Maddesel Nokta Kinetiği
DİNAMİK DERS NOTLARI / Prof. Dr. Mehmet Zor
1
23.08.2024
İmpuls ve Momentum
Prof. Dr. Mehmet Zor
Dokuz Eylül Üniversitesi Makine Mühendisliği Bölümü
2 . 3
DİNAMİK DERS NOTLARI / Prof. Dr. Mehmet Zor
2
23.08.2024
2.3.1 Genel Açıklama: İmpuls-Momentum yöntemi F = ma denkleminin yine farklı şekilde yorumlanmış hali olup, özellikle kuvvetin zamana bağlı bir fonksiyon olarak tanımlandığı durumlarda veya çok kısa süreli etki ettiği çarpışma problemlerinde işe yarar ve sonuca daha kolay ulaşmamızı sağlar. Amacımız yine, kinetik analizlerle bir t anındaki cismin konum, hız, ivmesini veya dış kuvvetlerden bilinmeyenleri tespit etmektir.
2.3.2 mpuls ve Momentum Kavramları:
Newton’un 2.kanunu F=ma denklemini vektörel olarak yazıp aşağıdaki işlem adımlarıyla farklı bir formata sokabiliriz:
(Doğrusal) impulsu:
(Doğrusal) momentumu :
Bir t anında cismin
2.3 Maddesel Nokta Kinetiği / İmpuls ve Momentum
(I) denklemini biraz daha düzenlersek ..>>
(I)
DİNAMİK DERS NOTLARI / Prof. Dr. Mehmet Zor
3
23.08.2024
2.3.3 İmpuls-Momentum Denklemleri:
(2.20)
(2.21a)
2.3 Maddesel Nokta Kinetiği / İmpuls ve Momentum
Daha açık ifadesiyle
(2.21b)
(2.21c)
a-) Tek Maddesel Nokta için:
DİNAMİK DERS NOTLARI / Prof. Dr. Mehmet Zor
4
23.08.2024
b-) Maddesel Noktalar Sistemi İçin:
Şimdi örnekler çözerek konuyu daha iyi anlamaya çalışalım..>>
(2.22.a)
2.3 Maddesel Nokta Kinetiği / İmpuls ve Momentum
B
C
A
C
A
B
B
C
A
(x yönün için):
Vektörel (toplam 1 denklem):
Birden fazla maddesel noktanın birleşmesiyle oluşmuş bir sistemde impuls-momentum denklemlerinin açık ve genel ifadeleri, vektörel ve skaler olarak aşağıda özetlenmiştir.
(2.22.b,c,d)
Skaler (toplam 3 denklem)
Şekil 2.40
DİNAMİK DERS NOTLARI / Prof. Dr. Mehmet Zor
5
26.12.2024
A
P (t)
μ = 0.4
t(s)
P (N)
16N
-4N
8
4
Çözüm:
1
P (t)
2
x
P (t)
t(s)
P (N)
16N
-4N
8
4
A2 bölgesinde P kuvveti « –x» yönüne döner.
sabit kuvvet
Örnek 2.3.1 2 m/s lik hızla sağa doğru hareket etmekte olan 1kg lık cisme, şekildeki diyagramdaki gibi zamanla değişken P kuvveti etki etmektedir. Sürtünme katsayısı 0.4 olduğuna göre, a-) P=-4N olduğu anda cismin hızını,
b-) P kuvvetinin +x yönünde cisme kazandıracağı maksimum hızı hesaplayınız.
2.3 Maddesel Nokta Kinetiği / İmpuls ve Momentum
y
a-)
x doğrultusunda impuls-momentum denklemi:
Şekil 2.41
Şekil 2.42
x
y
DİNAMİK DERS NOTLARI / Prof. Dr. Mehmet Zor
6
26.12.2024
b-)
(+x yönünde ortaya çıkan maksimum hızdır.)
t(s)
kuvvet
16N
-4N
8
4
0
5
Çalışma Ödevi: - x yönünde cismin kazanabileceği maksimum hızı hesaplayınız. (Bunu hesaplarken, cismin hızının –x yönünde olduğu andan itibaren sürtünme kuvvetinin de +x yönüne döneceğine dikkat ediniz. Bulduğunuz sonuçları arkadaşlarınız ki ile karşılaştırınız ve doğru sonucu bulana kadar aranızda çözümlerinizi tartışınız,)
2.3 Maddesel Nokta Kinetiği / İmpuls ve Momentum
0-5 saniyeleri arasında P denklemi :
+x yönündeki net kuvvet pozitif kaldıkça hız o yönde sürekli artar.
