Урок

№165 (І)

Подільність натуральних чисел

Математика

Повторення і систематизація навчального матеріалу

Сьогодні

Повторення навчального матеріалу. Формування вмінь.

(Усно.) Укажи пари, де перше число є дільником другого:

1)7 і 28; 2) 9 і 31; 3) 16 і 4; 4) 19 і19.

1 рівень

Сьогодні

Повторення матеріалу

Дільники натурального числа

Приклад. Нехай маємо 6 апельсинів. Чи можна всі їх порівну розділити між трьома дітьми? Звісно, що так, бо 6 ділиться на 3 без остачі, і кожний отримає по 2 апельсини. А от якщо дітей буде четверо, то зробити це, не ділячи апельсини на шматочки, буде неможливо. Це тому, що 6 на 4 без остачі не ділиться.

Дільником натурального числа а називають натуральне число, на яке а ділиться без остачі.

Повторення матеріалу

Дільники натурального числа

Наприклад, дільниками числа 10 є числа 1, 2, 5 і 10, а дільниками числа 17 — числа 1 і 17. Число 10 має чотири дільники, а число 17 — два дільники. Число 1 має лише один дільник — число 1.

Будь-яке натуральне число a ділиться націло

на 1 і a.

Отже, 1 і a — дільники числа a, причому

1 — найменший його дільник,

a — найбільший.

Сьогодні

Повторення матеріалу

Приклади задач

Задача 1. Знайти всі дільники числа 18.

Розв’язання. Два дільники числа 18 очевидні: 1 і 18.

Щоб знайти інші, будемо перевіряти всі натуральні числа поспіль, починаючи з 2. Отримаємо ще чотири дільники: 2, 3, 6 і 9. Отже, число 18 має шість дільників: 1, 2, 3, 6, 9, 18. Цей перебір можна скоротити, якщо, знайшовши один дільник, записувати одразу і той, що є часткою від ділення числа 18 на знайдений дільник. У такий спосіб отримаємо пари дільників: 1 і 18, 2 і 9, 3 і 6. Під час перебору ці пари зручно одразу записувати так: 1, 2, 3  і 18, 9, 6 Відповідь: 1, 2, 3, 6, 9, 18.

14.05.2024

Сьогодні

Повторення матеріалу

Кратні натурального числа

Приклад. У прикладі про апельсини, з якого ми почали, число 6 ділилося на 3, а от на 4 не ділилося. У такому разі кажуть, що число 6 кратне числу 3, але не кратне числу 4.

Кратним натурального числа а називають натуральне число, яке ділиться на а без остачі.

Сьогодні

Повторення матеріалу

Кратні натурального числа

Наприклад, 12, 24, 36, 48, 60 — це перші п’ять кратних числа 12. Будь-яке натуральне число a має безліч кратних. Узагалі всі кратні числа a можна одержати, помноживши a на 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ..., тобто числа a, 2a, 3a, 4a, ... є кратними числа a.

Найменшим з усіх кратних натурального числа є саме це число.

Сьогодні

Повторення матеріалу

Приклади задач

Задача 2. Знайти найменше та найбільше чотирицифрові числа, кратні числу 23.

Розв’язання.

1. 1000 — найменше чотирицифрове число.

1000 : 23 = 43 (ост. 11). Тому 23 ⋅ 44 = 1012 — найменше чотирицифрове число, кратне числу 23.

2) 9999 — найбільше чотирицифрове число.

9999 : 23 = = 434 (ост. 17). Тому 23 ⋅ 434 = 9982 — найбільше чотирицифрове число, кратне числу 23.

Відповідь: 1) 1012; 2) 9982

Сьогодні

Повторення матеріалу

Як відомо, будь-яке натуральне число, що закінчується цифрою 0, ділиться на 10. Наприклад, числа 120, 5800, 45 670 діляться на 10, бо їх запис закінчується цифрою 0. А числа 57, 325, 67 901 на 10 не діляться, бо їх запис не закінчується цифрою 0. При діленні на 10 вони будуть давати остачу, що дорівнює останній цифрі числа.

Ознаки подільності на 10

На 10 діляться всі натуральні числа, запис яких закінчується цифрою 0. Якщо будь-якою іншою цифрою, то число не ділиться на 10.

