1

16.07.2026

KOMPOZİTLERDE

HOOKE ve

DÖNÜŞÜM BAĞINTILARI

(ORTOTROPİK BİR TABAKADA GERİLME-ŞEKİL DEĞİŞTİRME HESAPLAMALARI)

6.

(Video 6 .)

Kompozit Malzeme Mekaniği-Ders Notları-Prof.Dr.Mehmet Zor

2

16.07.2026

6.1 Bu bölümde amacımız: Ortotropik özellik gösteren kompozit bir levhada, global eksenlerdeki gerilmeleri ve şekil değiştirmeleri hesaplamamızı sağlayan Hooke ve dönüşüm bağıntılarını elde etmektir. İnceleme, düzlem gerilme durumu için yapılacak olup, kompozit tabakanın lokal eksenlere göre mekanik özellikleri (E₁ , E₂ , ν₁₂ , G₁₂ ) biliniyor kabul edilecektir. Konu içinde ayrıca örnekler çözülecektir.

1-2: lokal eksen takımı, x-y: global eksen takımı

6. Kompozitlerde Hooke ve Dönüşüm Bağıntıları (Tek Tabakada Gerilme-Şekil Değiştirme Hesaplamaları)

Kompozit Malzeme Mekaniği-Ders Notları-Prof.Dr.Mehmet Zor

θ: Fiber yönlendirme açısı,

3

16.07.2026

Ortotropik bir tabaka için 1-2 (lokal) eksenlerine göre gerilmelerle-şekil değiştirmeler arasındaki bağıntılar (yani Hooke bağıntıları) yanda tekrar yazılmıştır. (2nci konuda anlatılmıştı)

veya

6.2 Lokal Koordinatlarda Hooke Bağıntılarını Hatırlayalım:

,

,

,

,

,

,

,

Denklem 2.17 den;

Not: 2nci konuda geçen [C] matrisi burada [Q] ile ifade edilmiştir. [C] = [Q]

Kompozit Malzeme Mekaniği-Ders Notları-Prof.Dr.Mehmet Zor

6. Kompozitlerde Hooke ve Dönüşüm Bağıntıları (Tek Tabakada Gerilme-Şekil Değiştirme Hesaplamaları)

4

16.07.2026

x-y global eksen takımına göre gerilmeler ile şekil değiştirmeler arasındaki Hooke bağıntıları ise şu şekilde ifade edilebilir:

6.3 Global Koordinatlarda Hooke Bağıntılarının Çıkarılması:

(6.1)

(6.2)

Kompozit Malzeme Mekaniği-Ders Notları-Prof.Dr.Mehmet Zor

6. Kompozitlerde Hooke ve Dönüşüm Bağıntıları (Tek Tabakada Gerilme-Şekil Değiştirme Hesaplamaları)

Püf Noktası 4:Hooke bağıntıları x-y global eksenlere göre aranmasına rağmen, malzeme özellikleri 1-2 lokal eksenlere göre bilinmektedir.

5

16.07.2026

Gerinme (Şekil Değiştirme)

Dönüşüm Bağıntıları:

Gerilme Dönüşüm Bağıntıları:

Şimdi amacımıza ulaşmak için hesaplarımıza devam ediyoruz:

( Bu denklemler statik dengeden elde edilmektedir ve malzeme özelliklerine bağlı değildir. Tüm malzeme tipleri için geçerlidir. Mukavemet dersinde gösterilmektedir.)

(6.3a-c)

(6.4a-c)

(a)

(b)

(c)

(a)

(b)

(c)

Kompozit Malzeme Mekaniği-Ders Notları-Prof.Dr.Mehmet Zor

6. Kompozitlerde Hooke ve Dönüşüm Bağıntıları (Tek Tabakada Gerilme-Şekil Değiştirme Hesaplamaları)

Ortotropik bir tabaka için:

6

16.07.2026

Bu durumda 6.3 denklemleriden gerilme dönüşüm bağıntıları 1-2 yönleri için yazılırsa:

Şimdi bu denklemleri matris formatında yazacağız:

6.5 denklemlerini matris formatinda artık şu şekilde yazabiliriz:

(6.5a-c)

(6.6)

(6.7)

Bir [T] dönüşüm matrisi tanımlarız:

Kompozit Malzeme Mekaniği-Ders Notları-Prof.Dr.Mehmet Zor

6. Kompozitlerde Hooke ve Dönüşüm Bağıntıları (Tek Tabakada Gerilme-Şekil Değiştirme Hesaplamaları)

olmak üzere:

7

16.07.2026

Veya;

(6.8)

(6.9)

Benzer şekilde gerinme dönüşüm bağıntıları aynı formatta yazılabilir.

