POWTÓRZENIE WIADOMOŚCI
DO EGZAMINU
Z MATEMATYKI
LICZBY
KURS PRZEZNACZONY DLA UCZNIÓW KLAS TRZECICH GIMNAZJUM
PRZYGOTOWANY NA PODSTAWIE KALENDARZA GIMNAZJALISTY GWO oraz VADEMECUM MATEMATYKA KROK PO KROKU wydawnictwa OPERON
1
Tydzień I
Działania na liczbach
2
W pierwszym tygodniu przygotowań do egzaminu gimnazjalnego z matematyki przypomnicie sobie informacje teoretyczne z podanych niżej tematów. Życzę udanej nauki.
Wiele informacji oraz zadań interaktywnych znajdziesz w e-podręczniku ORE
ZBIORY LICZBOWE
3
ZBIORY LICZBOWE
4
Liczby naturalne należą do zbioru liczb całkowitych, liczby całkowite i liczby naturalne należą do zbioru liczb wymiernych.
Zbiory liczb wymiernych i niewymiernych tworzą zbiór liczb rzeczywistych.
LICZBY NATURALNE
5
Kolejne slajdy dotyczą poniższych tematów:
DZIESIĄTKOWY
SYSTEM POZYCYJNY cz.1
6
Liczby zapisujemy za pomocą dziesięciu znaków - cyfr: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.
System pozycyjny oznacza, że wartość cyfry zależy od pozycji, jaką zajmuje ona w liczbie, np. w liczbie 1252 mamy dwie dwójki. W zapisie czytanym od prawej strony ku lewej, pierwsza 2 oznacza jedności, a druga dwójka setki.
System dziesiątkowy ponieważ jego podstawą jest liczba 10, tzn., że dziesięć jednostek rzędu niższego tworzy jedną jednostkę rzędu bezpośrednio wyższego. Posługujemy się następującymi rzędami dziesiętnymi: jedności, dziesiątki, setki, tysiące, dziesiątki tysięcy, setki tysięcy, miliony, dziesiątki milionów itd.
DZIESIĄTKOWY
SYSTEM POZYCYJNY cz.2
7
Każdą liczbę możemy zapisać jako sumę iloczynów cyfry danego rzędu
i wartości rzędu.
DZIESIĄTKOWY
SYSTEM POZYCYJNY cz.3
181
LICZBY
PIERWSZE i ZŁOŻONE
9
LICZBY
PARZYSTE i NIEPARZYSTE
10
Liczby parzyste - liczby, które dzielą się przez 2 np.:
8, 102, 70
Liczby nieparzyste - liczby, które nie dzielą się przez 2 np.: 7, 999, 7057
CECHY PODZIELNOŚCI LICZB
cz.1
11
Dzielnik | Cecha podzielności | Przykład |
2 | gdy ostatnią cyfrą jest: 0, 2, 4, 6 lub 8 | 60, 32, 94, 106, 698 |
3 | gdy suma cyfr dzieli się przez 3 | 483, bo 4+8+3=15 i 15 dzieli się przez 3 (15:3=5) |
4 | gdy liczba utworzona z jej dwóch ostatnich cyfr dzieli się przez 4 | 12648, bo 48 dzieli się przez 4 (48:4=12) |
5 | gdy ostatnią cyfrą jest: 0 lub 5 | 4590, 65895 |
9 | gdy suma cyfr dzieli się przez 9 | 3834, bo 3+8+3+4=18 i 18 dzieli się przez 9 (18:9=2) |
10 | gdy ostatnią cyfrą jest: 0 | 6980,5840,120 |
25 | gdy liczba utworzona z jej dwóch ostatnich cyfr to: 00, 25, 50, 75 | 123400, 34525,2350, 175 |
100 | gdy dwie ostatnie cyfry to dwa zera | 600, 568400 |
CECHY PODZIELNOŚCI LICZB
cz.2 dla chętnych
12
Dzielnik | Cecha podzielności | Przykład |
6 | gdy liczba dzieli się przez 2 i 3 | 1536, bo jest parzysta(ostatnia cyfra 6) i dzieli się przez 3 (1+5+3+6=15, 15:3=5) |