(I) denklemine göre net kuvvet 3ncü saniyeye kadar pozitif kalır, 3ncü saniyede sıfır olur, sonra negatif olur. Bu durum grafikten de anlaşılmaktadır. O halde +x yönündeki maksimum hız 3ncü saniyede ortaya çıkacaktır. Bu hızı hesaplamak için 0-3 saniyeleri arası impuls-momentum denklemini yazalım:
(I)
3
12N
P kuvvetinin cisme +x yönünde kazandıracağı maksimum hızı hesaplayacağız.
Sonuç:
DİNAMİK DERS NOTLARI / Prof. Dr. Mehmet Zor
7
23.08.2024
2kg
2.3.4 Kinetik çözüm yöntemlerinin bir örnekle karşılaştırılması
F=10N
t =8. saniye
Durmakta olan 2kg kütleli kutuya, sürtünmesiz yatay zeminde, sabit ve yatay F=10N luk kuvvet etki ettiğinde, kutunun 8.saniyedeki hızını,
a-) D’Alembert Prensibini (F=ma) kullanarak,
b-) İş-Enerji Yöntemini kullanarak,
c-) İmpuls – Momentum Yöntemini kullanarak hesaplayınız.
a-)
D’Alembert Prensibi ile
: sabit
İş – Enerji Yöntemiyle
c-) İmpuls – Momentum Yöntemiyle
Dış Kuv. Sistemi
Efektif Kuv. Sistemi
F=10N
(DDDH) :
b-)
(x doğrultusunda)
Örnek 2.3.2
Çözüm
2.3 Maddesel Nokta Kinetiği / İmpuls ve Momentum
Şekil 2.43
DİNAMİK DERS NOTLARI / Prof. Dr. Mehmet Zor
8
23.08.2024
Şekildeki 1 kg’lık bloğa yatay doğrultuda zamanla değişen F kuvveti, AB yolu boyunca 4 saniye süre ile grafikteki gibi uygulanmıştır. Bloğun başlangıçtaki hızı sağa doğru 2 m/s ’dir. F kuvveti kaldırıldığında blok B noktasına ulaşmıştır. AB yolu sürtünmesizdir. B noktasından itibaren blok μ =0.6 kinetik sürtünme katsayısına sahip yola giriyor ve C noktasında duruyor. C noktasının B den uzaklığını bulunuz.
Örnek 2.3.3
Çözüm:
C
2.3 Maddesel Nokta Kinetiği / İmpuls ve Momentum
Şekil 2.44
Şekil 2.45.a
Şekil 2.45.b
DİNAMİK DERS NOTLARI / Prof. Dr. Mehmet Zor
9
23.08.2024
1m/s
300
F
50N
F (N)
t (s)
50
-50
2
4
2.3 Maddesel Nokta Kinetiği / İmpuls ve Momentum
Şekil 2.46
DİNAMİK DERS NOTLARI / Prof. Dr. Mehmet Zor
10
23.08.2024
2.3 Maddesel Nokta Kinetiği / İmpuls ve Momentum
Şekil 2.47
DİNAMİK DERS NOTLARI / Prof. Dr. Mehmet Zor
11
23.08.2024
2.3.5 İmpulsif Kuvvetler:
Bir cisme çok kısa zaman aralığı içerisinde etki etmesine rağmen cismin momentumunu ihmal edilemeyecek seviyede değiştiren yüksek şiddette kuvvetlere impulsif kuvvetler denir. (Beyzbol sopasının topa uyguladığı kuvvet impulsif kuvvetlere bir örnektir.)
=
2.3 Maddesel Nokta Kinetiği / İmpuls ve Momentum
Ağırlık kuvvetlerinin impusları, impulsif kuvvetlere göre çok küçüktür ve aksi söylenmedikçe ihmal edilir.
