Tema 3�PROGRESIONES
Estándares
Contenido
1.Sucesiones
Una sucesión es un conjunto ordenado de números reales:
a1, a2, a3, a4, a5…
Cada número que forma la sucesión se llama término y se designa por ai, donde i indica el lugar que ocupa en la sucesión.
1.1. Regla de formación de una sucesión
Existen sucesiones en las que se pueden determinar su términos a partir de un cierto criterio; a este criterio se le llama regla de formación.
Para determinarla, estudiamos la relación entre los términos y la posición que ocupan.
Actividad clase 1�Escribe la regla de formación y los términos a5 y a7 de cada una de las sucesiones.
1.2. Término general en una sucesión
El término general en una sucesión es una expresión algebraica que nos permite calcular cualquier término de una sucesión sabiendo el lugar que ocupa. Se representa por. an.
Ejemplo.
Halla el término general de cada sucesión:
Cada término es el lugar que ocupa multiplicado por 3.
Si llamamos n al lugar que ocupa término general an =3n
Cada término es el lugar que ocupa sumándole 2.
término general an =n+2
Actividad clase 2�Escribe los término a1, a3 y a10 de las sucesiones que tienen como término general:
Actividad clase 3�Halla el término general de las siguientes sucesiones:
2.Progresión aritmética
Una progresión aritmética es una sucesión en la que cada término (menos el primero) se obtiene a partir del anterior sumándole un número fijo llamado diferencia (d).
Se cumple que:
Ejemplos:
d=5
d=1
2.1. Término general en una progresión
aritmética
En una progresión aritmética, cada uno de los términos es igual al anterior más la diferencia.
El término general de una progresión aritmética es:
Siendo:
el primer término
d la diferencia
Actividad clase 4�Obtén la diferencia y el primer término de estas progresiones.
Ejemplos�Halla el término general de estas progresiones aritméticas.
Obtenemos a1 despejando la fórmula:
3. Sustituimos en la expresión del término general de P.A.
Actividad clase 5�En una progresión aritmética el tercer término es 30 y la diferencia es 10. Halla el primer término y el término general.
Actividad clase 6�Escribe el término general de las siguientes progresiones aritméticas:
2.2. Suma de los n primeros términos
de una progresión aritmética
Ejemplo
Halla la suma de los 10 primeros términos de una sucesión cuyo primer
término es a1=3 y a10=21.
Actividad clase 7�Calcula la suma de los 20 primeros términos de estas progresiones aritméticas.
a) 2, 6, 10, 14…
Ejercicio 26 pg. 57�Quiero colocar 7 filas de macetas de manera que en la primera pondré 3 macetas, y cada una de las siguientes filas tendrá 3 macetas más que la anterior. ¿Cuantás macetas colocaré en total?
3.Progresión geométrica
Una progresión geométrica es una sucesión en la que cada término (menos el primero) se obtiene multiplicando el anterior por un número fijo, r, llamado razón de la progresión.
Se cumple que:
Ejemplos:
r=2
r=-3
3.1. Término general en una progresión
geométrica
El término general de una progresión geométrica es:
Ejemplos�Halla el término general de estas progresiones aritméticas.
Sustituimos en la fórmula del término general:
Actividad clase 8�En una progresión geométrica sabemos que el 4 término es 13 y la razón 2. Averigua el primer término y el término general.
Actividad clase 9�Sea la progresión 2, -6, 18, -54… halla su término general.
Actividad clase 10
Sabemos que en una partícula se reproduce según una progresión geométrica y se monitorizan sus datos diariamente. Halla el término general de la progresión sabiendo que el segundo día había 12 partículas y el cuarto día 1928.�
2.2. Suma de los n primeros términos
de una progresión geométrica
Ejemplo
Halla la suma de los 8 primeros términos de una progresión geométrica cuyo primer término es a1=-2 y su razón 3:
Actividad clase 11
Calcula la suma de los 5 primeros términos de estas progresiones geométricas:
Ej. 44 pg. 61
El sábado pasado, Paula envió un correo electrónico a tres amigos. Al día siguiente, cada uno de los amigos de Paula que recibieron el correo lo reenviaron a otros tres amigos, y así sucesivamente. Si ninguna persona ha recibido el correo más de una vez, calcula cuántas personas recibieron el mensaje hasta el sábado siguiente.
4. Interés compuesto
Un interés compuesto es cuando depositamos un capital durante un periodo de tiempo, t, a un rédito r%, obteniendo unos intereses añadidos al capital.
Se trata de una progresión geométrica donde:
El capital final, Cf, obtenido al invertir a un rédito, r%, un capital, C, durante un tiempo t, a interés compuesto es de:
Actividad clase 12
Calcula el capital final que se obtendrá al invertir 15000 euros con un interés compuesto al 4,5% anual durante 3 años.
5. Problemas
Actividad clase 13
Sea una PA cuyo quinto término es 2 y su diferencia -3. Determina su término general y su décimo término.
Actividad clase 14
Dada la siguiente progresión 2,-3,4.5,-6… determina su término general y la suma de sus 8 primeros términos.
Actividad clase 15
Mark Marquez va bajando su tiempo 2,5 segundos cada vuelta. En su décima vuelta ha marcado un tiempo de 105 segundos. Determina cuánto tiempo tardó en dar las 10 vueltas.
Actividad clase 16
En cierta ciudad, se realizó un estudio para ver el crecimiento de la población año tras año. Al tercer año, la población era de 7200 personas, mientras que al quinto año era de 10368 personas. Sabiendo que el crecimiento se ajusta a una PG, calcula la población a los diez años.
Actividad clase 17
La empresa 1 tiene unos beneficios de 1000€ el primer mes y va aumentando en 500€ su beneficio mensualmente.
La empresa 2 tiene el primer mes 20€ de beneficio, pero va duplicando su beneficio cada mes.
Determina qué empresa habrá obtenido mayore beneficio a final de año.
Actividad clase 18
Halla los primeros 5 números en progresión aritmética de diferencia -3 sabiendo que el décimo número es -21.
Actividad clase 19
Los lados de un triángulo están en progresión aritmética, siendo cada uno 2cm mayor que el anterior. Si su perímetro es de 15cm. Determina el valor de los tres lados.
Actividad clase20
Halla los tres primeros números en progresión geométrica de razón 4, sabiendo que el quinto es 1280.
Actividad clase 21
Halla cuatro números en progresión geométrica con razón 2, sabiendo que su suma es 45.