Сьогодні

Повторення матеріалу

Наприклад, числа 215, 7345, 90 135 діляться на 5, бо їх запис закінчується цифрою 5. Також на 5 діляться числа 720, 64  180, бо закінчуються цифрою 0. А от числа 49, 516, 7224 на 5 не діляться, бо їх запис не закінчується ані цифрою 5, ані цифрою 0.

Ознаки подільності на 5

На 5 діляться всі натуральні числа, запис яких закінчується цифрою 0 або цифрою 5. Якщо будь-якою іншою цифрою, то число не ділиться на 5.

Сьогодні

Повторення матеріалу

Цифри: 0, 2, 4, 6, 8 називають парними цифрами.

Цифри: 1, 3, 5, 7, 9, називають непарними цифрами

Парні і непарні числа

Скажіть, про яку кількість людей кажуть «пара»?

Так, про двох.

Подивіться на ряд чисел 2, 4, 6, 8… всі вони діляться на 2. Тоді ці числа є парними. Це числа, які можна розкласти по парам. А чи парні числа 126,292, 1008?

Так, адже останні цифри даних чисел – парні. Такі числа задаються формулою 2n, де n – деяке натуральне число. А числа 1,9,13,121 діляться на 2?

Ні, тому вони називаються непарні їх можна задати формулою 2n-1 .

Сьогодні

Повторення матеріалу

Ознаки подільності на 2

Наприклад, числа 86, 104, 510, 78, 1112 — парні,

а 87, 613, 2001, 405, 9999 — непарні.

На 2 діляться всі натуральні числа, запис яких закінчується парною цифрою.

Якщо запис числа закінчується непарною цифрою, то число не ділиться на 2.

Натуральні числа, які діляться на 2, називають парними числами, усі інші натуральні числа називають не парними.

Сьогодні

Повторення матеріалу

​

Задача. З’ясувати, чи ділиться на 9 число:

1) 4572; 2) 23 012.

Розв’язання. 1) Знайдемо суму цифр числа 4572:

4 + 5 + 7 + 2 = 18.

Оскільки 18 ділиться на 9, то й число 4572 ділиться на 9.

2) Для числа 23 012 маємо: 2 + 3 + 0 + 1 + 2 = 8.

Оскільки 8 не ділиться на 9, то і 23 012 не ділиться на 9.

Відповідь: 1) так; 2) ні

Ознака подільності на 9

На 9 діляться всі натуральні числа, сума цифр яких ділиться на 9.

Якщо сума цифр не ділиться на 9, то число не ділиться на 9.

Сьогодні

Повторення матеріалу

Задача. З’ясувати, чи ділиться на 3 число:

1) 2571; 2) 14 021.

Розв’язання. 1) Знайдемо суму цифр числа 2571:

2 + 5 + 7 + 1 = 15.

Оскільки 15 ділиться на 3, то й число 2571 ділиться на 3.

2) Для числа 14  021 маємо: 1 + 4 + 0 + 2 + 1 = 8.

Оскільки 8 не ділиться на 3, то і 14  021 не ділиться на 3.

Відповідь: 1) так; 2) ні

Ознака подільності на 3

На 3 діляться всі натуральні числа, сума цифр яких ділиться на 3.

Якщо сума цифр не ділиться на 3, то число не ділиться на 3.

Сьогодні

Повторення матеріалу

Найбільший спільний дільник чисел a і b позначають так: НСД (a; b).

Наприклад, можна записати, що НСД (32; 24) = 8

Поняття про найбільший спільний дільник

Найбільшим спільним дільником кількох натуральних чисел називають найбільше натуральне число, на яке ділиться кожне з цих чисел.

Сьогодні

Повторення матеріалу

Задача 1. Знайти НСД (630; 1470).

Розв’язання. Розкладемо числа 630 і 1470 на прості множники і підкреслимо ті з них, які є спільними в обох розкладах:

630 = 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7;

1470 = 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 7.

Отже, НСД (630; 1470) = 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 = 210.

Відповідь: 210.

630 2

315 3

105 3

35 5

7 7

1

​

1470 2

735 3

245 5

49 7

7 7

1

Найбільший спільний дільник кількох чисел дорівнює добутку спільних простих множників розкладу цих чисел

Сьогодні

Повторення матеріалу

Задача 2. Знайти НСД (60; 140; 220).

