O que é um paradoxo?
O que é um paradoxo?
Substantivo masculino
O que é um paradoxo?
Substantivo masculino
O que é um paradoxo?
Substantivo masculino
O que é um paradoxo?
Exemplo: Paradoxo do Barbeiro
O que é um paradoxo?
Exemplo: Paradoxo do Barbeiro
Em uma aldeia, há apenas um barbeiro.
Por lei, todas as pessoas nessa aldeia devem estar bem barbeadas.
O que é um paradoxo?
Exemplo: Paradoxo do Barbeiro
Em uma aldeia, há apenas um barbeiro.
Por lei, todas as pessoas nessa aldeia devem estar bem barbeadas.
Todos os dias ele faz a barba de todas as pessoas que não barbeiam a si próprio.
O que é um paradoxo?
Exemplo: Paradoxo do Barbeiro
Em uma aldeia, há apenas um barbeiro.
Por lei, todas as pessoas nessa aldeia devem estar bem barbeadas.
Quem barbeia o barbeiro?
Todos os dias ele faz a barba de todas as pessoas que não barbeiam a si próprio.
Paradoxo do Aniversário
Paradoxo do Aniversário
Paradoxo do Aniversário
Resposta Intuitiva:
Paradoxo do Aniversário
Resposta Intuitiva:
São 365 dias no ano...
Paradoxo do Aniversário
Resposta Intuitiva:
São 365 dias no ano...
Metade disso...
Paradoxo do Aniversário
Resposta Intuitiva:
São 365 dias no ano...
Metade disso...
Paradoxo do Aniversário
Resposta Intuitiva:
São 365 dias no ano...
Metade disso...
Paradoxo do Aniversário
Resposta Correta:
Paradoxo do Aniversário
Resposta Correta:
Paradoxo do Aniversário
Resposta Correta:
Esta conta deixa de ser intuitiva porque se trata de probabilidade condicional.
Paradoxo do Aniversário
Resposta Correta:
Esta conta deixa de ser intuitiva porque se trata de probabilidade condicional.
Para isso, vamos analisar a probabilidade de duas pessoas não nascerem no mesmo dia...
Paradoxo do Aniversário
Paradoxo do Aniversário
Paradoxo do Aniversário
Paradoxo do Aniversário
Paradoxo do Aniversário
Paradoxo do Aniversário
Paradoxo do Aniversário
Paradoxo do Aniversário
Logo,
Paradoxo do Aniversário
Logo,
Paradoxo do Aniversário
Logo,
Paradoxo do Aniversário
Observações:
Paradoxo do Aniversário
Observações:
Paradoxo do Aniversário
Observações:
Paradoxo do Aniversário
Observações:
Monty Hall
Monty Hall
Em um programa de auditório (Faustão?), existem três portas fechadas.
Monty Hall
Em um programa de auditório (Faustão? Silvio Santos?), existem três portas fechadas.
Atrás de uma das portas há um carro e nas outras duas temos cabras. Se você escolher a porta certa, ganha o carro!
Monty Hall
Em um programa de auditório (Faustão? Silvio Santos?), existem três portas fechadas.
Atrás de uma das portas há um carro e nas outras duas temos cabras. Se você escolher a porta certa, ganha o carro!
Monty Hall
Monty Hall
Vamos supor que você escolheu a Porta 1.
Monty Hall
Vamos supor que você escolheu a Porta 1.
O apresentador, sabendo em qual porta está o carro, não abre a porta escolhida e resolve colocar mais emoção no jogo.
Monty Hall
Vamos supor que você escolheu a Porta 1.
O apresentador, sabendo em qual porta está o carro, não abre a porta escolhida e resolve colocar mais emoção no jogo.
Para isso ele abre a porta número 3 e mostra que o carro não está ali.
Monty Hall
Agora você sabe que o carro está na Porta 1 ou na Porta 2
Monty Hall
Agora você sabe que o carro está na Porta 1 ou na Porta 2
É então que o apresentador adiciona ao suspense...
