3.3 Probabilidad condicional

• Independencia de eventos
• Probabilidad total
• Teorema de Bayes

Probabilidad condicional

• Si A y B son dos eventos en S y , la probabilidad condicional de A con respecto a B está dada por

Demostración

• Refiriéndose al ejemplo de los alumnos del 4º semestre de probabilidad. De los 18 alumnos algunos hablan inglés, y otros francés. Suponiendo que haya probabilidades iguales en la selección de alguno de los alumnos, puede verse que la probabilidad de escoger un alumno que hable francés es:
• P (B)=(6+2)/18=8/18=4/9

Diagrama de Venn

• Ahora vemos la probabilidad de seleccionar a los alumnos que hablan francés con respecto a los que hablan inglés. Queda el siguiente espacio muestral reducido

S

• Suponiendo que cada alumno tiene la misma probabilidad de ser seleccionado.

S

6

4

A

B

• Entonces la probabilidad de seleccionar a un alumno que hable francés aumenta de 4/9 a 3/5. Si se divide el numerador y el denominador de la fórmula para P (B/A) por N (S), obtenemos

• Es decir la P (B/A) está dada por el cociente de
• y P (A).

​

• Con respecto al espacio muestral completo S tenemos que

• O sea, las probabilidades de que los alumnos escogidos hablen o no francés, considerando que hablan inglés estarán en la razón de 3 a 2.
• Por otra parte las probabilidades de B y B’ en el espacio muestral reducido deben sumar 1, entonces

• Esto concuerda con el resultado obtenido antes, ya que al dividir entre P (A) se considera el factor de proporcionalidad, el cual hace que la suma de probabilidad sobre el espacio muestral reducido sea igual a 1

Ejemplo

• Si la probabilidad de que un proyecto de investigación esté bien planeado es 0.80 y la probabilidad de que será bien planeado y ejecutado es 0.72. ¿Cuál es la probabilidad de que un proyecto de investigación bien planeado esté bien ejecutado?

Solución

Problema

• Si la probabilidad de que el proyecto de investigación será bien ejecutado es 0.75 ¿Cuál es la probabilidad de que el proyecto haya sido bien planeado si está bien ejecutado?

Solución

Ejercicio

A

B

C

0.24

0.06

0.04

0.16

0.11

0.19

0.09

0.11

Ejercicio

• De acuerdo al esquema anterior, puede demostrarse que, para tres eventos A, B, y C cualesquiera, la probabilidad de que al menos uno de ellos ocurra es dada por

Ejercicio

• En relación con el diagrama de Venn anterior, encuentra:

Solución

1. 0.25
2. 0.5
3. 0.1
4. 0.78
5. 0.4
6. 0.267
7. 0.267
8. 0.062

Regla general de multiplicación

• Teorema 2.8 Si A y B son eventos en S, entonces

​

​

​

​

​

​

• Estas fórmulas se obtienen despejando de la fórmula de la probabilidad condicional

Ejemplo

• En una encuesta realizada en un grupo de 30 personas sobre la puesta en marcha de una nueva ruta de transporte colectivo; se seleccionaron dos de las entrevistas al azar. Si 18 personas están a favor de la colocación de la ruta y las restantes (12) en contra. ¿Cuál es la probabilidad de que las dos encuestas seleccionadas, estén en contra de la nueva ruta?

Solución

• Considerando que las probabilidades son iguales para cada elección, la probabilidad de que la 1ª entrevista esté en contra de la ruta es de 12/30 y la probabilidad de que la segunda entrevista esté en contra considerando que la primera ya esta en contra son de 11/29, por consiguiente la probabilidad buscada es de:
• 12/30*11/29=132/870=66/435
• En el caso especial de que A y B sean independientes

Regla especial de multiplicación

• Teorema 2.9 Si A y B son eventos independientes, entonces

​

​

• Esto es, la probabilidad de que dos eventos independientes ocurran a la vez es simplemente el producto de sus probabilidades y esta regla nos sirve para verificar si dos eventos son independientes

Problema

• Encuentra las probabilidades de obtener
• Ocho veces consecutivas el mismo lado en una moneda balanceada.
• Tres veces 3 y entonces un 4 ó 5 si se arroja 4 veces un dado legal;
• Cinco preguntas de elección múltiple contestadas correctamente, si para cada pregunta la probabilidad de acertar en la respuesta es 1/3.

Solución

• Como la probabilidad de cada lado es ½, y es independiente un resultado del anterior, entonces la probabilidad de ocho caras es ½*½*½*½*½*½*½*½=1/256
• La probabilidad de obtener 3 veces 3 es: 1/6*1/6*1/6=1/216, la probabilidad de obtener 4 ó 5=1/6+1/6=1/3 y como el resultado de cada lanzamiento es independiente del anterior, la probabilidad pedida es (1/216)*(1/3)=1/648

3. Considerando que la respuesta acertada en cada pregunta es independiente de la anterior e igual a 1/3, la probabilidad pedida es:

1/3*1/3*1/3*1/3*1/3=1/243

Regla de eliminación o regla de probabilidad total

• Teorema 2.10 Si B1, B2, …, Bn son eventos mutuamente excluyentes, uno de los cuales debe ocurrir, entonces

Demostración

• Una empresa de asesoría alquila autos de tres agencias: 20% de la agencia D, 20% de la agencia E y 60% de la agencia F. Si 10% de los autos de la agencia D, 12% de los provenientes de E y 4% de los autos de F tienen neumáticos en mal estado, ¿Cuál es la probabilidad de que la empresa contrate un auto con neumáticos en mal estado?

