7º ANO
1º Bimestre - 2025
MATEMÁTICA
SISTEMA DE NUMERAÇÃO DECIMAL
O sistema de numeração decimal, também conhecido como sistema de numeração hindu-arábico (indo-arábico), é o sistema numérico mais utilizado no mundo. Ele possui as seguintes características:
o Quadro Valor de Lugar (QVL), que nos permite averiguar as ordens e classes de um número.
Exemplo:
Independentemente do número natural escolhido, sempre poderemos encontrar as classes, as ordens e o valor posicional dos algarismos que formam esse número.
Como o sistema hindu-arábico é decimal, ou seja, formado por 10 algarismos (de 0 a 9), podemos realizar agrupamentos.
COMPOSIÇÃO E DECOMPOSIÇÃO DE NÚMEROS NATURAIS
Compor um número é organizar os seus algarismos em ordem, de maneira que, ao adicionarmos os valores posicionais de cada algarismo, obtemos o número.
A partir da unidade (cubinho), as demais peças (barrinha, plaquinha e blocão) foram compostas pela adição de várias outras unidades.
Exemplos:
Exemplo:
Observe a régua graduada, a seguir.
1. Observe os números representados no Quadro Valor de Lugar (QVL), a seguir.
Responda:
a) Quais são os números representados?
b) Quais números possuem o mesmo valor posicional na unidade simples? E qual é esse valor?
c) Quais números possuem o mesmo valor posicional na centena simples? E qual é esse valor?
d) Quais números possuem o mesmo valor posicional na dezena de milhar? E qual é esse valor?
2. Observe o quadro, a seguir, e complete-o com as decomposições.
3. Observe os números no quadro, a seguir.
Qual é a ordem decrescente desses números?
Item 1: Quais algarismos do sistema de numeração decimal estão presentes na tirinha?
(A) 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9.
(B) 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9.
(C) 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10.
(D) 0; 1; 2; 3; 4; 20; 21; 22; 23; 24.
Item 2: Segundo a tirinha, por qual motivo o ratinho consegue contar as infinitas estrelas?
(A) Porque o sistema de numeração decimal possui somente dez algarismos.
(B) Porque as estrelas são infinitas.
(C) Porque o sistema de numeração decimal permite representar infinitos números.
(D) Porque a paciência da ratinha não é infinita.
Item 3: (CAED 2022) Observe abaixo uma das decomposições de um número.
Qual é esse número?
(A) 300 020 068.
(B) 3 000 268.
(C) 302 068.
(D) 3 268.
Item 4: (CAED 2022) Observe as sequências listadas, a seguir.
Qual dessas sequências é crescente?
(A) I. (B) II. (C) III. (D) IV
Item 5: Observe a reta numérica, a seguir.
Os intervalos entre os números e letras foram divididos na mesma medida.
Qual é o número correspondente a letra M?
(A) 130
(B) 140
(C) 142
(D) 146
RELAÇÃO ENTRE AS OPERAÇÕES COM NÚMEROS NATURAIS
Conhecer as operações básicas da matemática (adição, subtração, multiplicação e divisão) e, saber utilizá-las, é muito importante pois, no nosso cotidiano, o seu uso é frequente. Mais importante ainda é saber identificar qual operação matemática será desenvolvida no problema.
Lucas e José colecionam figurinhas. Lucas tem 52 e José 44. Para saber quanto ambos têm, no total, podemos juntar as quantidades de figurinhas que cada um possui. Observe essa soma utilizando o QVL.
Exemplo:
Em 2024, na escola em que Maria estuda, havia 375 estudantes. No começo do ano de 2025 foram matriculados 126 novos estudantes.
Para determinar o total de estudantes, acrescentaremos a quantidade de novos matriculados aos 375.
