Optique

Pr A. JRIFI 2014/2015

INTRODUCTION

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Optique phénomènes perçus par l’œil humain

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�Nature de la lumière�

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Théorie corpusculaire (Newton) :

L’information est transportée par des grains de lumière,

les photons (particules sans masse).

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• Propriétés du photon :

- masse nulle

- vitesse de la lumière

- énergie : E = h ν h ≈ 6,62×10^-34 J.s (constante de Planck)

Théorie ondulatoire (Hughens, Fresnel) :

la lumière est une onde caractérisée par un champ électrique et

un champ magnétique perpendiculaire entre eux.

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�Généralités sur la lumière�

• L’optique décrit l’étude des phénomènes lumineux.

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L’optique géométrique s’intéresse aux propriétés de propagation de la lumière.

Bases de l’optique géométrique :

• Lumière – Sources lumineuses
• La lumière L’obscurité
• l’obscurité est l’absence de la lumière
• L’existence donc, de la lumière est expliquée par la présence des sources lumineuses.

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• les sources lumineuses primaires ou intrinsèques qui produisent elles-mêmes la lumière qu’elles émettent

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• les sources secondaires ou par diffusion qui sont des objets éclairés par d’autres sources et qui renvoient en partie la lumière qu’ils en reçoivent.

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Milieux transparents, translucides et opaques :

• Milieu transparents : ils se laissent passer par la lumière ; on peut donc distinguer ce qui se trouve derrière eux. Exemple : verre à vitres, air, vide, eau…

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• Milieux translucides : ils laissent passer la lumière, mais on ne peut pas distinguer les objets situés derrière eux. Exemple : Papier, papier calque, verre dépoli, brouillard.

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• Milieux opaques : ils ne se laissent pas traverser par la lumière. Exemple : mur, écran

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�Propagation de la lumière :�

• Les raies de la lumière solaire, le faisceau de lampe de poche dans la nuit, le rayon laser dans la brume…permettent tous de visualiser le trajet suivi par la lumière.

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• Un rayon lumineux matérialise la trajectoire selon laquelle la lumière se propage

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• Un milieu est dit homogène si il a la même composition en tous ses points.

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• Un milieu est dit isotrope si ses propriétés sont les mêmes dans toutes les directions.

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• Dans un milieu transparent homogène, les rayons lumineux sont rectilignes.

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Célérité de la lumière

• La lumière se propage à une vitesse très élevée, qui dépend du milieu traversé. Elle est la plus rapide dans le vide, sa vitesse (célérité) est :

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• C= 299792458 m/s≈3.10⁸ m/s

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�Les caractéristiques de la lumière�

• La lumière est caractérisée en tant qu’onde électromagnétique par :
• La fréquence ν (fixée par la source et donc indépendante du milieu de propagation) qui est le nombre d’oscillations par seconde de l’onde[s^-1].
• La période T=1/ν qui est le durée d’une oscillation.
• La longueur d’onde λ qui est la distance parcourue pendant une période dans le vide, on a : λ₀= CT=C/ν.

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Remarques

• c et λ dépendent du milieu de propagation :
• - Dans le vide : c₀ = 299 792 458 m/s (≈ 300 000 km/s)
• - c ≤ c₀
• - λ ≤ λ₀

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• La couleur d’une radiation dépend de sa fréquence.

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�Spectre d’ondes électromagnétiques �

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• Le domaine visible est situé entre 0.380 μm et 0.780 μm.

Visible → 400 nm à 700 nm

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• Violet : 400 à 450 nm

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• Bleu : 450 à 520 nm

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• Vert : 520 à 560 nm

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• Jaune : 560 à 600 nm

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• Orange : 600 à 625 nm

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• Rouge : 625 à 700 nm

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• Notre sens de la vue s’est développé dans une région spectrale (visible) qui correspond à des longueurs d’onde du rayonnement solaire peu absorbées par l’atmosphère. La superposition de toutes les radiations du domaine visible donne de la lumière blanche.

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• Les U. V. interviennent dans la production de la vitamine D, sont à l’origine du bronzage, mais aussi du cancer de la peau.

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• Les infrarouges se caractérisent par leurs effets calorifiques.

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Quand est ce qu’on applique les 2 théories

• - Si λ est de l’ordre de grandeur ou plus grande que les obstacles (l’appareillage), on applique l’optique ondulatoire
• - Si λ est extrêmement faible, comparable à l’échelle atomique ou moléculaire, on applique l’optique corpusculaire.

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• La description de la lumière dépend de la dimension (DO) des objets par rapport à λ :

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Rayons – Faisceaux – Pinceaux lumineux

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�Indice de réfraction d’un milieu transparent :�

• Dans un milieu matériel, si la vitesse de propagation v de l’onde dépend de la fréquence de l’onde (et donc deλ), on dit que le milieu est dispersif.
• Remarque:
• le vide, pour lequel la célérité C est indépendante de la fréquence, est non dispersif.