“Você quer mesmo abrir a Porta 1 ou quer mudar para a Porta 2?”
???
Monty Hall
Agora você sabe que o carro está na Porta 1 ou na Porta 2
É então que o apresentador adiciona ao suspense...
“Você quer mesmo abrir a Porta 1 ou quer mudar para a Porta 2?”
???
Resposta Intuitiva: 50% de chance!
Monty Hall
Agora você sabe que o carro está na Porta 1 ou na Porta 2
É então que o apresentador adiciona ao suspense...
“Você quer mesmo abrir a Porta 1 ou quer mudar para a Porta 2?”
???
Resposta Intuitiva: 50% de chance!
Monty Hall
Resposta Correta:
Monty Hall
�Você deve mudar de porta!
Resposta Correta:
Monty Hall
�Você deve mudar de porta!
Resposta Correta:
�Ao optar pela troca, a probabilidade de acerto sobe para 66,66%
Monty Hall
�Você deve mudar de porta!
Resposta Correta:
�Ao optar pela troca, a probabilidade de acerto sobe para 66,66%
Monty Hall
Monty Hall
Monty Hall
Monty Hall
Monty Hall
Apresentador revela a cabra na Porta 3
Monty Hall
Apresentador revela a cabra na Porta 3
Se trocar de porta, você ganha!
Monty Hall
Apresentador revela a cabra na Porta 3
Apresentador revela uma das cabras
Se trocar de porta, você ganha!
Monty Hall
Apresentador revela a cabra na Porta 3
Apresentador revela uma das cabras
Se trocar de porta, você ganha!
Se trocar de porta, você perde!
Monty Hall
Apresentador revela a cabra na Porta 3
Apresentador revela uma das cabras
Apresentador revela a cabra na Porta 1
Se trocar de porta, você ganha!
Se trocar de porta, você perde!
Monty Hall
Apresentador revela a cabra na Porta 3
Apresentador revela uma das cabras
Apresentador revela a cabra na Porta 1
Se trocar de porta, você ganha!
Se trocar de porta, você perde!
Se trocar de porta, você ganha!
Monty Hall
Ganha!
Ganha!
Perde!
Ao Infinito e Além
O Hotel de Hilbert
O Hotel de Hilbert
A jovem Mari estava andando por uma estrada quando se deparou com um hotel.
O Hotel de Hilbert
A jovem Mari estava andando por uma estrada quando se deparou com um hotel.
Hotel de Hilbert
O Hotel de Hilbert
A jovem Mari estava andando por uma estrada quando se deparou com um hotel.
Ao entrar para pegar um quarto, o atendente, Sr. Hilbert, a informou que todos os 1.000.000.000 quartos estavam ocupados, logo não poderia hospedá-la
Hotel de Hilbert
O Hotel de Hilbert
A jovem Mari estava andando por uma estrada quando se deparou com um hotel.
Ao entrar para pegar um quarto, o atendente, Sr. Hilbert, a informou que todos os 1.000.000.000 quartos estavam ocupados, logo não poderia hospedá-la
Chateada, Mari foi embora...
Hotel de Hilbert
O Hotel de Hilbert
Um tempo depois, Mari estava passando pela região do Hotel de Hilbert e decidiu se hospedar.
Hotel de Hilbert
O Hotel de Hilbert
Um tempo depois, Mari estava passando pela região do Hotel de Hilbert e decidiu se hospedar.
Hotel de Hilbert
O Sr. Hilbert informou à jovem que havia feito uma reforma no hotel e que agora haviam infinitos quartos.
O Hotel de Hilbert
Um tempo depois, Mari estava passando pela região do Hotel de Hilbert e decidiu se hospedar.
Porém naquele dia haviam infinitos hóspedes e o hotel novamente estava cheio.
Hotel de Hilbert
O Sr. Hilbert informou à jovem que havia feito uma reforma no hotel e que agora haviam infinitos quartos.