Şekil 2.48
DİNAMİK DERS NOTLARI / Prof. Dr. Mehmet Zor
12
23.08.2024
2.3.6 Momentumun Korunumu:
Bir maddesel nokta veya maddesel noktalar sisteminde dış kuvvetlerin impulslarının toplamı sıfır ise sistemin toplam momentumu değişmez yani momentum korunur.
Dikkat: Momentum korunuyorsa, enerji de korunur diyemeyiz.
Momentumun Korunumu Denklemi:
ise toplam momentum değişmez:
(2.23)
2.3 Maddesel Nokta Kinetiği / İmpuls ve Momentum
DİNAMİK DERS NOTLARI / Prof. Dr. Mehmet Zor
13
23.08.2024
Örnek : A kayığındaki adam boş B kayığını iple çekerken (sürtünmeler ihmal edilir)
2.3.7 Momentumun Korunumunda 2 önemli hal
1.Hal: Hareket sırasında dış kuvvetler sürekli birbirine dengelerse sistemin momentumu korunur.
A kayığı :
B kayığı :
Tüm Sistem:
(sistemin toplam momentumu korunur.)
+
2.3 Maddesel Nokta Kinetiği / İmpuls ve Momentum /Momentumun Korunumu
Şekil 2.49
DİNAMİK DERS NOTLARI / Prof. Dr. Mehmet Zor
14
23.08.2024
Momentum is conserved in the x-direction.
Örnek: Bir ipe bağlı topa alttan atılıp saplanan mermi. (ip gevşer ve ipte bir kuvvet oluşmaz.)
2.3 Maddesel Nokta Kinetiği / İmpuls ve Momentum /Momentumun Korunumu
Şekil 2.50
DİNAMİK DERS NOTLARI / Prof. Dr. Mehmet Zor
15
23.08.2024
Eğer mermi yukarıdan gönderilirse:
İpte bir impulsif kuvvet oluşur, bu durumda kuvvet yönünde momentum korunmaz.
x doğrultusunda momentum korunur.
Sisteme ait İmpuls-Momentum Denklemleri:
Vektörel:
Skaler:
y doğrultusunda momentum korunmaz.
2.3 Maddesel Nokta Kinetiği / İmpuls ve Momentum /Momentumun Korunumu
Şekil 2.51
DİNAMİK DERS NOTLARI / Prof. Dr. Mehmet Zor
16
23.08.2024
2.3.8 Çarpışma
1. Tip : Doğru Merkezsel Çarpışma:
Çarpışma Doğrultusu: Çarpışan cisimlerin ağırlık merkezlerini birleştiren doğrultudur.
Cisimlerin çarpışmadan önceki ve sonraki hız doğrultuları ile çarpışma doğrultusu çakışır:
Çarpışmayı 2 farklı tipe ayırabiliriz:
Çarpışma sonrası
Çarpışma doğrultusu
2. Tip : Eğik Merkezsel Çarpışma:
Cisimlerin çarpışmadan önceki ve sonraki hız doğrultuları ile çarpışma doğrultusu çakışmaz.
Çarpışma öncesi
Çarpışma doğrultusu
Şimdi hedefimiz, her iki çarpışma tipi için, çarpışmadan önceki hızlar belli iken çarpışma sonrası hızları bulmaktır…. >>
Çarpışma öncesi
Çarpışma sonrası
2.3 Maddesel Nokta Kinetiği / İmpuls ve Momentum /Momentumun Korunumu
Şekil 2.52
Şekil 2.53
DİNAMİK DERS NOTLARI / Prof. Dr. Mehmet Zor
17
23.08.2024
2.3.8.1) 1.Tip Doğru Merkezsel Çarpışma:
Tüm sistem için momentum korunur:
A
B
A
B
A
B
Çarpışma öncesi
(Çarpışma anında çok kısa bir süre için cisimler malzeme cinsine bağlı olarak şekil değiştirir, maksimum şekil değiştirme konumunda ortak bir u hızına sahip olur. Daha sonra ilk hallerine geri dönüp son hızlarını kazanmış olurlar. )
Çarpışma anı
Çarpışma sonrası
x yönünde impuls-momentum denklemleri:
A topu için:
B topu için:
Çarpışma öncesi
Max. Şekil Değiştirme süresince İmpuls
Geri Dönüş
süresince İmpuls
Çarpışma sonrası
(2.24)
2.3 Maddesel Nokta Kinetiği / İmpuls ve Momentum /Momentumun Korunumu
Şekil 2.54
Şekil 2.55
Şekil 2.56
DİNAMİK DERS NOTLARI / Prof. Dr. Mehmet Zor
18
11.11.2025
2.3.8.1.a) Çarpışma Katsayısı (e):
A ve B toplarının hareketini 2 aşamada düşünürsek:
Çarpışma katsayısı (e) hesabı:
Çarpışma anı
Çarpışma öncesi
Max. Şekil Değiştirme süresince İmpuls
Geri Dönüş
süresince İmpuls
Çarpışma sonrası
Çarpışma anı
Çarpışma öncesi
Max. Şekil Değiştirme süresince İmpuls
Geri Dönüş
süresince İmpuls
Çarpışma sonrası
Çarpışma anı
Çarpışan cisimlerin malzemeleri ile alakalı katsayıdır.