Solución

• Si A denota el evento de que un auto alquilado por la empresa de asesoría tiene neumáticos en mal estado, y si D, E y F son los eventos que provienen de sus respectivos proveedores, podemos escribir.

0.20

• Es conveniente representar este resultado con un diagrama de árbol, donde la probabilidad del resultado final se expresa como la suma de los productos de las probabilidades a cada rama de árbol

0.02

0.024

0.024

0.068

Diagrama de árbol para la regla de eliminación

P (B1)

P (B2)

P (Bn)

B1

B2

Bn

P (A/B1)

A

A

A

P (A/B2)

P (A/Bn)

• Consideremos ahora que deseamos conocer la probabilidad de que un auto con neumáticos en mal estado, provenga del proveedor F (B3). Simbólicamente queremos conocer el valor de P (B3/A) y se representa

• La cual expresa P (B3/A) en términos de probabilidades conocidas.
• Sustituyendo los datos del problema de los neumáticos en mal estado, obtenemos:
• P (B3/A)=(0.60*0.04)/((0.2)(0.1)+(0.2)(0.12)+(0.6)(0.04)
• =0.353

• Es notable que la probabilidad de que un auto sea proporcionado por B3 (F) disminuye 0.6 a 0.353m una vez que se sabe que tiene los neumáticos en mal estado.
• Si se generaliza el ejemplo anterior se obtiene la siguiente fórmula.

​

Teorema de Bayes

• Teorema 2.11 Si B1, B2, …, Bn son eventos mutuamente excluyentes de los cuales uno debe ocurrir, entonces

• La expresión en el numerador es la probabilidad de llegar a A por la i-ésima rama del árbol y que la expresión en el denominador es la suma de las probabilidades de llegar a A por la n ramas del árbol.

Ejemplo

• Los 4 ayudantes de una gasolinería deben limpiar el parabrisas de los autos de los clientes. Juan quien atiende el 20% de todos los autos, no cumple con su cometido una vez cada 20 autos; Tomás quien atiende el 60% de los autos, no limpia el parabrisas una vez cada 10 autos; Jorge quien atiende el 15% de ellos, no cumple su cometido una vez cada 10 autos; y Pedro quien atiende el 5% de los autos, no limpia el parabrisas una vez cada 20 autos.

• Si un cliente se queja de que su parabrisas no fue lavado. ¿Cuál es la probabilidad de que su auto lo haya atendido Juan.

De acuerdo al teorema de Bayes.

Problema 2.84

• En relación con el ejemplo anterior, determina las probabilidades de:
• Tomás
• Jorge
• Pedro.

Solución

• El teorema de Bayes proporciona una fórmula para calculara las probabilidades de que “el efecto” Afue causado por el evento Br.
• Las probabilidades P (B i) se denominan como las probabilidades previas o a priori de las causas B i.

Ejemplo

• ¿Cuál es la probabilidad de obtener un 2, 3 y 4 o sea B={2, 3, 4}, ya que ha ocurrido que en los primeros tres lanzamientos de un dado, el resultado ha sido par?

Ejercicios para los alumnos

• Si las probabilidades son 0.58, 0.25 y 0.19 de que una persona invierta en bonos del mercado de valores, en acciones o ambos, calcula las probabilidades de que en tal gama de opciones
• A) el que invierta en bonos también invierta en acciones.
• B) el que invierta en acciones también invertirá en bonos.

Ejercicios

• Dados P (A)=0.50, P (B)=0.30 y
• P (A B)=0.15, verifica que,
• P (A/ B)= P (A)
• P (A / B’)= P (A)
• P (B/A)= P (B)
• P (B / A’)= P (B)

Ejercicios

• Entre las 24 facturas preparadas por un departamento de ventas, 4 contienen errores, mientras las otras no. Si aleatoriamente revisamos 2 de ellas, ¿cuáles son las probabilidades de que
• Ambas contengan errores
• Ninguna contenga error?

Ejercicios

• Si los eventos A y B son independientes y
• P (A)=0.25 y P (B)=0.40, encuentra
• P (A B)
• P ( A /B);
• P (A U B);
• P (A’ B’).

Ejercicios

• En una planta de artículos electrónicos, se sabe por experiencia que la probabilidad es de 0.86 e que un nuevo trabajador que haya asistido al programa de capacitación de la compañía conocerá la cuota de producción y que la probabilidad correspondiente es 0.35 para otro que no haya asistido al programa de capacitación. Si el 80% de todos los empleados de ingreso reciente asisten al programa, ¿cuál es la probabilidad de que un nuevo empleado conozca la cuota de producción?