O Hotel de Hilbert
Um tempo depois, Mari estava passando pela região do Hotel de Hilbert e decidiu se hospedar.
Porém naquele dia haviam infinitos hóspedes e o hotel novamente estava cheio.
Hotel de Hilbert
O Sr. Hilbert informou à jovem que havia feito uma reforma no hotel e que agora haviam infinitos quartos.
Mari, muito triste, estava quase indo embora quando o Sr. Hilbert disse que tinha uma solução e que poderia hospedá-la!!!
O Hotel de Hilbert
Eis a solução...
Hotel de Hilbert
O Hotel de Hilbert
Eis a solução...
Hotel de Hilbert
O Sr. Hilbert iria passar:
O Hotel de Hilbert
Eis a solução...
Hotel de Hilbert
O Sr. Hilbert iria passar:
O Hotel de Hilbert
Eis a solução...
Hotel de Hilbert
O Sr. Hilbert iria passar:
O Hotel de Hilbert
Eis a solução...
Hotel de Hilbert
O Sr. Hilbert iria passar:
O Hotel de Hilbert
Eis a solução...
Hotel de Hilbert
O Sr. Hilbert iria passar:
Desta forma o Quarto 1 ficaria vago e Mari poderia ficar nele.
O Hotel de Hilbert
Mari adorou tanto o Hotel de Hilbert que resolveu chamar seus amigos para passar um dia lá.
Hotel de Hilbert
O Hotel de Hilbert
Mari adorou tanto o Hotel de Hilbert que resolveu chamar seus amigos para passar um dia lá.
Como ela era muito popular, tinha infinitos amigos
Hotel de Hilbert
O Hotel de Hilbert
Mari adorou tanto o Hotel de Hilbert que resolveu chamar seus amigos para passar um dia lá.
Como ela era muito popular, tinha infinitos amigos
Hotel de Hilbert
Chegando ao hotel, o Sr. Hilbert a informou que novamente os infinitos quartos estavam ocupados.
O Hotel de Hilbert
Mari adorou tanto o Hotel de Hilbert que resolveu chamar seus amigos para passar um dia lá.
Como ela era muito popular, tinha infinitos amigos
Mas ele tinha a solução!!!
Hotel de Hilbert
Chegando ao hotel, o Sr. Hilbert a informou que novamente os infinitos quartos estavam ocupados.
O Hotel de Hilbert
Eis a nova solução...
Hotel de Hilbert
O Hotel de Hilbert
Eis a nova solução...
Hotel de Hilbert
O Sr. Hilbert iria passar:
O Hotel de Hilbert
Eis a nova solução...
Hotel de Hilbert
O Sr. Hilbert iria passar:
O Hotel de Hilbert
Eis a nova solução...
Hotel de Hilbert
O Sr. Hilbert iria passar:
O Hotel de Hilbert
Eis a nova solução...
Hotel de Hilbert
O Sr. Hilbert iria passar:
Assim todos os quartos “ímpares” ficam disponíveis.
A Trombeta de Gabriel
A Trombeta de Gabriel
A Trombeta de Gabriel
A Trombeta de Gabriel
A Trombeta de Gabriel
Este objeto é chamado de Trombeta de Gabriel.
A Trombeta de Gabriel
A Trombeta de Gabriel
O volume deste sólido pode ser calculado por:
A Trombeta de Gabriel
O volume deste sólido pode ser calculado por:
A Trombeta de Gabriel
O volume deste sólido pode ser calculado por:
A Trombeta de Gabriel
O volume deste sólido pode ser calculado por:
A Trombeta de Gabriel
A Área desta superfície pode ser calculado por:
A Trombeta de Gabriel
A Área desta superfície pode ser calculado por:
A Trombeta de Gabriel
A Área desta superfície pode ser calculado por:
A Trombeta de Gabriel
A Área desta superfície pode ser calculado por:
A Trombeta de Gabriel
A Área desta superfície pode ser calculado por:
A Trombeta de Gabriel
Portanto, a Trombeta de Gabriel possui:
A Trombeta de Gabriel
Portanto, a Trombeta de Gabriel possui:
Volume
A Trombeta de Gabriel
Portanto, a Trombeta de Gabriel possui:
Volume
Área
A Trombeta de Gabriel
Portanto, a Trombeta de Gabriel possui:
Volume
Área
O Paradoxo de Banach-Tarski
Banach-Tarski
Lembremos do truque do chocolate infinito...
