RİJİD CİSİM KİNEMATİĞİ
DİNAMİK DERS NOTLARI / Prof. Dr. Mehmet Zor
1
23.08.2024
Üç Boyutlu Hareket
(Mutlak ve Bağıl Hareket – Örneklerle Hız ve İvme Analizleri)
3.3
DİNAMİK DERS NOTLARI / Prof. Dr. Mehmet Zor
2
23.08.2024
3.3 Rijid Cismin Kinematiği / 3 Boyutlu Hareket
3.3.1 Uzayda (3 Boyutta) Eğrisel veya Doğrusal Ötelenme:
Rijid bir cismin hareket boyunca tüm noktalarının yörüngeleri birbirlerine paralel kalıyorsa, cisim ötelenme hareketi yapıyor demektir. Yörüngeler doğrusal veya eğrisel olabilir. Ötelenme hareketinde bir t anında tüm noktaların hızları eşit şiddette ve aynı yöndedir. Aynı durum ivmeler için de geçerlidir. Maddesel nokta (parçacık) için geçerli olan ötelenme denklemleri, rijid cismin ağırlık merkezi için aynen uygulanabilir ve cisim sanki ağırlık merkezindeki bir maddesel nokta gibi incelenebilir.
A
B
A’
B’
Doğrusal Ötelenme
Eğrisel Ötelenme
Şekil 3.55
A
B
A’
B’
Şekil 3.56
DİNAMİK DERS NOTLARI / Prof. Dr. Mehmet Zor
3
23.08.2024
3.3 Rijid Cismin Kinematiği / 3 Boyutlu Hareket
3.3.2 Uzayda (3boyutta) Bir Eksen Etrafında Dönme:
B noktasının mutlak ivmesi :
t anında :
A
B
z
y
x
Ani dönme ekseni
(3.9.a)
(3.9.b)
(1.12)
(3.1.b)
B nin mutlak hızı
veya
Şekil 3.57
DİNAMİK DERS NOTLARI / Prof. Dr. Mehmet Zor
4
23.08.2024
3.3 Rijid Cismin Kinematiği / 3 Boyutlu Hareket
Genel Hareket
3.3.3 Uzayda (3boyutta) Genel Hareket: Rijid cismin bir t anındaki 3 boyutlu hareketini ‘ötelenme + bir eksen etrafında dönme’ olarak 2 farklı harekete ayırabiliriz. Amacımız cismin A gibi bir noktasının hız ve ivmesi bilinirken B gibi başka bir noktasının hız ve ivmesinin bulmaktır. Aşağıdaki şekilde belirtilen genel harekette A ve B noktalarının son konumları A’ ve B’ noktalarıdır. Ötelenme sonucu A’ ve B’’ konumuna gelinir. B’ konumuna gelinmesi için ise dönme ekseni A’ ne taşınır ve B’’ konumundan B’ ne gelinir, bu sırada A’ konumu değişmez. B noktasının toplam hızı/ivmesi, ötelenme ve dönme hareketlerindeki hızlarının/ivmelerinin toplamları olacaktır. Burada en önemli püf noktası ise 3.4 ve 3.10 nolu hız ve ivme denklemlerinin aynı cismin iki farklı noktası için yazıldığını bilmektir.
Ötelenme
+
(A dan geçen) Eksen etrafında dönme
=
A
B
A’
B’’
(3.10)
A
B
B’
A’
(3.4)
(3.9.b)
(3.1.b)
A’
B’’
B’
Şekil 3.58
DİNAMİK DERS NOTLARI / Prof. Dr. Mehmet Zor
3
23.08.2024
3.3.4 Uzayda (3boyutta) Bağıl Hareket: Uzayda Genel Hareket (dönme + ötelenme) yapan bir cismin içinde açılmış bir kanalda ayrıca hareket eden bir B bilyası düşünüyoruz. Amacımız kanallı cismin A gibi bir noktasının hızı/ivmesi bilinirken, bu cismin üzerinde hareket eden B noktasının hızını/ivmesini bir t anı için hesaplamaktır. Burada en önemli püf noktası ise A ve B nin birbiriyle temasta olan iki farklı cismin noktaları olduğunun bilinmesidir. (Bu durumda bazı kaynaklardaki gibi 2 farklı eksen takımı tanımlanmaya gerek kalmayacaktır).