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Indice de réfraction

• Par définition, l’indice de réfraction absolu d’un milieu est n=C/V.

Puisque V≤C, on peut dire donc, que n≥1 (avec n un nombre sans unité).

Remarque:

Dans les milieux dispersifs, puisque V dépend de λ, n en dépend aussi. Pour de nombreux matériaux transparents, l’indice n suit la loi de cauchy :n= d+e/λ², avec d et e sont des constantes. A partir de cette relation on peut tirer que n augmente lorsque λ diminue.

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Dans le tableau ci-dessous, on trouve quelques indices de différents milieux

correspondants à une longueur d’onde moyenne du spectre visible (λ=0,6μm)

Remarque :

lorsqu’une onde se propage dans différents milieux, sa fréquence ν ne

change pas, car elle caractérise la source. Par contre, on sait que la vitesse de propagation varie, donc λ aussi change : λ=VT=V/ν=C/n/ν=λ₀/n

�Réflexion et Réfraction�

• La réfraction est le phénomène par lequel la lumière subit une déviation en passant d’un milieu à un autre. Elle n’a eu lieu que si les deux milieux envisagés sont transparents.
• Exemple : Un bâton immergé dans l’eau semble être brisé.

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• La réflexion est le phénomène par lequel la lumière est renvoyée dans le milieu duquel elle provient. Elle a toujours lieu à la rencontre d’une surface polie, que le second milieu soit transparent (dioptre) ou opaque (miroir).

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Lois de Snell – Descartes

• Si la lumière rencontre un milieu homogène, isotrope et transparent on peut observer

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Rayon incident

Rayon réfracté

Rayon réfléchi

Lois de Snell – Descartes : réflexion

• a. Lois de la réflexion:

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• Le rayon réfléchi est dans le plan d’incidence et dans le milieu 1.

• Le rayon réfléchi fait un angle i₂ avec la N, tel que:

i₂= i₁ (En valeur absolue)

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- Plan d’incidence:

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Formé par le rayon incident et par la normale N à la surface séparant les milieux 1 et 2.

Lois de Snell – Descartes: réfraction

• b. Loi de la réfraction:

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• Le rayon réfracté est dans le plan d’incidence et dans le milieu 2.

• Le rayon réfracté fait un angle i₂ avec N, tel que: n₁sin(i₁)= n₂sin(i₂)

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Une réfraction est toujours accompagnée d’une réflexion.

Plan d’incidence:

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Formé par le rayon incident et par la normale N à la surface séparant les milieux 1 et 2.

EXEMPLE: Réflexion et réfraction sur un dioptre plan :

Définition

• Un dioptre est une surface séparant deux milieux transparents homogènes et isotropes, d’indices de réfraction différents.

Dans cette partie, on va étudier les dioptres plans, sachant que l’étude d’un dioptre courbe se passera comme le dioptre plan qui serait tangent à la surface au point où arrive la lumière.

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Expérience

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On dispose d’une source (laser) fournissant un faisceau étroit de rayons lumineux parallèles, par exemple un laser. On dirige ce pinceau obliquement vers la tranche plane polie d’une demi-lune en plexiglas(ou en verre). On examine ce qui se passe au niveau de ce dioptre plan.

On constate qu’une partie de la lumière est renvoyée dans le milieu d’où elle vient (réflexion) et qu’une autre partie de la lumière pénètre dans le verre en traversant le dioptre, tout en subissant un changement de direction (réfraction).

Terminologie

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• Les deux phénomènes consistent en un changement de la direction de propagation des rayons lumineux.
• Réflexion : lorsque la lumière retourne vers le milieu où elle provient, sans avoir traversé le dioptre.
• Réfraction : Lorsque la lumière pénètre dans l’autre milieu après avoir traversé le dioptre.

* Le rayon qui arrive sur le dioptre est appelé rayon incident.

• Le rayon qui a subi une réflexion est appelé rayon réfléchi.
• Le rayon qui a subi une réfraction est appelé rayon réfracté.
• Le point d’incidence (I) est le point où le rayon incident touche le dioptre et d’ où repartent les rayons réfléchi et réfracté.
• Une normale est une droite perpendiculaire au dioptre. On considère la normale qui passe par le point d’incidence.
• Les angles sont toujours mesurés à partir de la normale (jamais à partir du dioptre).
• Le plan défini par le rayon incident et la normale est appelé plan d’incidence.
• L’angle compris entre la normale et le rayon incident est appelé angle d’incidence (noté i₁).
• L’angle compris entre la normale et le rayon réfléchi est appelé angle de réflexion (noté r₁).
• L’angle compris entre la normale et le rayon réfracté est appelé angle de réfraction (noté r₂).

Conclusion

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• Un rayon lumineux qui arrive perpendiculairement sur un dioptre le traverse sans changer de direction.
• L’angle de réflexion est identique à l’angle d’incidence
• Il n’y a pas de proportionnalité entre l’angle d’incidence et l’angle de réfraction.