7 | gdy różnica między liczbą wyrażoną trzema ostatnimi cyframi danej liczby a liczbą wyrażoną wszystkimi pozostałymi cyframi tej liczby (lub odwrotnie) jest podzielna przez 7 | 88123, bo 123-88=35, a 35 dzieli się przez 7, 35:7=5 178346, bo 346-178=168, a 168 dzieli się przez 7, 168:7=24 |
8 | gdy jej trzy ostatnie cyfry tworzą liczbę podzielną przez 8 | 2832, bo 832 dzieli się przez 8 100064, bo 64 dzieli się przez 8 |
11 | gdy różnica sumy jej cyfr stojących na miejscach parzystych i sumy cyfr stojących na miejscach nieparzystych (lub odwrotnie) dzieli się przez 11 | 3948362, bo 9+8+6=23 i 3+4+3+2=12 oraz 32-12=11, a 11 dzieli się przez 11 19082745, bo 9+8+7+5=29 i 1+0+2+4=7 oraz 29-7 = 22, a 22 dzieli się przez 11 |
CECHY PODZIELNOŚCI LICZB
cz.3
13
ROZKŁAD LICZB
NA CZYNNIKI PIERWSZE
14
DZIELNIKI
15
NAJWIĘKSZY WSPÓLNY DZIELNIK
16
SPOSÓB OBLICZANIA NWD
17
WIELOKROTNOŚCI
18
NAJMNIEJSZA WSPÓLNA WIELOKROTNOŚĆ
19
SPOSÓB OBLICZANIA NWW
20
PORÓWNYWANIE
RÓŻNICOWE i ILORAZOWE
Porównywanie różnicowe
Jeżeli liczba a jest o pewną liczbę większa od liczby b, to liczba b jest o tę samą liczbę mniejsza od liczby a.
Przykład
Adam ma 15 znaczków, a Tomek ma 9 znaczków. O ile więcej znaczków ma Adam od Tomka? O ile Tomek ma mniej znaczków od Adama?
Rozwiązanie
o tyle znaczków więcej ma Adam
15-9=6
o tyle znaczków mniej ma Tomek
Porównywanie ilorazowe
Jeżeli liczba a jest pewną liczbę razy większa od liczby b, to liczba b jest tę samą liczbę razy mniejsza od liczby a.
Przykład
Adam ma 30 znaczków, a Tomek ma 15 znaczków. Ile razy więcej znaczków ma Adam od Tomka? Ile razy mniej znaczków ma Tomek od Adama?
Rozwiązanie
tyle razy więcej znaczków ma Adam
30:15=2
tyle razy mniej znaczków ma Tomek
21
DODAWANIE i ODEJMOWANIE
LICZB NATURALNYCH
22
MNOŻENIE i DZIELENIE
LICZB NATURALNYCH
23
DZIAŁANIA NA
LICZBACH NATURALNYCH
24
UWAGA
LICZBY CAŁKOWITE
25
Kolejna część prezentacji dotyczy liczb całkowitych
LICZBY PRZECIWNE, ODWROTNE
i WARTOŚĆ BEZWZGLĘDNA
26
LICZBY CAŁKOWITE
NA OSI LICZBOWEJ
27
Zbiór liczb całkowitych jest sumą zbioru liczb naturalnych dodatnich (N+={1,2,3,...}),
zbioru liczb przeciwnych do nich ({...,-3,-2,-1}) oraz zbioru jednoelementowego {0}.
Wśród liczb: -5,-3, -1, 0, 3, 5, 6
liczbami całkowitymi ujemnymi są: -5, -3 i -1
liczbami naturalnymi są : 0, 3, 5, 6
liczbami naturalnymi dadatnimi są: 3, 5, 6
Aby porównać liczby całkowite, najlepiej nanieść je na oś liczbową. Z liczb dodatnich ta jest większa, która leży dalej od punktu zero, a z liczb ujemnych ta jest większa, która leży bliżej punktu zero.
DODAWANIE LICZB CAŁKOWITYCH
28
Aby dodać dwie liczby o tych samych znakach, dodajemy ich wartości bezwzględne, a wynik zapisujemy z takim znakiem, jaki występował przy liczbach.