(3.11)
(3.6)
(3.4)
A ile P aynı cismin noktaları olduğundan:
(3.5)
B ve P aynı koordinatlara sahip olduğundan:
B nin toplam hızı (mutlak hızı):
P : B ile aynı koordinatlara sahip fakat kanallı cisme ait bir noktadır.
B nin mutlak ivmesi:
3.11 denkleminde yer alan son terim coriolis ivmesi olup, hesaplama denklemi:
(3.8)
3
3.3 Rijid Cismin Kinematiği / 3 Boyutlu Hareket
A
B,P
.
Şekil 3.59
DİNAMİK DERS NOTLARI / Prof. Dr. Mehmet Zor
6
23.08.2024
Üç Boyutta
Düzlemde
Mutlak Hareket
Bağıl Hareket
A ve B aynı cismin üzerinde iki nokta
A ve B farklı cisimler üzerinde iki nokta
A
B
x
A
x
x
B
Mutlak Hız:
Mutlak İvme:
Mutlak Hız:
Mutlak İvme:
x
y
x
y
z
3.3.5 ) ÖZET : Rijit Cisimlerin 2 ve 3 Boyutlu Hareketinde Hız ve İvme Denklemleri:
3.3 Rijid Cismin Kinematiği / 3 Boyutlu Hareket
Şekil 3.60
Şekil 3.61
(3.4)
(3.4)
(3.5)
(3.10)
(3.6)
(3.6)
(3.7)
(3.11)
B: A’nın ait olduğu cisim üzerinde kayan başka bir cismin merkez noktası
DİNAMİK DERS NOTLARI / Prof. Dr. Mehmet Zor
7
23.08.2024
3.3.6 Pratik Bir Yöntem:
Rijit Cisimlerin Kinematik Denklemlerini Aklımızda tutmak için altta pratik bir yöntem anlatılmıştır, Şöyle ki: Genel hareket (dönme + ötelenme) yapan bir cisim üzerinde kayan B noktasının hızını ve ivmesini veren 3.6 ve 3.11 denklemlerini sadece aklımızda tutacağız. Altta belirtilen şartlara göre bu denklemleri özelleştirirsek, Her bir duruma özgü denklemler ortaya çıkar.
(3.6)
(3.11)
Düzlemsel harekette:
A ve B temas halindeki iki farklı cismin noktaları:
A ve B aynı cismin noktaları ise :
(2 veya 3 boyutlu hareket)
(2 veya 3boyutlu hareket)
Şimdi rijid cisimlerin 3 boyutta mutlak ve bağıl hareketiyle ilgili örnekler çözerek konuyu iyice anlayacağız...>>:
3.3 Rijid Cismin Kinematiği / 3 Boyutlu Hareket
A
B,P
.
Şekil 3.62
A
B
Şekil 3.63
Tüm hareket tiplerinde:
3.6 ve 3.11 denklemleri kullanılır fakat
alınır.
DİNAMİK DERS NOTLARI / Prof. Dr. Mehmet Zor
8
23.08.2024
3.3 Rijid Cismin Kinematiği / 3 Boyutlu Hareket
Çözüm:
B ve C, 2 nolu (aynı) cismin noktaları olduğu için, aralarında 3.4 ve 3.5 denklemleri yazılabilir:
Şekil 3.64
DİNAMİK DERS NOTLARI / Prof. Dr. Mehmet Zor
9
23.08.2024
Bu dört denklemden:
Vektörel ifadeler:
3.3 Rijid Cismin Kinematiği / 3 Boyutlu Hareket
Şekil 3.65
DİNAMİK DERS NOTLARI / Prof. Dr. Mehmet Zor
10
23.08.2024
Soru 3.3.1(*): Şekildeki mekanizmada gösterilen konumda DE mili üstten bakışta saat ibreleri tersi yönünde 6rad/s lik açısal hıza ve 1.5rad/s2 lik açısal ivmeye sahiptir. BC elemanı ise DE miline sıkı geçirilmiştir. AB çubuğu A kayar elemanına ve BC parçasına küresel mafsallarla bağlıdır. A kayar elemanı düşey yönde sabitlenmiş çubuk üzerinde kayabilmektedir. Bu an için, A kayar elemanının ivmesini hesaplayınız. (AB çubuğunun kendi ekseni etrafında dönmediğini kabul ediniz.)