(2.25)
A Topunun hareketinden
B Topunun hareketinden
( II )
( I )
(I ) ve (II) denklemlerinden
1
1
2
2
A
Çarpışma anı
A
B
B
B
B
B
B
A
A
A
A
2.3 Maddesel Nokta Kinetiği / İmpuls ve Momentum /Momentumun Korunumu
Şekil 2.57
Şekil 2.58
Şekil 2.59
Şekil 2.60
DİNAMİK DERS NOTLARI / Prof. Dr. Mehmet Zor
19
23.08.2024
Aynı doğrultuda fakat zıt yönlerde hareket eden A ve B vagonları birbirleriyle yavaşça çarpışıp birleşiyor.
a-) Birleşmeden (çarpışmadan) sonraki ortak hızlarını,
b-) birbirlerine uyguladıkları ortalama kuvveti hesaplayınız.
Kütleler : mA =15ton, mB = 12ton,
çarpışmadan önceki hızlar:
vA =1.5m/s ve vB = 0.75m/s,
Çarpışma süresi : 0.8 saniye
Çözüm:
Çarpışma sırasında tüm sistemin momentumu korunur.
A vagonu için yazarsak:
a-)
b-)
(Birleşme) Çarpışma sonrası ortak hız: v2
Örnek 2.3.4
2.3 Maddesel Nokta Kinetiği / İmpuls ve Momentum /Momentumun Korunumu
x
x
Tek vagon için momentum korunmaz.
İmpuls-Momentum denklemi yazılabilir.
Şekil 2.61
Şekil 2.62.a
Şekil 2.62.b
DİNAMİK DERS NOTLARI / Prof. Dr. Mehmet Zor
20
11.11.2025
Örnek 2.3.5
2kg kütleli Bir A kutusu 18m/s hızla sağa doğru ilerlerken, C noktasından itibaren aynı yönde F=3t2-t+3 şeklinde zamanla değişen bir kuvvet 2 saniye boyunca (D noktasına kadar) A kutusuna etki etmektedir. Kuvvet D noktasında kaldırıldıktan sonra, A kutusu, sola doğru 12m/s lik sabit hızla gelen 1kg B kutusu ile E noktasında çarpışıyor. Çarpışma katsayısı e=0.5 olduğuna göre, çarpışmadan sonraki A ve B kutularının hızlarını hesaplayınız. Sürtünmeleri ihmal ediniz.
A
B
F=3t2-t+3
D
E
C
Çözüm..>>
2.3 Maddesel Nokta Kinetiği / İmpuls ve Momentum /Momentumun Korunumu
Şekil 2.63
DİNAMİK DERS NOTLARI / Prof. Dr. Mehmet Zor
21
11 October, 2025
A
B
F=3t2-t+3
A
C
D
A
B
E
Çözüm:
(1)
C-D arası A kutusu için İmpuls - Momentum Denklemi :
(D-E arasında sürtünme olmadığından A kutusunun hızı değişmez.)
e=0.5
:sabit
E noktasındaki çarpışma
(2)
2.3 Maddesel Nokta Kinetiği / İmpuls ve Momentum /Momentumun Korunumu
Şekil 2.64
DİNAMİK DERS NOTLARI / Prof. Dr. Mehmet Zor
22
23.08.2024
A
B
k
k
C
D
Soru 2.3.3 (*)
2.3 Maddesel Nokta Kinetiği / İmpuls ve Momentum /Momentumun Korunumu
Şekil 2.65
DİNAMİK DERS NOTLARI / Prof. Dr. Mehmet Zor
23
23.08.2024
2.3.8.2) 2.Tip Eğik Merkezsel Çarpışma:
Bilinmeyenleri içeren 4 bağımsız lineer denklem aşağıdaki işlemlerle bulunur.:
A
B
: Cisimlerin hız doğrultuları ile çarpışma doğrultusu farklıdır.
