властивості бісектрис �кутів паралелограма� 1. Бісектриси сусідніх кутів �паралелограма перпендикулярні.�2. Бісектриси протилежних кутів паралелограма паралельні або збігаються (якщо паралелограм — ромб).�3. Бісектриса кута паралелограма відокремлює від нього рівнобедрений трикутник.�На рисунку BM II KD; DM II AP;� - рівнобедрений; AB=BP; KCD — рівнобедрений, CK=CD .

• Чотирикутник, що утворився при перетині бісектрис кутів паралелограма,— прямокутник. Якщо через точку перетину діагоналей паралелограма проведено пряму, то відрізок цієї прямої, який розташований між паралельними сторонами, ділиться в цій точці навпіл:

​

​

Прямокутник

Прямокутник — це паралелограм, у якого всі кути прямі.

​

�����������Оскільки прямокутник є паралелограмом, він має всі властивості паралелограма і ще деякі інші.�Теорема. Діагоналі прямокутника рівні.�На рисунку AO=OC=BO=OD. AC=BD .�AOB= COD ; BOC= DOA — рівнобедрені.�

Ознаки прямокутника

• Теорема 1. Якщо в чотирикутнику всі кути рівні, то він є прямокутником.�Теорема 2. Якщо в чотирикутнику є три прямі кути, то він є прямокутником.�Теорема 3. Якщо в паралелограмі є прямий кут, то паралелограм є прямокутником.�Теорема 4. Якщо в паралелограмі діагоналі рівні, то він є прямокутником.

Ромб

• Ромб — це паралелограм, у якого всі сторони рівні.

​

Властивості ромба

Оскільки ромб є паралелограмом, він має всі властивості паралелограма і деякі інші.�Теорема 1. Діагоналі ромба перетинаються під прямим кутом. Діагоналі ромба є бісектрисами його кутів.�На рисунку ABCD — ромб;�AB=BC=CD=DA; AC BD;�<ABO=<CBO=<ADO<=CDO;

<BAO=<DAO=<BCO=<DCO;� KO=ON

Властивості ромба

Теорема 2. Діагоналі ромба розбивають його на чотири рівні прямокутні трикутники.�Теорема 3. Висоти ромба рівні:

​

Ознаки ромба

Теорема 1. Якщо в чотирикутнику всі сторони рівні, то він є ромбом.�Теорема 2. Якщо в паралелограмі сусідні сторони рівні, то він є ромбом.�Теорема 3. Якщо в паралелограмі діагоналі перпендикулярні, то він є ромбом.�Теорема 4. Якщо в паралелограмі діагональ є бісектрисою кута, то паралелограм є ромбом.

Квадрат

Квадрат — це прямокутник, у якого всі сторони рівні.

A B

​

​

​

D C

Властивості квадрата

Оскільки квадрат є паралелограмом, прямокутником і ромбом водночас, маємо:�1) у квадрата всі сторони рівні;�2) у квадрата всі кути рівні;�3) діагоналі квадрата рівні, перетинаються під прямим кутом, діляться в точці перетину навпіл, є бісектрисами його кутів;

Властивості квадрата

4) діагоналі квадрата ділять його на чотири рівні рівнобедрені прямокутні трикут­ники.�На рисунку ABCD — квадрат.

AB = BC =CD=AD;

<A=<B=<C=<D; AC=BD ;

AOB= BOC= COD= AOD.

Ознаки квадрата

Теорема 1. Якщо в чотирикутника всі сторони і всі кути рівні, то він є квадратом.�Теорема 2. Якщо діагоналі прямокутника перетинаються під прямим кутом, то він є квадратом.�Теорема 3. Якщо діагоналі ромба рівні, то він є квадратом.

Трапеція

• Трапецією називається чотирикутник, у якого тільки дві протилежні сторони паралельні. Ці сторони називаються основами трапеції, а дві інші — бічними сторонами.
• Трапеція, в якої бічні сторони рівні, називається рівнобічною (див. рисунок нижче зліва). Якщо одна з бічних сторін трапеції перпендикулярна до основ, трапеція називається прямокутною (рисунок нижче справа).
• �

• Теорема 1. Кути трапеції, які прилеглі до однієї бічної сторони, у сумі дорівнюють 180° �Відрізок, що сполучає середини бічних сторін трапеції, називається середньою лінією трапеції.�Теорема 2. Середня лінія трапеції паралельна основам і дорівнює їх півсумі.�Зверніть увагу: середня лінія не проходить через точку перетину діагоналей трапеції.