3.3 Rijid Cismin Kinematiği / 3 Boyutlu Hareket
Şekil 3.66
DİNAMİK DERS NOTLARI / Prof. Dr. Mehmet Zor
11
23.08.2024
ÖRNEK 3.3.2
Şekildeki mekanizmada, 1nolu OAKB kolu, soldan bakışta saat ibreleri tersi yönünde x ekseni etrafında ω1 =2rd/s lik sabit açısal hızla döndürülüyor. 2 nolu tekerleğe sabitlenmiş olan D kızağı yarım çember şeklindeki rampada kayabilmektedir. B noktası, 1 nolu kol ile 2 nolu tekerleğin birbirine bağlı olduğu ortak düzlemde yer almaktadır. Gösterilen an için ;
a-) D kızağının hızını ve 2 nolu tekerleğin açısal hızını,
b-) D kızağının ivmesi ve 2 nolu tekerleğin açısal ivmesini hesaplayınız.
c-)Tekerleğin CH kolu üzerine geçirilmiş olan E bileziği kol üzerinde serbestçe kayabilmektedir. Gösterilen konumda, E bileziğinin tekerleğe göre hız ve ivmesi CE yönünde (aşağı doğru) şiddetleri ise sırasıyla 28.56cm/s ve 7.14 cm/s2 dir. Bu konum için E tekerleğinin mutlak hız ve mutlak ivmesini hesaplayınız.
H
A
B
C
D
45O
.
O
x
y
z
1
2
ω1=2rd/s: sbt
3
a-)ω2=?, vD=?
b-) α2=?, aD=?
c-) vE=?aE=?
K
E
H
cm biriminden koordinatlar: A(-60, 0, 0), B(-88,0,28),
E(-120;20;-20) C(-116,0,0),
D(-88,0,-56)
C
B
K
A
3.3 Rijid Cismin Kinematiği / 3 Boyutlu Hareket
Şekil 3.67
Şekil 3.68
DİNAMİK DERS NOTLARI / Prof. Dr. Mehmet Zor
12
23.08.2024
Çözüm:
B : 1 ve 2 nolu cisimlerin ortak noktasıdır. Her iki taraftan hızını yazalım:
Gösterilen konum için kızağın hızını ifade edersek:
Bu aynı zamanda 2 nolu tekerleğin kızakla bağlantı noktası olan D noktasının hızıdır.
(A noktası,1 nolu kolun dönme ekseni (x) üzerinde olduğundan hız ve ivmesi sıfırdır)
A
B
C
D
45O
.
O
45O
K
x
y
z
1
2
3
cm biriminden noktaların koordinatları:
A(-60, 0, 0), B(-88,0,28), E(-120;20;-20)
C(-116,0,0), D(-88,0,-56)
a-)
a-)ω2=?, vD=?
C
B
K
A
(B ve A: 1 nolu cismin, B ve D : 2 nolu cismin noktalarıdır. Mutlak hareket denklemleri yazılır.)
3.3 Rijid Cismin Kinematiği / 3 Boyutlu Hareket
Şekil 3.69
Şekil 3.68
(3.4)
DİNAMİK DERS NOTLARI / Prof. Dr. Mehmet Zor
13
23.08.2024
A
B
C
D
45O
.
O
45O
K
x
y
z
1
2
3
cm biriminden noktaların koordinatları:
A(-60, 0, 0), B(-88,0,28), E(-120;20;-20
C(-116,0,0), D(-88,0,-56)
a-)ω2=?, vD=?
C
B
K
A
3.3 Rijid Cismin Kinematiği / 3 Boyutlu Hareket
Son denklemi düzenlersek:
D kızağı sebebiyle, 2 nolu tekerlek BC ekseni etrafında dönemez.
O halde ω2 açısal hızının BC eksenine doğrultusunda bileşeni sıfırdır. BC ekseni x-z düzlemi üzerinde olup y eksenine diktir.
(olmalıdır.) ,
(hesaplanmıştı.)