Banach-Tarski
Lembremos do truque do chocolate infinito...
Banach-Tarski
Lembremos do truque do chocolate infinito...
Será mesmo que conseguimos tal divisão?
Banach-Tarski
Lembremos do truque do chocolate infinito...
Obviamente não podemos fazer essa divisão!
A animação ao lado é uma mera ilusão de ótica.
Banach-Tarski
“É possível dividir uma esfera sólida em um número finito de pedaços, e com esses pedaços reconstruir duas esferas com o mesmo tamanho e volume da esfera inicial”
Banach-Tarski
“É possível dividir uma esfera sólida em um número finito de pedaços, e com esses pedaços reconstruir duas esferas com o mesmo tamanho e volume da esfera inicial”
Banach-Tarski
“É possível dividir uma esfera sólida em um número finito de pedaços, e com esses pedaços reconstruir duas esferas com o mesmo tamanho e volume da esfera inicial”
Esse resultado é chamado de Paradoxo de Banach-Tarski.
Banach-Tarski
“É possível dividir uma esfera sólida em um número finito de pedaços, e com esses pedaços reconstruir duas esferas com o mesmo tamanho e volume da esfera inicial”
Esse resultado é chamado de Paradoxo de Banach-Tarski.
Na verdade ele é um teorema...
Banach-Tarski
E como todo Teorema, esse resultado é matematicamente demonstrável!
Banach-Tarski
E como todo Teorema, esse resultado é matematicamente demonstrável!
A prova deste resultado se baseia em três conceitos:
Banach-Tarski
E como todo Teorema, esse resultado é matematicamente demonstrável!
A prova deste resultado se baseia em três conceitos:
Banach-Tarski
Axioma da Escolha (beeeeem informal)
Suponha que você tenha uma coleção de cestas não vazias. Existe um conjunto (chamado de conjunto escolha) que contém exatamente um objeto de cada cesta.
Banach-Tarski
Axioma da Escolha (beeeeem informal)
Suponha que você tenha uma coleção de cestas não vazias. Existe um conjunto (chamado de conjunto escolha) que contém exatamente um objeto de cada cesta.
Axioma da Escolha
Banach-Tarski
Acredite, é possível demonstrar o Teorema de Banach-Tarski.
Banach-Tarski
Acredite, é possível demonstrar o Teorema de Banach-Tarski.
Banach-Tarski
Acredite, é possível demonstrar o Teorema de Banach-Tarski.
Quer dizer então que podemos aplicar esse Teorema no mundo real?
Por exemplo, no caso do chocolate?
Banach-Tarski
Acredite, é possível demonstrar o Teorema de Banach-Tarski.
Quer dizer então que podemos aplicar esse Teorema no mundo real?
Por exemplo, no caso do chocolate?
Infelizmente (ou felizmente) não! Na demonstração temos dois problemas:
Banach-Tarski
Acredite, é possível demonstrar o Teorema de Banach-Tarski.
Quer dizer então que podemos aplicar esse Teorema no mundo real?
Por exemplo, no caso do chocolate?
Infelizmente (ou felizmente) não! Na demonstração temos dois problemas:
Banach-Tarski
Acredite, é possível demonstrar o Teorema de Banach-Tarski.
Quer dizer então que podemos aplicar esse Teorema no mundo real?
Por exemplo, no caso do chocolate?
Infelizmente (ou felizmente) não! Na demonstração temos dois problemas:
Muito obrigado pela atenção!