(6.10a-c)

(6.11)

(6.12)

veya;

Kompozit Malzeme Mekaniği-Ders Notları-Prof.Dr.Mehmet Zor

6. Kompozitlerde Hooke ve Dönüşüm Bağıntıları (Tek Tabakada Gerilme-Şekil Değiştirme Hesaplamaları)

8

16.07.2026

Denklem 6.11’den

,

Kompozit Malzeme Mekaniği-Ders Notları-Prof.Dr.Mehmet Zor

6. Kompozitlerde Hooke ve Dönüşüm Bağıntıları (Tek Tabakada Gerilme-Şekil Değiştirme Hesaplamaları)

Denklem 6.8 i tekrar ele alırsak;

İndirgenmiş Rijitlik Matrisi:

9

16.07.2026

Bir önceki sayfadaki çoklu matris çarpımı işlemi yapıldığında

indirgenmiş rijitlik matrisi ve terimleri şu şekilde bulunur:

(6.13)

(6.14a-f)

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

Kompozit Malzeme Mekaniği-Ders Notları-Prof.Dr.Mehmet Zor

6. Kompozitlerde Hooke ve Dönüşüm Bağıntıları (Tek Tabakada Gerilme-Şekil Değiştirme Hesaplamaları)

10

16.07.2026

işlemiyle aşağıdaki şekilde elde edilir.

(6.15)

(6.16a-f)

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

Kompozit Malzeme Mekaniği-Ders Notları-Prof.Dr.Mehmet Zor

6. Kompozitlerde Hooke ve Dönüşüm Bağıntıları (Tek Tabakada Gerilme-Şekil Değiştirme Hesaplamaları)

11

16.07.2026

6.5 ÖZET

Hooke Bağıntıları

Dönüşüm Bağıntıları

Not:

İleride anlatılacak tabakalı kompozitlerin hesaplarında indirgenmiş matrisleri kullanılması kaçınılmazdır.

Lokal Koordinatlarda:

Global Koordinatlarda:

Gerilmeler arasında

Gerinmeler arasında

(6.1)

(6.2)

(6.7)

(6.8)

(6.11)

(6.12)

(2.16a)

(2.16b)

Kompozit Malzeme Mekaniği-Ders Notları-Prof.Dr.Mehmet Zor

6. Kompozitlerde Hooke ve Dönüşüm Bağıntıları (Tek Tabakada Gerilme-Şekil Değiştirme Hesaplamaları)

12

16.07.2026

Örnek 6.1 45^o lik fiber yönlendirme açısına sahip bir noktasında şekilde gösterilen düzlem gerilme durumu ortaya çıkmıştır. Buna göre global şekil değiştirmeleri (gerinmeleri) hesaplayınız.

Öncelikle lokal gerilmeleri Denk. 6.7 den bulalım:

Denk. 2.16b den lokal gerinmeler:

Denk. 6.12 den global gerinmeler:

Kompozit Malzeme Mekaniği-Ders Notları-Prof.Dr.Mehmet Zor

6. Kompozitlerde Hooke ve Dönüşüm Bağıntıları (Tek Tabakada Gerilme-Şekil Değiştirme Hesaplamaları)

q

13

16.07.2026

Denk. 6.2 den global gerinmeler hesaplanır:

Önce Normal [S] matrisinin terimleri hesaplanır:

,

,

Kompozit Malzeme Mekaniği-Ders Notları-Prof.Dr.Mehmet Zor

6. Kompozitlerde Hooke ve Dönüşüm Bağıntıları (Tek Tabakada Gerilme-Şekil Değiştirme Hesaplamaları)

Benzer Şekilde:

,

,

14

16.07.2026

Kompozit Malzemeye Ait Mekanik Malzeme Özellikleri

Örnek 6.2

Kompozit Malzeme Mekaniği-Ders Notları-Prof.Dr.Mehmet Zor

6. Kompozitlerde Hooke ve Dönüşüm Bağıntıları (Tek Tabakada Gerilme-Şekil Değiştirme Hesaplamaları)

15

16.07.2026

Önce Minör Poisson Oranını hesaplayalım :

Gerinim ölçerler’in yerleştirilme yönlerine baktığımızda;

Lokal Gerinmeler

Denk. 5.1b yi hatırlarsak:

Kompozit Malzeme Mekaniği-Ders Notları-Prof.Dr.Mehmet Zor

6. Kompozitlerde Hooke ve Dönüşüm Bağıntıları (Tek Tabakada Gerilme-Şekil Değiştirme Hesaplamaları)

16

16.07.2026

Lokal Gerilmeler :

Denk. 2.16a’ dan lokal gerilme değerlerini hesaplayalım:

Denk. 2.7d’ den [Q] matrisinin terimleri:

Global Gerinmeler

Denk. 6.12’ den global gerinmeler:

Denk. 6.8’ den global gerilmeler:

Global Gerilmeler

(İndirgenmiş matrisler kullanlarak)

veya 2.Yol

(Denk. 6.2 ’den )

(Denk. 6.1’den )

İndirgenmiş matrisler sebebiyle 2.Yol daha uzundur.

c: cos50^o, s=sin50^o olmak üzere

Kompozit Malzeme Mekaniği-Ders Notları-Prof.Dr.Mehmet Zor

6. Kompozitlerde Hooke ve Dönüşüm Bağıntıları (Tek Tabakada Gerilme-Şekil Değiştirme Hesaplamaları)

6.6 Sıcaklık Etkisinin Dahil olduğu Hooke Bağıntıları

17

16.07.2026

Kompozit Malzeme Mekaniği-Ders Notları-Prof.Dr.Mehmet Zor

ΔT

Bir kompozit tabakada, düzlem gerilme durumunda, 1 ve 2 yönlerinde çeki kuvvetlerinin yanısıra, tabakanın sıcaklığı da ΔT kadar arttırılırsa oluşan gerinme değerlerini süperpozisyon yöntemi ile Hooke bağıntılarından aşağıdaki gibi hesaplarız:

6. Kompozitlerde Hooke ve Dönüşüm Bağıntıları (Tek Tabakada Gerilme-Şekil Değiştirme Hesaplamaları)

18

16.07.2026

Düzlem gerilme durumu için sıcaklığın dahil olduğu Hooke bağıntısı:

Matris formatında yazarsak:

(6.17.a)

(6.18.a)

Ortotropik veya daha özeli olan enine (transversly) izotropik malzemeler için; lokal eksenlerde α₁₂ = 0 ’dır.

Yani sıcaklık değişiminin kayma şekil değişimine ve kayma gerinimine etkisi yoktur.

Kompozit Malzeme Mekaniği-Ders Notları-Prof.Dr.Mehmet Zor

(6.17.b)

(6.18.b)

Lokal gerinmeler:

Lokal gerilmeler:

Global gerinmeler:

Global gerilmeler:

6. Kompozitlerde Hooke ve Dönüşüm Bağıntıları (Tek Tabakada Gerilme-Şekil Değiştirme Hesaplamaları)

19

16.07.2026

Dönüşüm bağıntısı Lokal ve global ısıl genleşme katsayıları arasında da geçerlidir. Şöyle ki:

(6.19.b)

Sadece sıcaklık farkı ΔT sebebiyle oluşan global gerinmeleri şu şekilde yazabiliriz:

6.7 Global Isıl genleşme katsayıları (α_x, α_y, α_xy) :

Denk. 6.12 den:

Denk. 6.9 dan Dönüşüm matrisini hatırlayın:

Denk. 6.17.a dan

(Sadece ΔT varken)

(6.19.a)

Kompozit Malzeme Mekaniği-Ders Notları-Prof.Dr.Mehmet Zor

6. Kompozitlerde Hooke ve Dönüşüm Bağıntıları (Tek Tabakada Gerilme-Şekil Değiştirme Hesaplamaları)