C
B
C
Şekil 3.69
Şekil 3.68
DİNAMİK DERS NOTLARI / Prof. Dr. Mehmet Zor
14
23.08.2024
A
B
C
D
45O
.
O
45O
K
x
y
z
1
2
3
cm biriminden noktaların koordinatları:
A(-60, 0, 0), B(-88,0,28), E(-120;20;-20
C(-116,0,0), D(-88,0,-56)
b-)aD=?, α2=?
C
B
K
A
3.3 Rijid Cismin Kinematiği / 3 Boyutlu Hareket
b-) incelenen anda
olarak bulunmuştu.
D noktasının (ve kızağın) normal ivmesi:
(I)
3.5 mutlak ivme denkleminden:
(II)
Şekil 3.69
Şekil 3.68
DİNAMİK DERS NOTLARI / Prof. Dr. Mehmet Zor
15
23.08.2024
b-) α2=?, aD=?
2 nolu tekerlek BC ekseninde dönme yapmadığından
olur
nin BC üzerinde bileşeni yoktur.
(I) ve (II) denklemleri birbirlerine eşitlenir.
A
B
C
D
45O
.
O
450
x
y
z
1
2
3
C
B
cm biriminden noktaların koordinatları:
A(-60, 0, 0), B(-88,0,28), E(-120;20;-20)
C(-116,0,0), D(-88,0,-56)
C
B
K
A
3.3 Rijid Cismin Kinematiği / 3 Boyutlu Hareket
Şekil 3.70
Şekil 3.68
DİNAMİK DERS NOTLARI / Prof. Dr. Mehmet Zor
16
23.08.2024
A
B
C
D
45O
.
O
45O
x
y
z
1
2
3
c-)
E
H
cm biriminden noktaların koordinatları:
A(-60, 0, 0), B(-88,0,28), E(-120;20;-20)
C(-116,0,0), D(-88,0,-56)
E bileziği CH doğrultusundaki kol üzerinde kayıyor. Kola göre hızı (bağıl hız):
(3.6) bağıl hız denkleminden:
(E bileziğinin mutlak hızı)
3.3 Rijid Cismin Kinematiği / 3 Boyutlu Hareket
Şekil 3.71
DİNAMİK DERS NOTLARI / Prof. Dr. Mehmet Zor
17
23.08.2024
A
B
C
D
45O
.
O
45O
x
y
z
1
2
3
E
H
cm biriminden noktaların koordinatları:
A(-60, 0, 0), B(-88,0,28), E(-120;20;-20)
C(-116,0,0), D(-88,0,-56)
Üzerinde kayılan cismin
(2 nolu tekerleğin) açısal hızı
(3.11) denkleminden E bileziğinin toplam ivmesi (mutlak ivmesi):
Bu eşitlikteki işlemler yapıldığında çıkan sonuç :
3.3 Rijid Cismin Kinematiği / 3 Boyutlu Hareket
Coriolis ivmesi:
Şekil 3.71
DİNAMİK DERS NOTLARI / Prof. Dr. Mehmet Zor
18
23.08.2024
1
2
3.3 Rijid Cismin Kinematiği / 3 Boyutlu Hareket
Örnek 3.3.3
Şekil 3.72
DİNAMİK DERS NOTLARI / Prof. Dr. Mehmet Zor
19
23.08.2024
Şimdi öncelikle bu örneği çözelim..>>
3.3 Rijid Cismin Kinematiği / 3 Boyutlu Hareket
Örnek 3.3.4
1
2
Şekil 3.72
DİNAMİK DERS NOTLARI / Prof. Dr. Mehmet Zor
20
23.08.2024
1
2
3.3 Rijid Cismin Kinematiği / 3 Boyutlu Hareket
1.Yol:
C noktasının hızını 2 yolla bulabiliriz:
Disk, her iki hareketi de yaptığı için toplam açısal hızı:
(Mutlak Hareket Mantığıyla Hız Hesabı)
A noktasının mutlak hızı 1 nolu koldan bulunur.
(A, diskin merkezinde olduğundan 2 nolu hareketten gelen bir hızı olmaz.)