​

​

Рисунок 1��Висотою трапеції називається відрізок прямої, перпендикулярної до основ трапеції з кінцями на основах трапеції. Найчастіше висоту проводять через вершини верхньої основи або через точку перетину діагоналей (рисунок 1). Усі висоти трапеції рівні між собою.�Бісектриса кута трапеції, якщо вона перетинає основу трапеції, відтинає від неї рівнобедрений трикутник (рисунок 2). Рисунок 2

Властивості рівнобічної трапеції

• 1. У рівнобічній трапеції кути при основах рівні (рисунок нижче зліва).�2. У рівнобічній трапеції діагоналі рівні.�3. У рівнобічній трапеції діагоналі створюють з основою рівні кути.�4. У рівнобічній трапеції діагоналі, перетинаючись, утворюють два рівнобедрені трикутники, основами яких є основи трапеції (рисунок справа).

​

​

Додаткові побудови,� що використовуються для розв’язування задач на трапецію

• На рисунку AN+MD=AD-BC; MN=BC;

BCMN — прямокутник.

Додаткові побудови, що використовуються для розв’язування задач на трапецію

​

​

​

​

​

Зверніть увагу: якщо AB=CD, то

Додаткові побудови, що використовуються для розв’язування задач на трапецію

​

2) На рисунку CF II AB; ABCF — паралелограм. <CFD=<A; <DCF=<BCD - <A;

FD=AD-BC.

Додаткові побудови, що використовуються для розв’язування задач на трапецію

3) На рисунку CK II BD; BCKD — паралелограм. BC=DK . Сторони ACK: AK=AD+BC; CK=BD .

​

​

​

​

​

​

Висота CF ACK збігається з висотою трапеції. Якщо трапеція ABCD рівнобічна, то ACK — рівнобедрений.

Вписані й описані чотирикутники

Теорема 1. Навколо чотирикутника можна описати коло тоді й тільки тоді, коли сума його протилежних кутів дорівнює 180° .�

На рисунку .�

• Із цього випливає, що коло можна описати навколо прямокутника (рисунок нижче зліва), зокрема квадрата (рисунок справа), його центром буде точка перетину його діагоналей. Радіус — половина діагоналі.�

Коло можна описати навколо трапеції тоді й тільки тоді, коли вона є рівнобічною (див. рисунок). Центром кола є точка перетину середніх перпендикулярів до сторін. Навколо паралелограма та трапеції загального виду описати коло не можна. (Зокрема, навколо ромба не можна описати коло.)

Теорема 2. Чотирикутник тоді й тільки тоді можна описати навколо кола, якщо суми його протилежних сторін дорівнюють одна ­ одній.�На рисунку

Отже, коло можна вписати в ромб (зокрема у квадрат), але не можна в прямокутник або паралелограм загального виду.�Центр кола, вписаного в ромб, є точкою перетину діагоналей (рисунок нижче зліва). Радіус кола дорівнює половині висоти ромба, а у квадраті — половині сторони (рисунок справа).

​

​

​

​

​

​

Зверніть увагу: радіус вписаного в ромб кола (ON) — це висота прямокутного трикутника BOC, яка проведена з вершини прямого кута і має всі властивості висоти прямокутного трикутника, що проведена з вершини прямого кута.

​

​

​

• Теорема 3. Трапецію тоді й тільки тоді можна описати навколо кола, коли сума її основ дорівнює сумі бічних сторін (рисунок нижче зліва). Центр цього кола — точка перетину бісектрис кутів трапеції. Радіус дорівнює половині висоти трапеції. У випадку рівнобічної трапеції центр вписаного кола лежить на середині висоти трапеції, яка проходить через середини основ (рисунок справа). Бічна сторона трапеції у цьому випадку дорівнює її середній лінії.

​

​

​

​

​

�

До нових зустрічей!

Сподіваюся, ви запам'ятали

сьоднішній урок за темою:

“Чотирикутники”