Observe que, ao adicionarmos 5 e 6 obtemos 11 unidades, que equivalem a 1 dezena e 1 unidade. Assim:
Da mesma forma, agora temos 10 dezenas, que equivalem a 1 centena. Assim:
Assim, no total, temos 5 centenas, 0 dezenas e 1 unidade. Compondo esse número, temos a soma:
Para retirar 4 unidades, devemos desagrupar 1 das 5 dezenas em 10 unidades. Assim,
Assim, Lucas tem 8 figurinhas a mais que José.
Quando a multiplicação envolve fatores de duas ou mais ordens, é recomendada a utilização de um algoritmo, com o intuito de simplificar e facilitar o processo. Observe o exemplo, a seguir, da operação 21 multiplicado por 43.
horizontal, mantendo cada algarismo na ordem decimal adequada.
Passo 3: Para manter cada algarismo na ordem decimal correta, deve-se acrescentar um 0 na ordem das unidades, logo abaixo do 3. Isso se deve porque o algarismo 4 no número 43 representa 4 dezenas (ou seja, 40 unidades).
Retomando a situação de Jonas, para saber quantas marcações a pista possui, devemos descobrir quantas partes iguais de 100 metros há em 1000 metros.
Observe uma representação dessas marcações:
Portanto, há 10 marcações de 100 metros nesta pista.
Para facilitar o processo da divisão, é recomendada a utilização de um algoritmo.
Observe o exemplo, a seguir, da operação 87 dividido por 3.
Como o resto é menor que o divisor, o processo termina. Caso contrário, deve-se continuar a divisão seguindo os mesmos procedimentos.
6. Observe o quadro contendo a quantidade de bolinhas de gude de Guilherme e seus amigos, para responder os questionamentos.
a) Quantas bolinhas de gude tem Guilherme e Nícolas?
b) Quantas bolinhas de gude tem Kaio e Joaquim?
9. Em um passeio da escola, 320 estudantes foram divididos em 8 ônibus.
Quantos(as) estudantes foram em cada ônibus?
10. Em uma sala, há 5 fileiras com 6 carteiras em cada fila.
a) Quantas carteiras tem essa sala?
b) Houve um aumento na quantidade de estudantes e foi preciso adicionar 10 carteiras. Quantas carteiras há, no total?
c) Com esse aumento, mantendo uma distribuição igual entre fileiras, quantas carteiras haverá em cada fila?
Item 2: (CAED 2022) Carla levou 75 brigadeiros para uma festa na escola, Laura levou mais 50. Ao final da festa, sobraram 15 brigadeiros.
Quantos brigadeiros foram consumidos nessa festa da escola, no total?
(A) 90
(B) 110
(C) 115
(D) 140
Item 3: Resolva a operação, a seguir.
Qual é o resultado dessa operação?
(A) 250
(B) 1575
(C) 4500
(D) 5625
Item 4: (CAED 2023) Uma fábrica de sucos produz 624 garrafas de suco por dia, e essas garrafas são distribuídas em 6 lotes iguais. Quantas garrafas de suco há em cada lote?
A) 14
B) 41
C) 104
D) 312
CRITÉRIOS DE DIVISIBILIDADE
Os critérios de divisibilidade nos permite verificar se um número natural é divisível por um outro. Ser divisível significa que, ao dividirmos esses números, o quociente é um número natural e o resto é zero.
Observe os critérios de divisibilidade de alguns números:
Exemplos:
1) 2028 é divisível por 2 e por 3. Logo, também é divisível por 6.
2) 112 é divisível por 4 (12 é múltiplo de 4), mas 134 não é (34 não é múltiplo de 4).
3) 2025 é divisível por 5, mas 2024 não é.
4) 3050 é divisível por 5 e por 10, pois, termina em 0.
11. Dentre os números a seguir, circule de alaranjado os múltiplos de 2, faça um X em azul os múltiplos de 3 e, pinte de verde os múltiplos de 6.
12. Complete o quadro com os múltiplos de 4 e 5.
Existe(m) múltiplo(s) comuns entre estes números? Se sim, pinte-os de azul.