C noktasının mutlak hızını şimdi 2 nolu diskin mutlak hareketinden bulalım:
Çözüm:
Şekil 3.72
DİNAMİK DERS NOTLARI / Prof. Dr. Mehmet Zor
21
23.08.2024
1
2
3.3 Rijid Cismin Kinematiği / 3 Boyutlu Hareket
2.Yol -Devam:
(Bağıl Hareket Mantığıyla Hız Hesabı)
Hız hesabı:
Bu durumda C noktası 1 nolu dönen kol üzerinde kayan bir noktadır.
Aynı sonuç
Dikkat edilmesi gereken hususlar:
1-Bağıl hareketi sadece kayan nokta yapar.
2- Kayan nokta aynı zamanda diğer hareketlerin hepsini yapar.
Bu örnekte C noktası kayan nokta olup, her iki hareketi birden yaptığını fark edin. Bazı problemlerde 3 farklı hareket olma durumu söz konusudur. Bunun için vantilötör paleti örneğini (video 3.3) seyredebilirsiniz.
(videolara mehmetzor.com sitesinden erişebilirsiniz.)
Şekil 3.72
DİNAMİK DERS NOTLARI / Prof. Dr. Mehmet Zor
22
23.08.2024
1
2
3.3 Rijid Cismin Kinematiği / 3 Boyutlu Hareket
2.Yol’dan :
İvme hesabı:
Şekil 3.72
DİNAMİK DERS NOTLARI / Prof. Dr. Mehmet Zor
23
23.08.2024
3.3 Rijid Cismin Kinematiği / 3 Boyutlu Hareket
Örnek 3.3.4
m/s
AB kolu her iki dönme hareketini birden yapar:
Çözüm:
B’nin hızını, mutlak hareket çözüm mantığıyla elde ederiz:
Sabit nokta olduğu için O noktasının hız ve ivmesi sıfırdır.
(2 nolu kol A etrafından döner ve bu hareketin A nın hızına veya ivmesine bir katkısı olmaz)
Çözüm sırası takip edilmiştir.
A noktasının hızını 1 nolu cisimden buluruz:
Şekil 3.73
DİNAMİK DERS NOTLARI / Prof. Dr. Mehmet Zor
24
23.08.2024
3.3 Rijid Cismin Kinematiği / 3 Boyutlu Hareket
C yükünün hızını, bağıl hareket ile çözmemiz gerekir. C yükü 0.8m/s lik bir bağıl hıza sahiptir. O halde C, dönen bir cismin üzerinde kayan bir noktadır.
B ve C noktasının ivmelerini bağıl hareket çözüm mantığıyla bulacağız:
b-)
..>>
Şekil 3.73
DİNAMİK DERS NOTLARI / Prof. Dr. Mehmet Zor
25
23.08.2024
3.3 Rijid Cismin Kinematiği / 3 Boyutlu Hareket
C noktasının ivmesini bulmak için ise yükün düşey hızını bağıl hareket olarak düşüneceğiz:
Şekil 3.73
DİNAMİK DERS NOTLARI / Prof. Dr. Mehmet Zor
26
23.08.2024
1
2
3
3.3 Rijid Cismin Kinematiği / 3 Boyutlu Hareket
Soru 3.3.2 (*)
Cevaplar:
Şekil 3.74
DİNAMİK DERS NOTLARI / Prof. Dr. Mehmet Zor
27
23.08.2024
Soru 3.3.3
Şekildeki masa vantilatörü, x ve z eksenlerinde bağımsız dönmesinin yanısıra, pervane kısmı OB ekseninde bağımsız dönebilmektedir.
ω1 = 4rd/s, ω2 = 2rd/s, ω3 = 10.2 rd/s lik sabit açısal hızlarla vantilatör dönerken, şekilde gösterilen konum için Pervane paleti üzerindeki A noktasının mutlak hız ve mutlak ivmesini hesaplayınız. Koordinatlar: A((8,6,-4), B(8, 6, 2)
ω1 = 4rd/s,
ω2 = 2rd/s,
ω3 = 10.2 rd/s
A((8,6,-4),
B(8, 6, 2)
Cevaplar:
3.3 Rijid Cismin Kinematiği / 3 Boyutlu Hareket
Şekil 3.75
Şekil 3.76