Розв’язання.

Маємо: 60 = 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 5; 140 = 2 ⋅ 2 ⋅ 5 ⋅ 7;

220 = 2 ⋅ 2 ⋅ 5 ⋅ 11.

Отже, НСД (60; 140; 220) = 2 ⋅ 2 ⋅ 5 = 20.

Відповідь: 20

Найбільший спільний дільник кількох чисел дорівнює добутку спільних простих множників розкладу цих чисел

Сьогодні

Повторення матеріалу

Задача 3. Знайти НСД (8; 64; 320).

Розв’язання. Оскільки числа 64 і 320 діляться на 8, то НСД (8; 64; 320) = 8. Відповідь: 8.

Щоб знайти найбільший спільний дільник кількох чисел, достатньо:�1) Розкласти ці числа на множники.�2) Виписати всі спільні прості множники у знайдених розкладах і обчислити їх добуток.

Якщо серед даних чисел є дільник усіх інших з даних чисел, то він і буде найбільшим спільним дільником цих чисел. Якщо розклади чисел на прості множники не мають спільних множників, то найбільшим спільним дільником цих чисел є число 1

Сьогодні

Повторення матеріалу

Наприклад, числа 12 і 35 — взаємно прості, адже НСД (12; 35) = 1. Числа ж 15 і 18 не є взаємно простими, бо мають спільний дільник — число 3.

Поняття про взаємно прості числа

Два натуральні числа, найбільший спільний дільник яких дорівнює 1, називаються взаємно простими числами.

Сьогодні

Повторення матеріалу

Сьогодні

Повторення матеріалу

Найменше спільне кратне чисел a і b позначають так:

НСК (a; b). Наприклад, НСК (4; 6) = 12

Поняття про найменше спільне кратне

Найменшим спільним кратним кількох натуральних чисел називають найменше натуральне число, яке ділиться на кожне з цих чисел.

Сьогодні

Повторення матеріалу

Задача 1. Знайти НСК (30; 36).

Розв’язання. Розкладемо числа на прості множники:

30 = 2 ⋅ 3 ⋅ 5 і 36 = 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3. Їх НСК має ділитися і на 30, і на 36, тому має бути добутком усіх простих множників і першого, і другого чисел. Розглянемо розклад одного із цих чисел, наприклад 30 = 2 ⋅ 3 ⋅ 5, і з’ясуємо, яких простих множників другого числа в цьому розкладі немає. Це множники 2 і 3, бо 172 в розкладі 30 = 2 ⋅ 3 ⋅ 5 є один множник 2 і один множник 3, а в розкладі 36 = 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3 два множники 2 і два множники 3. Отже, щоб знайти НСК (30; 36), треба розклад 30 = 2 ⋅ 3 ⋅ 5 доповнити множниками 2 і 3, яких не вистачає. Маємо: НСК (30; 36) =2 ⋅ 3 ⋅ 5⋅ 2 ⋅ 3 =180 .

Сьогодні

Повторення матеріалу

Правило знаходження НСК двох чисел

Щоб знайти найменше спільне кратне двох чисел достатньо:�1) розкласти ці числа на прості множники;�2) доповнити розклад одного з них тими множниками другого числа, яких не вистачає в розкладі першого;�3) обчислити добуток знайдених множників.

Сьогодні

Повторення матеріалу

Задача 2. Знайти НСК (42; 66; 90).

Розв’язання. Розкладемо числа 42, 66, 90 на прості множники.

Маємо: 42 = 2 ⋅ 3 ⋅ 7; 66 = 2 ⋅ 3 ⋅ 11; 90 = 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 5.

НСК (42; 66; 90)= 2 ⋅ 3 ⋅ 7 ⋅ 11 ⋅ 3 ⋅ 5=6930.

За цим правилом можна знайти найменше спільне кратне трьох і більше чисел. Тоді розклад на прості множники одного із цих чисел треба доповнити тими простими множниками інших чисел, яких не вистачає в його розкладі, та обчислити добуток знайдених множників

Сьогодні

Повторення матеріалу

Задача 3. Знайти НСК (6; 9; 36).

Розв’язання. Оскільки число 36 ділиться і на 6, і на 9, то

НСК (6; 9; 36) = 36

Найменшим спільним кратним двох взаємно простих чисел є добуток цих чисел. Наприклад, НСК (5; 8) = 5 ⋅ 8 = 40.