13. Complete os quadros com os divisores de 12 e 18.
Existe(m) divisor(es) comuns entre estes números? Se sim, qual ou quais?
Item 1. Dentre as afirmações, identifique com (V) para verdadeira e (F) para falsa.
Podemos afirmar que a sequência identificada corretamente é
(A) V – F – V – V. (C) V – F – V – F.
(B) F – F – V – V. (D) V – V – V – F.
Item 2. Considere o número 45.
Assinale a alternativa em que todos os números são divisores de 45.
(A) 2, 3, 5, 9 e 45.
(B) 3, 5, 7, 9 e 45.
(C) 3, 5, 9, 15 e 45.
(D) 3, 5, 9, 10 e 45.
Item 3. Em uma aula de Educação Física, o professor calculou o IMC (Índice de Massa Corporal) de seus estudantes e, para isso, verificou a massa de cada um e escreveu no quadro.
Sobre a massa corporal desses estudantes é correto afirmar que:
�(A) são todos múltiplos de 2. �(B) são todos múltiplos de 6. �(C) apenas o peso de Karine não é múltiplo de 2. �(D) todas as massas registradas são múltiplas de 2 e de 4.
MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM DE UM NÚMERO NATURAL
Como já vimos, o múltiplo de um número é o produto dele por um número natural qualquer. Além disso, ao determinar os múltiplos de dois, ou mais números, é possível notar que eles possuem múltiplos em comum.
Exemplos:
1) Relembrando os primeiros múltiplos dos números 4 e 5, temos
2) Observe a tabuada dos números 2, 3 e 6, a seguir.
16. Calcule o MMC dos números, a seguir, por meio da decomposição em fatores primos:
a) 25 e 30.
b) 16 e 50.
c) 40 e 75.
d) 12, 18 e 30.
17. Uma empresa deseja distribuir folhetos publicitários em uma cidade. O folheto A deve ser distribuído a cada 4 dias, enquanto o folheto B deve ser distribuído a cada 6 dias. Se os dois folhetos foram distribuídos em uma 2ª feira, em quantos dias eles serão distribuídos juntos novamente e, qual será o dia da semana?
18. Três engrenagens estão interligadas. A primeira tem 5 dentes, a segunda tem 6 dentes e a terceira tem 8 dentes, conforme indica a figura.
Essas engrenagens são utilizadas em um motor. Quando elas iniciam o movimento, estão em uma posição determinada. Quantas voltas cada uma terá de dar para que voltem à posição inicial?
Item 1. João está doente, e seu médico lhe prescreveu o remédio A de 4 em 4 horas, o remédio B de 5 em 5 horas e o remédio C de 6 em 6 horas, durante uma semana. João tomou as três medicações juntas no dia 10, às 10 horas da manhã.
Ele tomará novamente os três remédios, no mesmo horário, no dia
(A) 10, às 22 horas.
(B) 12, às 22 horas.
(C) 16, às 10 horas.
(D) 22, às 10 horas.
MÁXIMO DIVISOR COMUM DE UM NÚMERO NATURAL
O Máximo Divisor Comum (MDC) é o maior número natural que divide dois, ou mais números.
Exemplo:
Observe os divisores dos números 15 e 20, temos
O MDC pode ser obtido, por meio da decomposição em fatores primos. Observe.
Exemplo 1.
Obter o MDC entre 24 e 36.
Resolução:
Vamos decompor os números em fatores primos e comparar os resultados.
DIFERENÇA ENTRE MDC E MMC
O Máximo Divisor Comum (MDC), como vimos, é o maior número que divide simultaneamente dois, ou mais números. Já o Mínimo Múltiplo Comum (MMC) é o menor número que é múltiplo simultaneamente dos números que queremos calcular.
Em resumo, no MDC, estamos trabalhando com os divisores em comum e queremos encontrar o maior deles e, no MMC, estamos trabalhando com os múltiplos em comum e queremos encontrar o menor deles.
19. Com base no método da fatoração em primos, calcule:
a) MDC entre os números 96 e 168.
b) MDC entre os números 180 e 324.
