3-3保守力與位能
物體因速度因而具有動能外，
物體也會因為位置、形狀的不同而具有能量，
而這種能量便稱為位能。
位能
3-3 保守力與位能
例：
水力發電
(因為水高低位置不同而具有能量)
彈簧
(因為形狀不同而具有能量)
之前我們只探討單一質點的功能原理，
以下則是討論一個系統中所有的力(外力和內力)做功的情況，
當分析物為系統時，除了外力會做功外，
系統中的內力也會作功，
此節便是討論系統間的能量問題。
內力雖會作功使系統的能量產生能量變化，但不會改變系統動量。
位能
3-3 保守力與位能
若一系統中有兩質點m1和m2，兩質點分別受外力F1和F2
又分別受f21和f12的內力，若外力F1、F2所作的總功為We
而內力所作的總功為Wi，系統一開始的總動能為K、末動能為K'，則：
1.內力作功
總功W = 外力做功+內力作功
取系統時，外力加內力所作的總功會等於系統的動能變化
3-3 保守力與位能
1.內力作功
F
F
S2
S1
因此內力不會造成系統的動量發生改變
3-3 保守力與位能
若系統間之內力所作的功，只和質點的始末位置有關
而和速度、時間、路徑等其它因素無關
此時系統的內力稱為保守力
2.保守力
A
B
保守力
3-3 保守力與位能
2a.保守力
3-3 保守力與位能
2b.非保守力
a
b
Ⅰ
Ⅱ
+
_
最常見的非保守力就是摩擦力
3-3 保守力與位能
3.位能 U
將W 分為內力作功和外力作功
將內力所作的功分為
保守內力作功 & 非保守力作功
(接下頁)
3-3 保守力與位能
3.位能 U
A
B
(接下頁)
3-3 保守力與位能
A
B
3.位能 U
3-3 保守力與位能
A
B
3.位能 U
經整理後可得：
3-3 保守力與位能
4.位能的特性 A.
A.位能為系統所共有
內力
因為位能為保守內力所作的功換出來的，
而內力是作用在系統中的兩物之間，
因此位能亦是儲存在系統之間。
← e.g. 重力位能其實是儲存在地球和物體之間
3-3 保守力與位能
4.位能的特性 B.
B. ∆U為保守內力所作的功之負值
3-3 保守力與位能
4.位能的特性 C.
C. ∆U可想像為外力抵抗內力所作的功
可看成是：
外力作功被系統
以位能型態儲存起來
3-3 保守力與位能
4.位能的特性 D.
D. 將保守力所作的功換成位能後
便不可再理會此保守力
高中會遇到的保守力與其功配對：
重力 → 重力位能
彈力 → 彈力位能
靜電力 → 電位能
3-3 保守力與位能
4.位能的特性 總整理
3-3 保守力與位能
3-3-1. 一初速為 6.0 m／s之木塊沿著一光滑水平面運動，經過一中央光滑凹區，抵達另一高1.1 m之水平粗糙面，木塊與粗糙面間之動摩擦係數 μk 為 0.6，求木塊在粗糙面上經過多少距離後會停下？
0.5m
0.5m
U=0
3-3-2. 兩木塊質量分別為 0.5 kg 及 1.5 kg，以細繩相連如右圖。設平面很光滑，滑輪的質量可忽略。若木塊自靜止釋放，求木塊 m 下落50 cm 時的速率為多少？
v
3-3-3. 一長度為L，質量為m的均勻繩子，其2/3長度置於一無摩擦力之水平桌面，另外1/3L長度則懸掛於桌外，(1)則將此繩自由釋放，恰離桌面時，速率若干？(2)若欲拉回桌面，需作功多少？