4-) Çarpışma katsayısı, x yönünde yazılır:
Bu durumda y yönünde bir impuls etki etmeyeceğinden, cisimlerin bu yöndeki momentumları ayrı ayrı korunur.
(2.26.a)
(2.26.b)
(2.26.c)
(2.26.d)
A
B
y
x
çarpışma doğrultusu
Bu sebeple tüm sistemin x yönündeki momentumu korunur:
2.3 Maddesel Nokta Kinetiği / İmpuls ve Momentum /Momentumun Korunumu
Şekil 2.66
Şekil 2.67
DİNAMİK DERS NOTLARI / Prof. Dr. Mehmet Zor
24
23.08.2024
Örnek 2.3.6
Bir bilardo oyuncusu A topunu B topuna vurdurup, her iki topu da deliklere sokmak istiyor. Bunun için bilardo sopası ile A topuna, düşeyle 30o lik açı yapacak şekilde vuruyor ve 6m/s lik bir hız kazandırıyor. Bilardocunun amacına ulaşma şartlarını belirleyiniz. (Başlangıçta her iki top da durağan haldedir. Sürtünmeleri ve topların boyutlarını ihmal ediniz. Çarpışma katsayısı e = 0.5 dir, topların kütleleri aynı, yarıçapları 30mm dir. Çarpışma anında topların temas noktaların ortak teğeti düşey doğrultudadır.)
A
B
30o
A
B
0,142m
1.4m
rA=rB=30mm
vA =6m/s, vB=0
e=0.5
Toplar deliklere girer mi?
Çözüm..>>
(Video 2.3b – Örnek 2.10)
2.3 Maddesel Nokta Kinetiği / İmpuls ve Momentum /Momentumun Korunumu
Şekil 2.68
DİNAMİK DERS NOTLARI / Prof. Dr. Mehmet Zor
25
23.08.2024
Çözüm:
AD doğrultusunda ise D deliğine girer.
Bu çarpışma tipi eğik merkezsel çarpışmadır.
1-2) A ve B toplarının momentumlarının y bileşenleri korunur.
BC doğrultusunda ise C deliğine girer.
2.3 Maddesel Nokta Kinetiği / İmpuls ve Momentum /Momentumun Korunumu
30o
0,142m
2r
1,4m
A
D
B
C
Şekil 2.69
Aşağıdaki 4 denklemle 4 bilinmeyen bulunur:
DİNAMİK DERS NOTLARI / Prof. Dr. Mehmet Zor
26
23.08.2024
3-) x yönünde sisteminin momentumu korunur:
(I)
4-) x yönünde çarpışma katsayısı:
(II)
(I) ve (II) den
2.3 Maddesel Nokta Kinetiği / İmpuls ve Momentum /Momentumun Korunumu
bulunur.
30o
0,142m
2r
1,4m
A
D
B
C
2.Şart: Çarpışma katsayısı bilardo toplarının malzeme cinsiyle ilgilidir. Topların malzemesi e=0.5 lik bir çarpışma katsayını sağlayacak şekilde olmalıdır.
Şekil 2.70
DİNAMİK DERS NOTLARI / Prof. Dr. Mehmet Zor
27
23.08.2024
Soru 2.3.4 (*)
2.3 Maddesel Nokta Kinetiği / İmpuls ve Momentum / Momentumun Korunumu
Şekil 2.71
DİNAMİK DERS NOTLARI / Prof. Dr. Mehmet Zor
28
23.08.2024
Vektörel hesabı:
Moment alınan nokta
Cismin bulunduğu nokta
(veya yörünge teğet üzerinde herhangi bir nokta olabilir.)