20. Coloque V (para verdadeiro) ou F (para falso) nas sentenças, a seguir:
( ) O MDC entre dois números é sempre o menor deles.
( ) O MMC entre dois números é sempre menor que o MDC entre eles.
( ) A decomposição simultânea de 24 e 50 é 22 x 3 x 5.
( ) O quociente de 300 pelo MDC (300,600) é 1.
( ) A metade do MMC (30,50) é 15.
( ) O MMC entre dois números é sempre o produto entre eles.
21. Responda.
a) Qual o menor número que dividido por 4 e 5 deixa o mesmo resto 2?
b) Qual o menor número que dividido por 2, 3 e 5 deixa o mesmo resto 1?
c) Qual o MDC entre 22 x 3 x 52 e 2 x 52 ?
d) Qual o MDC entre 3 x 53 x 7 e 32 x 52 x 11?
22. Regina possui 3 pedaços de fita, como os apresentados a seguir, que serão utilizados na confecção de alguns enfeites. Ela pretende cortá-los em pedaços do maior tamanho possível, de forma que não haja sobras e que todos os pedaços tenham o mesmo tamanho.
Responda:
a) Qual será o tamanho de cada pedaço de fita após o corte?
b) Quantos pedaços de fita serão obtidos ao todo?
23. Complete o seguinte quadro.
Item 1. Carol presenteará as mulheres da sua família com esmaltes e anéis. Ela possui 18 esmaltes e 24 anéis e deseja empacotar os kits com os itens utilizando-se do menor número de pacotes possível, de
modo que a quantidade de esmaltes e anéis de um kit para o outro seja a mesma e o mínimo possível.
Sabendo que todas as mulheres da família serão presenteadas, a quantidade de kits que Carol montará é de
(A) 6 kits.
(B) 4 kits.
(C) 3 kits.
(D) 2 kits.
Item 2. Na biblioteca de uma escola, há 60 livros de língua portuguesa, 90 livros de geografia e 120 livros de ciências. Os livros devem ser divididos em prateleiras de modo que cada prateleira contenha o mesmo número de livros e apenas de uma matéria.
Qual é o maior número de livros que podem ser colocados em cada prateleira?
(A) 20 livros
(B) 30 livros
(C) 40 livros
(D) 60 livros
A palavra fração vem do latim “fractione” e significa dividir. De uma forma mais simples, pode-se dizer que a fração é uma representação de “partes” de um “todo” que foi dividido.
Numerador: indica quantas dessas partes foram consideradas (partes hachuradas).
Denominador: indica o número de partes iguais em que o inteiro (todo) foi dividido.
A porcentagem pode ser vista como um caso particular da fração, que representa uma quantidade de partes de um todo composto por 100 partes iguais.
Assim,
Para representarmos uma fração centesimal, na forma de porcentagem, reescrevemos o numerador acompanhado do símbolo %.
Para representarmos um número percentual, na forma decimal, o representamos em sua forma fracionária e, dividimos o numerador pelo denominador.
Por exemplo, para representarmos 20% em sua forma decimal, devemos dividir 20 por 100:
Assim, 20% é equivalente a 0,2.
Para representar um número decimal, na forma percentual, multiplicamos e dividimos o número decimal por 100 e, por fim, reescrevemos o numerador acompanhado do símbolo %.
Exemplo:
Carol trabalha vendendo chocolates que ela mesma produz. Observe a forma que ela despejou o chocolate derretido para resfriá-lo.
4.Complete adequadamente o quadro, a seguir, com as diferentes representações de um número racional.
Item 2. Qual é o número decimal que representa o percentual de funcionários, dessa fábrica, que trabalham durante o dia?
(A) 0,1
(B) 0,9
(C) 9,0
(D) 10,0
CÁLCULO PERCENTUAL DE UM VALOR
Para calcularmos a porcentagem referente a um determinado valor, multiplicamos esse valor pela porcentagem desejada em sua forma fracionária ou decimal.