3-3-4. (1)如下圖在一半圓形碗的頂端放一球，球質量為m，碗質量為M，碗半徑為R，重力加速度為g，碗為光滑1.若碗固定在地上，則球下滑至碗底時，球速度為何？ (2)若碗沒有固定在地面，且地面亦為光滑，則球下滑至碗底時，球速度為何？
m
m
3-3-5. 一擺長為 L 之單擺，上端固定，下端繫有質量為 m之物體。自與垂直線之夾角為 θ自由釋放，求擺線在：(1) 最高點處之張力。(2) 最低點處之速率。(3) 最低點處之張力。
3-3-6. 利用輕繩使小球作一鉛直面的圓週運動，若要使小球恰轉一圈所需要的條件為何？
先分析下半圓
再分析上半圓
最高點時
物在最高點時其速度為v
極限情況時，最高點之T=0
若將輕繩改成光滑圓形軌道，則情況相同
由左可見物體在光滑軌道內運動時，物體所受的力和輕繩相似，只是將張力T改為正向力N
若將輕繩改成輕桿時
3-3-7.有一光滑曲面，底部為半徑 R 之圓環形，一質量 m 的木塊自曲面左端上方P 點靜止釋放後，可在曲面上滑動。若欲讓木塊能抵達圓環最上端 Q 處，仍不會脫離曲面壁墜落，求木塊至少需在多少高度處釋放？
3-3-8.一擺長為 L 的單擺，在懸掛點正下方 L 處放置一木栓，可阻擋單擺運動，如右圖所示。(1) 若擺錘自水平位置釋放，在單擺觸及木栓後，擺錘達到最高點時，擺線上的張力為何？(2) 驗證若單擺在觸及木栓後，擺錘在最高點處的擺線張力恰為0 時，則擺錘最初釋放處與垂直線之夾角滿足cosθ＝3/8。
3-3-9.一擺長為R 的單擺懸於牆上O 點。在O 點的正下方距離H 處（H＜R）有一水平細桿O′，細桿垂直進入牆面。今拉擺錘至擺線呈水平後放開（如右圖所示），若要擺錘在細桿擋住擺線後，仍能繞細桿作完整的圓周運動，則H/R 的最小比值應為
3-3-10.在遊樂園裡，遊客從大球面頂端，自靜止開始沿光滑球面下滑，落入水中，如下圖。求θ為何時，遊客會脫離球面？
A
B
O
C
D
D
簡諧運動: 若物體做簡諧運動時，物體受合力F = -kx (物體所受外力大小和物體和平衡點的距離成正比，此和水平放置的彈簧相似
在鉛直S.H.M中，物體所受合力為重力和彈力，則此位能可取代Ug + Us。
2.計算總力學能不可用K + U
雖然利用U代表Ug + Us，但U≠Ug + Us只是
Δ U=ΔUg + ΔUs
能量表: 一彈簧力常數為k，其下吊一質量為m的物體，待其平衡後，用一外力F慢慢的將物體向下拉x的距離，則彈簧的振盪週期為？
m
m
mg = kx
(原長 掛m平衡 下拉 X)
X
X
A
O
B
Ug | UK | K(動能) | E(總能) |
2mgx | 0 | 0 | 2mgx |
mgx | | | |
0 | | 0 | |
K + Ug + Us + W = K’ + Ug’ + Us’
設平衡點處的重力位能為0則
3-3-12 如右圖，一彈簧力常數為k，其下吊一質量為m的物體，待其平衡後，用一外力f慢慢的將物體向下拉x的距離，則外力做功多少？
K + U + W = K’ + U’ 設平衡點處的U=0則
方法二
將重力和彈力所作總功換成合成位能U，物體在平衡點處的位能為0
3-3-13. 圖中之彈簧k=100 N/m，M=1.0 Kg，M自靜止在光滑斜面下滑，可將彈簧壓縮0.20公尺，問(g=l0 m/s2。)(1)M從下滑至靜止前滑行之距離。(2)若物體黏在彈簧上，則其振幅為何？(3)承(2)振動過程中的最大動能、最大彈力位能、最大加速度分別為何？