Przykłady:
5+8 =13
-6+(-2)= - (6+2) = - 8
Aby dodać dwie liczby o różnych znakach, od większej wartości bezwzględnej odejmujemy mniejszą , a wynik zapisujemy z takim znakiem, jaki miała liczba o większej wartości bezwzględnej.
Przykłady:
-25+36 = 36 - 25 = 11, wynik jest dodatni, bo l36l > l-25l
11+(-42)= - (42-11) = - 31, wynik jest ujemny, bo l-42l > l11l
ODEJMOWANIE
LICZB CAŁKOWITYCH
29
Każde odejmowanie możemy zastąpić dodawaniem do odjemnej liczby przeciwnej do odjemnika, czyli:
a - b = a + (-b)
Przykłady:
10 - 6 = 4
6 - 10 = 6 + (-10) = - (10 - 6) = -4
33 - 21 = 33 + (-21) = 12
MNOŻENIE i DZIELENIE
LICZB CAŁKOWITYCH
30
Jeżeli mnożymy lub dzielimy dwie liczby o jednakowych znakach (lub parzystą ilość liczb ujemnych), to wynik jest liczbą dodatnią.
Jeżeli mnożymy lub dzielimy dwie liczby o różnych znakach ( lub mnożymy nieparzystą ilość liczb ujemnych), to wynik jest liczbą ujemną.
Przykłady:
5 * 6 = 30 30 : 5 = 6
5 *(-6) = - 30 (-30) : 5 = -6
(-5) * (-6) = 30 (-30) : (-5) = 6
(-6) * 5 = - 30 30 : (-5) = - 6 (-2) * 3 * (- 3) = 18
(-2) * (-3) * (-3) = -18
LICZBY WYMIERNE
Ułamki zwykłe
Ułamki dziesiętne
31
UŁAMKI ZWYKŁE
UŁAMEK JAKO CZĘŚĆ CAŁOŚCI
32
UŁAMKI ZWYKŁE
UŁAMEK JAKO ILORAZ LICZB CAŁKOWITYCH
33
Ułamek może być zastąpiony ilorazem (dzieleniem) dwóch liczb całkowitych,
z których dzielna jest licznikiem, a dzielnik mianownikiem. Kreska ułamkowa zastępuje znak dzielenia.
Ułamek właściwy - licznik jest mniejszy od mianownika.
Ułamek niewłaściwy - licznik jest większy od mianownika lub równy mianownikowi.
Liczba mieszana - liczba zapisana za pomocą liczby naturalnej i ułamka właściwego.
UŁAMKI ZWYKŁE
SKRACANIE i ROZSZERZANIE UŁAMKÓW
34
UŁAMKI ZWYKŁE
ZAMIANA LICZBY MIESZANEJ NA UŁAMEK i ODWROTNIE
Aby zamienić liczbę mieszaną na ułamek, należy liczbę określającą całości pomnożyć przez mianownik, a następnie dodać licznik i wynik zapisać w liczniku ułamka. Mianownik pozostaje bez zmiany.
Aby zamienić ułamek na liczbę mieszaną, należy licznik podzielić przez mianownik. Otrzymana całość z tego dzielenia będzie całością liczby mieszanej, a resztę z dzielenia wpisujemy w miejsce licznika. Mianownik pozostaje bez zmiany.
35
UŁAMKI ZWYKŁE
SPROWADZANIE UŁAMKÓW DO WSPÓLNEGO MIANOWNIKA
36
Sprowadzanie ułamków do wspólnego mianownika polega na rozszerzaniu lub skracaniu poszczególnych ułamków, tak by otrzymać ułamki o jednakowych mianownikach. Aby znaleźć wspólny mianownik dla dwóch ułamków, można również znaleźć dla ich mianowników NWW (najmniejszą wspólną wielokrotność).
UŁAMKI ZWYKŁE
PORÓWNYWANIE UŁAMKÓW
Z dwóch ułamków o jednakowych mianownikach ten jest większy, który ma większy licznik.
Z dwóch ułamków o jednakowych licznikach ten jest większy, który ma mniejszy mianownik.