Podemos calcular o valor percentual de um número, também, por meio da somatória de outros valores percentuais.
5. Calcule os valores, a seguir.
a) 6% de 100.
b) 70% de 100.
c) 30% de 50.
d) 20 % de 60.
e) 25% de 200.
6. Calcule os valores, a seguir.
a) 75% de 400.
b) 42% de 300.
c) 10% de 62,5.
b) Considere uma cidade com 25 000 habitantes. Segundo a estimativa, qual é a quantidade de daltônicos nessa cidade?
c) Sabe-se que 10% da população, de uma outra cidade, equivale a 3500 pessoas. Como podemos obter a quantidade estimada de daltônicos, desta cidade, utilizando a informação fornecida, por meio de cálculo mental?
11. No município de Mineiros, foi feita uma pesquisa sobre qual era o meio de transporte utilizado pelos estudantes para irem à escola. Dos 3000 estudantes que participaram da pesquisa, 50% responderam que utilizam carro particular, 25% responderam que vão a pé, 10% responderam que utilizam bicicleta e o restante dos estudantes, usam ônibus.
Calcule a quantidade de estudantes usuários de cada meio de transporte.
12. 12 é 5% de quanto?
AUMENTO E DESCONTO PERCENTUAL
Seja para realizar transações na bolsa de valores ou calcular o preço de um alimento em um mercado, a aplicação de aumentos e descontos é um conhecimento fundamental para a matemática financeira, utilizada na economia pessoal e na economia de um país.
Observe alguns anúncios de descontos informando que os produtos sofreram um determinado decréscimo percentual.
13. Ao aplicar um desconto de 25% em uma mercadoria que custa R$ 100,00, quanto a mercadoria passará custar?
14. Em uma liquidação, um artigo que custa R$ 180,00 é anunciado com 28% de desconto. Qual o valor do artigo, com o desconto?
15. O salário de Luciana era R$ 2500,00. Ela foi promovida e recebeu um aumento de 25% sobre o salário. Responda:
a) De quanto foi o aumento, em reais?
b) Qual será o novo salário de Luciana?
16. Antônio comprou uma calça que custava R$ 140,00, e usou um cupom de desconto de 20%. Sabendo disso, responda:
a) De quanto foi o desconto, em reais?
b) Quanto ele pagou pela calça?
17. Nilton organiza seus gastos para controlá-los melhor. Ele fez um quadro com os gastos do mês de fevereiro e, como já sabia qual seria o reajuste de cada despesa, registrou uma previsão de gastos para o mês de março.
Determine a previsão de gastos de março, de acordo com os reajustes indicados.
Item1. Uma calça jeans que custava R$ 150,00, sofreu um aumento de 8% devido à inflação.
O preço atual dessa calça é de
(A) R$ 156,00. (C) R$ 168,00.
(B) R$ 162,00. (D) R$ 172,00.
Item 2. Uma loja oferece um desconto progressivo na compra de eletrônicos: 10% no primeiro item, 15% no segundo item e 20% a partir do terceiro item. Um cliente compra três itens de R$ 80,00, R$ 120,00 e R$ 150,00, respectivamente.
O valor total da compra após os descontos é igual a
(A) R$ 294,00.
(B) R$ 305,00.
(C) R$ 312,00.
(D) R$ 318,00.
ÂNGULOS
Ângulo é a região interna formada pelo encontro de duas semirretas de mesma origem. Os ângulos são utilizados para representar giros ou aberturas entre estas semirretas.
As semirretas que formam um ângulo são os lados dele e, o ponto de origem, é o vértice.
Os ângulos podem ser relacionados com o estudo geográfico dos pontos cardeais e colaterais.
Pontos cardeais: Norte, Sul, Leste e Oeste.
Consideremos que o ponto cardeal representado pela localização norte representa o ângulo de 0º. Ao mudarmos a direção em qualquer sentido estamos nos movimentando através de medidas envolvendo a unidade de ângulos denominada grau.