O andaki doğrusal momentum
Açısal Momentumun zamana göre 1nci türevi dış kuvvetin o noktaya göre momentine eşittir.
(2.27)
(2.28)
2.3.9 Açısal momentum ve Açısal İmpuls: Bazı özel problemlerde daha kolay çözüme erişmemizi sağlayan kavramlardır.
(Aynı yöndeki vektörlerin vektörel çarpımı sıfırdır.)
2.3.9.2 Açısal İmpuls : Dış kuvvetin momentinin impulsudur.
Bir zaman aralığı için hesaplanır:
(2.29)
2.3 Maddesel Nokta Kinetiği / İmpuls – Momentum Yöntemi /Açısal İmpuls – Açısal Momentum
Şekil 2.72
DİNAMİK DERS NOTLARI / Prof. Dr. Mehmet Zor
29
23.08.2024
2.3.9.3 Açısal İmpuls – Açısal Momentum İlkesi:
Maddesel noktalar sistemi için:
1-2 konumları arasında açısal momentum-açısal impuls denklemi:
(Açısal İmpuls)
(2.30a)
(2.28)
(2.31)
Denklemini tekrar hatırlarsak:
(2.30b)
Daha açık ifadesiyle:
Düzlemsel Harekette skaler 1 denklem yazılabilir.
(d1 ve d2 dik uzaklıklar):
Düzlemsel Hareket
(2.32)
3 Boyutlu Hareket
ise açısal momentum korunur.
(2.33)
2.3.9.4 Açısal Momentumun Korunumu: 2.30a ve 2.30b denklemlerine dikkat edersek,
2.3 Maddesel Nokta Kinetiği / İmpuls – Momentum Yöntemi /Açısal İmpuls – Açısal Momentum
Şekil 2.73
Şekil 2.74
DİNAMİK DERS NOTLARI / Prof. Dr. Mehmet Zor
30
23.08.2024
A
B
O
(Video 2.4 – Örnek 2.3.c.1)
Örnek 2.3.7
2.3 Maddesel Nokta Kinetiği / İmpuls – Momentum Yöntemi /Açısal İmpuls – Açısal Momentum
Şekil 2.75
DİNAMİK DERS NOTLARI / Prof. Dr. Mehmet Zor
31
23.08.2024
Çözüm:
- N ve W hareketin her anında birbirine dengeledikleri için harekete etkisi yoktur.
Arabanın henüz harekete başlamamış olduğunu düşünüyoruz.:
2 konumu:
1 konumu:
Topun radyal hızı arabanın hızına eşittir:
(soruda verilmiş)
(hesaplanacak)
2 konumunda ipin boyu:
2.3 Maddesel Nokta Kinetiği / İmpuls – Momentum Yöntemi /Açısal İmpuls – Açısal Momentum
B
O
W
N
W
N
F
F
1
2
B’
s
A
A’
teğet
teğet
yörünge
Şekil 2.76
DİNAMİK DERS NOTLARI / Prof. Dr. Mehmet Zor
32
23.08.2024
B
O
W
N
W
N
F
F
1
2
B’
s
A
A’
teğet
teğet
yörünge
F
F
F
2.3 Maddesel Nokta Kinetiği / İmpuls – Momentum Yöntemi /Açısal İmpuls – Açısal Momentum
Şekil 2.77
Şekil 2.78
DİNAMİK DERS NOTLARI / Prof. Dr. Mehmet Zor
33
23.08.2024
Çözüm:
İşaret hatası yapmamak için Vektörel çözüm yapacağız.
Sağ el kaidesine göre M moment vektörü –z yönündedir:
z yönündeki açısal impuls-açısal momentum denklemi:
60 N luk tekil kuvvetin toplam momenti :
C kütlesinin O noktasına göre açısal momentumları:
2.3 Maddesel Nokta Kinetiği / İmpuls – Momentum Yöntemi /Açısal İmpuls – Açısal Momentum
Şekil 2.79
DİNAMİK DERS NOTLARI / Prof. Dr. Mehmet Zor
34
23.08.2024
Soru 2.3.5 (*)
2.3 Maddesel Nokta Kinetiği / İmpuls – Momentum Yöntemi /Açısal İmpuls – Açısal Momentum
Şekil 2.80