37
UŁAMKI ZWYKŁE
UŁAMKI NA OSI LICZBOWEJ
38
UŁAMKI ZWYKŁE
DODAWANIE i ODEJMOWANIE UŁAMKÓW ZWYKŁYCH
39
UŁAMKI ZWYKŁE
MNOŻENIE i DZIELENIE UŁAMKÓW ZWYKŁYCH
Aby pomnożyć dwa ułamki, mnożymy licznik przez licznik(wynik zapisujemy w liczniku) oraz mianownik przez mianownik (wynik zapisujemy w mianowniku)
Aby podzielić dwa ułamki, mnożymy pierwszy ułamek przez odwrotność drugiego ułamka.
40
lub
PRZYKŁADY DZIAŁAŃ
NA UŁAMKACH ZWYKŁYCH
41
UŁAMKI DZIESIĘTNE
ZAPIS LICZBY W POSTACI UŁAMKA DZIESIĘTNEGO
42
UŁAMKI DZIESIĘTNE
ZAMIANA UŁAMKÓW DZIESIĘTNYCH NA ZWYKŁE
43
Ułamek dziesiętny zamienia się na zwykły w następujący sposób:
Przykłady:
UŁAMKI DZIESIĘTNE
ZAMIANA UŁAMKÓW ZWYKŁYCH NA DZIESIĘTNE
44
UŁAMKI DZIESIĘTNE
UŁAMKI DZIESIĘTNE NA OSI LICZBOWEJ
45
UŁAMKI DZIESIĘTNE
PORÓWNYWANIE UŁAMKÓW DZIESIĘTNTCH
46
DODAWANIE i ODEJMOWANIE
UŁAMKÓW DZIESIĘTNYCH
47
MNOŻENIE
UŁAMKÓW DZIESIĘTNYCH
48
DZIELENIE
UŁAMKÓW DZIESIĘTNYCH
49
PRZYKŁADY DZIAŁAŃ
NA UŁAMKACH DZIESIĘTNYCH
50
ROZWINIĘCIA DZIESIĘTNE LICZB
51
ZAOKRĄGLANIE LICZB
52
Reguła | Przykłady | |
Jeśli pierwszą z odrzuconych cyfr jest: | To: | |
0,1,2,3,4 | ostatnią z zachowanych cyfr pozostawiamy bez zmian | 5694 ≈ 5690 0,73 ≈ 0,7 0,2 ≈ 0 |
5,6,7,8,9 | ostatnią z zachowanych cyfr zwiększamy o 1 | 3,508 ≈ 3,51 0,99 ≈ 1 105 ≈ 110 |
PRZYBLIŻENIA LICZB
53
Przybliżenie z nadmiarem - przybliżenie większe od liczby: zamiast 456 można powiedzieć około 500
Przybliżenie z niedomiarem - przybliżenie mniejsze od liczby: zamiast 608 można powiedzieć około 600
RZYMSKI SPOSÓB ZAPISU LICZB
54
ćwiczenie interaktywne
UŁAMKI DZIESIĘTNE
WYRAŻENIA DWUMIANOWANE i ICH POSTAĆ DZIESIĘTNA
55
Przykłady wyrażeń dwumianowanych:
3 kg 25 dag 1 zł 15 gr 4 km 257 m 6 h 35’
Dzięki ułamkom możemy wyrażenia te zapisać, używając tylko jednej jednostki.
Przykłady
5 kg 43 dag = 5,43 kg 1 kg = 100 dg, 1 dag = 0,01 kg
15 zł 3 gr = 15,03 zł 1 zł = 100 gr, 1 gr = 0,01 zł
8 km 25 m = 8,025 km 1 km = 1000 m, 1 m = 0,001 km
125m = 0,125 km
film dotyczący zamiany wyrażeń dwumianowanych
PODSTAWOWE JEDNOSTKI CZASU,
MASY, POWIERZCHNI i OBJĘTOŚCI
56
Filmy pokazujące w prosty sposób zamianę jednostek długości, masy, jednostek kwadratowych i objętości.
JEDNOSTKI
DŁUGOŚCI i POLA
57
JEDNOSTKI
OBJĘTOŚCI i POJEMNOŚCI
58
JEDNOSTKI
MASY, CZASU, PRĘDKOŚCI i GĘSTOŚCI
59
ZAKOŃCZYLIŚMY
PIERWSZY TYDZIEŃ NAUKI
60
Marzena Wojtysiak
Zapraszam do rozwiązywania zadań