Observe algumas condições de movimentação:
Entre norte e leste: 90º
Entre norte e sul: 180º
Entre leste e oeste: 180º
A rosa dos ventos está dividida em 4 ângulos de 90º (ângulos retos) e, em 8 ângulos de 45° (considerando os pontos colaterais).
1. Classifique cada ângulo, a seguir, denotando seu vértice e seus lados.
a)
b)
c)
d)
2. Classifique os ângulos, a seguir, em nulo, agudo, reto, obtuso, raso, côncavo ou giro.
a) 75°. e) 90°.
b) 160°. f) 210°.
c) 0°. g) 360°.
d) 180°. h) 100°.
3. Os relógios, a seguir, apresentam o mesmo instante em diferentes cidades, com diferentes fusos horários.
a) O ponteiro das horas e o ponteiro dos minutos formam um ângulo reto, em um desses relógios. Qual é o horário e, em qual das cidades?
b) O ponteiro das horas e o ponteiro dos minutos, formam um ângulo raso em um desses relógios. Qual é o horário e, em qual das cidades?
4. Observe o trajeto que Alex realiza, de bicicleta, para ir de sua casa ao trabalho.
Considerando o trajeto apresentado, responda:
a) Quantas vezes Alex precisou mudar de direção?
b) Qual a medida, em graus, das mudanças de direção que Alex executou em seu trajeto?
5. Observe no mapa, a seguir, o trajeto feito por um avião que decolou no Rio de Janeiro e aterrissou em Manaus.
Durante o trajeto, o piloto mudou de direção duas vezes. Descreva com suas palavras, utilizando seus conhecimentos sobre ângulos, as mudanças de direção feitas pelo piloto.
6. Bruno é um escoteiro que está procurando o seu acampamento. Para se orientar, ele dispõe apenas de uma bússola. Ao verificá-la, descobre que está caminhando na direção sudeste, porém, seu acampamento está na direção norte.
Para corrigir a direção do trajeto, qual giro bruno deve fazer?
(A) Giro de 90° para a esquerda.
(B) Giro de 90° para a direita.
(C) Giro de 135° para a esquerda.
(D) Giro de 135° para a direita.
Item 1. A professora Sandra chegou à escola em que trabalha e verificou o horário representado na figura, a seguir.
O menor ângulo formado pelos ponteiros desse relógio é um ângulo
(A) agudo.
(B) reto.
(C) obtuso.
(D) raso.
Item 2. O desenho representa o botão de volume de um aparelho de som. Para aumentar o volume, o botão deve ser girado no sentido horário.
Quantos graus esse botão deve ser girado para que se atinja o volume máximo?
(A) 90°
(B) 180°
(C) 270°
(D) 360°
Item 3. (OBMEP) Para chegar na escola, Carlos realiza algumas mudanças de direção como mostra a figura a seguir.
As mudanças de direção que formam ângulos retos estão representadas nos vértices:
(A) B e G.
(B) D e F.
(C) B e E.
(D) E e G.
ÂNGULOS CONGRUENTES
Dois ângulos são congruentes quando possuem a mesma medida.
ÂNGULOS COMPLEMENTARES
Quando a soma de dois, ou mais ângulos, resulta em 90°, eles são ditos complementares.
Exemplos:
ÂNGULOS SUPLEMENTARES
Quando a soma de dois, ou mais ângulos, resulta em 180°, eles são ditos suplementares.
Exemplos:
ÂNGULOS ADJACENTES
Ângulos adjacentes são aqueles que possuem um lado em comum, mas as regiões determinadas por eles não possuem pontos em comum. Observe:
Exemplo:
Determinar os ângulos adjacentes.
8. Determine a medida do complemento do ângulo indicado, em cada item.
a) 56°
b) 13°
c) 22°
d) 49°
9. Determine a medida do suplemento de cada ângulo indicado.
a) 97°
b) 9°
c) 55°
d) 110°
10. Dois ângulos são adjacentes complementares. Sabendo que a medida do maior ângulo é de 47°, qual é a medida do menor ângulo?