Якщо найбільше з даних чисел ділиться на всі інші, то воно і є їх найменшим спільним кратним

Online завдання

Відскануй QR-код або натисни жовтий круг!

Сьогодні

Повторення навчального матеріалу. Формування вмінь

​

� (Усно.) Чи є взаємно простими числа:

1) 7 і 9; 2) 2 і 14;

3) 12 і 15; 4) 25 і 36?

2 рівень

Сьогодні

​

Повторення навчального матеріалу. Формування вмінь

​

Із чисел 2370, 363, 1170, 459, 1755 випиши ті, що:

1) діляться на 3; 2) діляться і на 3, і на 2;

3) діляться на 9; 4) діляться і на 9, і на 5

Завдання 1. �

Виконай самостійно

Сьогодні

Повторення навчального матеріалу. Формування вмінь

Завдання 2.� Із чисел 5896, 12 174, 1539, 13 104, 1518 випиши ті, що: 1) діляться на 3; 2) діляться на 9; 3) діляться і на 2, і на 3; 4) не діляться на 3; 5) діляться на 3, але не діляться на 9.

2 рівень

Сьогодні

Повторення навчального матеріалу. Формування вмінь

​

Завдання 3.� Розклади на прості множники число:

1) 48; 2) 29; 3) 90.

2 рівень

Сьогодні

Повторення навчального матеріалу. Формування вмінь

Розклади на прості множники число:

1) 56; 2) 69; 3) 37.

Завдання 4

Сьогодні

Повторення навчального матеріалу. Формування вмінь

Завдання 5.� Знайди найбільший спільний дільник і найменше

спільне кратне чисел:

1) 48 і 56; 2) 12 і 7; 3) 22 і 33; 4) 9 і 36.

2 рівень

Сьогодні

Повторення навчалного матеріалу. Формування вмінь

​

Завдання 6.�Не використовуючи таблицю простих чисел, запиши:

1. усі прості числа, більші за 7 і менші від 20;
2. усі складені числа, більші за 50 і менші від 66?

​

3 рівень

Сьогодні

Повторення навчального матеріалу. Формування вмінь

Завдання 6.

Знайди:

1) найбільше п’ятицифрове число, кратне числу 19;

2) найменше чотирицифрове число, кратне числу 47.

Сьогодні

Повторення навчального матеріалу. Формування вмінь

Не використовуючи таблицю простих чисел, запиши:

1) усі прості числа х, для яких нерівність 37 < х < 60

є правильною;

2) усі прості числа у, для яких нерівність 4 < у < 21

є правильною.

Завдання 7

Сьогодні

Повторення навчального матеріалу. Формування вмінь

Завдання 8.�Яку найбільшу кількість однакових подарунків можна скласти, використавши 60 цукерок і 45 яблук?

​

3 рівень

Відповідь:�15 подарунків.

Сьогодні

Повторення навчального матеріалу. Формування вмінь

Завдання 9.�Знайди:

1) найбільше чотирицифрове число, кратне числу 37;

2) найменше п’ятицифрове число, кратне числу 112.

​

4 рівень

Відповідь:�1) 9 990;

2) 10 080.

Сьогодні

Завдання для домашньої роботи

Опрацюй підручник

1 ч. п. 18-19.

Виконай завдання

№ 1279на с. 178

(підручник 2 ч.).

Сьогодні

Повторення навчального матеріалу. Формування вмінь

Підстав замість зірочки такі цифри, щоб число:

1) 3*5* ділилося і на 3, і на 10;

2) *100* ділилося і на 5, і на 9.

Завдання

для найдопитливіших

1. 3150;

2) 81000

Сьогодні

Підсумок уроку. Усне опитування

1. Яке число називають дільником натурального числа a?

2.Яке натуральне число називають кратним числа a?

3. Як з’ясувати, чи ділиться число на 10,на 5, на 2?

4. Як з’ясувати, чи ділиться число на 9?

5. Як за записом натурального числа встановити, кратне воно З чи ні?

Рефлексія. Вправа «Ранець-м'ясорубка-кошик»

Сьогодні

Корисні

знання

Над цим варто замислитися

Це мені потрібно