Поняття площі многокутника.��Основні властивості площ.��Площа прямокутника.

Геометрія

8 клас

Площа – це додатна величина, числове значення якої має такі властивості:

1. Рівні многокутники мають рівні площі.
2. Площа многокутника, складеного з кількох частин, дорівнює сумі площ усіх цих частин.
3. Площа квадрата із стороною, що дорівнює одиниці вимірювання, дорівнює одиниці.

Кожному многокутнику можна поставити у відповідність значення його площі:

За одиницю вимірювання часто приймають довжину деякого одиничного відрізка, а площу одиничного квадрата – за одиницю площі.

1м²=100дм²=10 000см²=1 000 000мм²;

1км²=1 000 000м²; 1га=100ар=10 000м².

Дві фігури з рівними площами називають

рівновеликими.

​

Теорема. Площа прямокутника S зі сторонами а і b дорівнює аb.

Нехай АВСD – довільний прямокутник, у якого АВ=а, ВС=b і площа S. Доведемо, що S=аb.

Розглянемо два випадки:

1. Якщо а і b – числа натуральні, то даний прямокутник можна розбити на b смуг, кожна з яких містить а одиничних квадратів. Весь прямокутник вміщає аb одиничних квадратів. Отже його площа S=аb.

​

Доведення:

Нехай хоч одне з чисел а або b – дробове або ірраціональне. Поділимо одиничний відрізок на n рівних частин. Довжина однієї такої частини дорівнює 1/n. Якщо відрізок довжини 1/n вміщається щонайбільше q разів на стороні довжини а і р разів на стороні довжини b, то

​

Усі частини цих нерівностей – числа додатні, а добуток двох менших додатних чисел менший від добутку чисел більших. Перемножимо почленно ці подвійні нерівності:

​

Одиничний квадрат вміщує рівно n² квадратиків зі стороною довжини 1/n. Тому площа одного такого квадратика дорівнює 1/n².

Число можна взяти як завгодно великим, тому різниця меж може як завгодно мало відрізнятись від нуля. Це можливо лише за умови, що S=аb. Теорему доведено.

Наслідок. Якщо сторона квадрата дорівнює а, то його площа S=а².