Item 1. São ângulos adjacentes
(A) dois ângulos opostos pelo vértice.
(B) dois ângulos cujas somas são 180 graus.
(C) dois ângulos cujas somas são 90 graus.
(D) dois ângulos que têm um vértice e um lado em comum, mas não compartilham pontos internos.
Item 2. Observe o giro da imagem, a seguir.
Em quantos graus essa imagem foi rotacionada?
(A) 90º no sentido horário
(B) 135º no sentido anti-horário
(C) 180º no sentido anti-horário
(D) 270º no sentido horário
AMPLIAÇÃO E REDUÇÃO
Quando uma imagem é ampliada algumas medidas são mantidas e outras são alteradas, por exemplo, as medidas dos ângulos são mantidas e as medidas de comprimento, de área e de volume são alteradas, ou seja, as medidas de comprimento são multiplicadas por um número maior que 1.
Do mesmo modo, quando uma imagem é reduzida as medidas dos ângulos são mantidas e as demais são alteradas, neste caso, as medidas de comprimento são multiplicadas por um número entre 0 e 1.
Exemplo:
Observe a imagem, na malha quadriculada.
Comparando a figura que representa a casa 1 com a figura que representa a casa 2, percebe-se que houve uma ampliação, na qual a medida do comprimento dos lados foi multiplicada por 2 (dobro) e, as medidas dos ângulos não se alteraram.
Observe a seguir as coordenadas de alguns pontos localizados no plano cartesiano.
Obs.: Quando a abcissa de um ponto é igual a zero, ele se localiza sobre o eixo y e quando a ordenada de um ponto é igual a zero, ele se localiza sobre o eixo x.
Seguindo a definição de plano, tem-se que 3 pontos não colineares (não alinhados), definem um plano. Ou seja, se existir três ou mais pontos não alinhados (que não estão em uma reta) no plano cartesiano, estes determinam um polígono.
Por exemplo:
Triângulo com vértices:
A(3, 4);
B(1, 1);
C(5, 1).
Quadrado com vértices:
A(1, 5);
B(1, 1);
C(5, 1);
D(5, 5).
Pode-se realizar ampliação ou redução de um polígono no plano cartesiano multiplicando as coordenadas dos vértices por um número.
Observe:
12. O quadrilátero representado na malha quadriculada, a seguir, possui um ângulo interno em cada um de seus vértices.
14. Na malha quadriculada, a seguir, estão representados os quadrados ABCD e EFHG. Observe que o quadrado EFHG é uma ampliação do quadrado ABCD.
a) Qual a medida de cada lado do quadrado ABCD?
b) Qual a medida de cada lado do quadrado EFGH?
c) A medida de cada lado do quadrado EFHG, é quantas vezes maior do que cada lado do quadrado ABCD?
d) Qual é o perímetro do quadrado ABCD?
e) Qual é o perímetro do quadrado EFHG?
f) A medida do perímetro do quadrado EFHG é quantas vezes maior do que o perímetro do quadrado ABCD?
g) Qual é a área do quadrado ABCD?
h) Qual é a área do quadrado EFHG?
i) A área do quadrado EFHG é quantas vezes maior do que a área do quadrado ABCD?
Item 1. Os desenhos, a seguir, representam o formato de um jardim que será construído em uma praça da cidade. Inicialmente pensou-se num jardim pequeno, mas, devido ao grande entusiasmo que causou na população, o prefeito solicitou que fizessem um novo projeto, com desenho maior.
O novo projeto terá área:
(A) 2 vezes maior que o primeiro.
(B) 3 vezes maior que o primeiro.
(C) 4 vezes maior que o primeiro.
(D) 6 vezes maior que o primeiro.
Item 2. Considere a figura poligonal representada da malha quadriculada, a seguir:
Duplicando a medida de cada um de seus lados, sua área ficará
(A) inalterada.
(B) duplicada.
(C) triplicada.
(D) quadruplicada.
TRANSFORMAÇÕES GEOMÉTRICAS
Quando se realiza alguma transformação geométrica podem ocorrer duas situações:
Temos dois tipos de transformações: homotéticas e isométricas.
As isometrias (ou simetrias) podem modificar a posição de uma figura no plano, mas produzem sempre figuras que têm a mesma forma e as mesmas medidas, ou seja, produzem figuras congruentes à original. São elas: translação, reflexão e rotação.
TRANSLAÇÃO
A translação é a isometria pela qual a figura é deslocada em determinada direção e/ou sentido, mantendo uma mesma distância entre cada um dos pontos da figura original e o correspondente da figura obtida. Na figura, a seguir, o triângulo DEF é congruente ao triângulo ABC.
Dizemos que esses dois triângulos são simétricos em relação ao ponto P. A simetria em relação a um ponto é chamada de simetria central.
ROTAÇÃO
A rotação é a isometria pela qual uma nova figura é obtida a partir de um giro da figura original ao redor de um único ponto fixo. Esse ponto é chamado de centro de rotação. Em uma rotação, o giro pode ser feito no sentido horário ou no sentido anti-horário, segundo certo ângulo.
Na figura a seguir, o triângulo A’B’C foi obtido do triângulo ABC a partir da rotação em relação ao ponto C indicado. A rotação foi de 90° no sentido horário.
A rotação pode ser também no sentido anti-horário e, também, em torno de um ponto que não pertença a figura.
Na figura a seguir, o triângulo A’B’C foi obtido do triângulo ABC a partir da rotação em relação ao ponto C indicado. A rotação foi de 90° no sentido horário.
Por exemplo, na imagem a seguir, o triângulo ABC foi rotacionado 90° no sentindo anti-horário, em relação ao ponto D.
16. Na figura a seguir, o triângulo DEF é imagem do triângulo ABC. Qual foi a transformação geométrica utilizada no triângulo ABC para se obter o triângulo DEF?
17. Associe as figuras da primeira coluna às transformações correspondentes na segunda coluna.
( ) Reflexão
( ) Rotação
( ) Translação
18. O triângulo DEF a seguir foi obtido através da ampliação do triângulo ABC. Sobre essa transformação homotética, responda as alternativas.
c) O que se pode afirmar em relação às medidas dos ângulos internos dos triângulos ABC e DEF?
d) Quais as medidas dos lados do triângulo ABC?
e) Quais as medidas dos lados do triângulo DEF?
f) Lados homólogos (ou correspondentes) são pares de lados, cada um em um triângulo, que se opõem a ângulos congruentes. Identifique quais são os três pares de lados homólogos (ou correspondentes) nos triângulos ABC e DEF.
g) Calcule a razão entre a medida de cada lado do triângulo ABC e a medida do seu lado homólogo (ou correspondente) no triângulo DEF.
h) O que podemos afirmar sobre os lados dos triângulos ABC e DEF? Justifique sua resposta.
a) Quais as medidas dos ângulos internos do triângulo ABC?
b) Quais as medidas dos ângulos internos do triângulo DEF?
i) Calcule o perímetro do triângulo ABC.
j) Calcule o perímetro do triângulo DEF.
k) O que se pode afirmar sobre o perímetro do triângulo ABC em relação ao perímetro do triângulo DEF?
l) Calcule a área do triângulo ABC.
m) Calcule a área do triângulo DEF.
n) O que se pode afirmar sobre a área do triângulo ABC em relação a área do triângulo DEF?
Item 1. Observe a figura, a seguir.
Pode-se afirmar que uma das figuras foi obtida a partir da outra através de uma
(A) ampliação.
(B) reflexão.
(C) rotação.
(D) translação.
Item 2. Na figura, a seguir, o quadrilátero A’B’C’D’ foi obtido através de uma transformação homotética (redução) a partir do quadrilátero ABCD.