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Principe de FERMAT

• Enoncé
• La lumière se propage d’un point à autre sur une trajectoire telle que la durée du parcours soit minimale.

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• Le chemin optique est le chemin dont le temps de parcours est le plus court.

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Chemin optique

• Chemin optique le long d’une courbe quelconque
• Deux points distants de ds sur une courbe quelconque C dans un milieu homogène d’indice n, le chemin optique est défini par : dL = n ds

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Le chemin optique entre deux points M et M’ de cette courbe C est l’intégrale curviligne :

L_MM’=

Dans un milieu d’indice n, le chemin optique est la distance parcourue par la

Lumière dans le vide pendant le même temps qui a pris pour aller de M à M’

Chemin optique dans un milieu homogène:

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L_AB=n₁AI + n₂ IJ + n₃ JB

* Milieu homogène par morceaux : les rayons lumineux se présentent comme des lignes brisées.

�Chemin optique en fonction de t :�

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Sachant que v=c/n et que le temps de parcours est dt=ds/v, on a :

dL= nds=(c/v) ds=cdt

En conclusion, on peut dire que le chemin optique

est proportionnel au temps de parcours.

Chemin optique stationnaire

• Actuellement avec le concept de chemin optique (autre façon d’évaluer la durée du parcours), minimal est remplacé par stationnaire.

​

• Entre 2 points, la lumière suit le trajet correspondant à un chemin optique stationnaire (constant) c.à.d. le chemin avec le temps de parcours minimal.  

Donc, dans un milieu homogène, n = constante, la lumière se propage en ligne droite

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Conséquence du principe de Fermat

• Conséquence N°1 : Propagation rectiligne dans un milieu homogène
• * n=cste donc L_AB= n

Exemple : Un rayon lumineux traverse une couche de 5cm :

• D’eau où n_eau= 1,33, L_eau= 1,33*5=6,65cm
• D’air où n_air= , L_air= 1*5=5cm
• Conséquence N°2 : retour inverse de la lumière.
• Le trajet pour aller d’un point A à un point B étant de durée minimum, il l’est aussi pour retourner de B à A. c’est le principe de retour inverse de la lumière.

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On peut dire donc que, le trajet suivi par la lumière ne dépend pas du sens de parcours.

�Lois de Snell-Descartes :�

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Enoncés

La lumière se propage en ligne droite dans un milieu homogène, lorsqu’elle rencontre un deuxième milieu homogène, elle change

de direction et donne généralement lieu à une onde réfléchie et une onde réfractée.

�Première loi :�

Les rayons réfléchi et réfracté sont dans le plan d’incidence (plan défini par la normale à la surface et le rayon incident).

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�Deuxième loi :�

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Les rayons incident et réfléchi sont symétriques par rapport à la normale i’₁=i₁.

�Troisième loi :�

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Les directions des rayons incident et réfracté sont telles que n₁sini₁=n₂sini₂ et sont situées de part et d’autre de la normale.

Si n₁<n₂, le rayon réfracté se rapproche de la normale (i₂<i₁)

Si n₁>n₂, le rayon réfracté s’écarte de la normale (i₂>i₁)

�Discussion�

• 1^er cas : n₁ < n₂
• Lorsque i₁→ π/2, n₁sini₁=i₁=n₂sini₂ sini₂= n_1/ n₂<1. I ₂ tend vers un angle i_l qu’on appelle angle de réfraction limite et qui est défini par sin i_l=n₁/n₂

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�2ème cas : n1 > n2�

• La direction du rayon réfracté est définie par sini₂ = (n₁/n₂)sini₁

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�Applications�

• Prismes à réflexion totale permettant de dévier à angle droit ou de redresser une image. Utilisés dans les jumelles ou les appareils photos dits reflex.

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Dans les cas ci-dessous i vaut 45° et est donc supérieur à i_l, il y a réflexion totale.

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�Réfringence :�

• Définition :
• On dit qu’un milieu est plus réfringent qu’un autre si son indice de réfraction absolu est supérieur à celui de l’autre milieu.

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Remarque 

• L’indice de réfraction absolu est le rapport du sinus de l’angle d’incidence dans le vide (i _vide) et de l’angle de réfraction dans le milieu en question (i_x)
• n _x =sin i_vide / sin i_x
• On peut dire donc, que le vide est le milieu le moins réfringent (n_vide=1 et n_matière>1)

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�Exercices d’applications :�

• Citez un milieu moins réfringent et un milieu plus réfringent que le verre.
• D’après les deux premiers schémas ci-contre, classez les milieux par réfringence croissante. Déterminez ensuite comment le troisième rayon se réfractera.

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Construction du rayon réfléchi et du rayon réfracté

• Étape 1
• Tracer 2 arcs de cercles de centre I et de rayons respectivement proportionnel à l’indice n₁ du milieu d’incidence et n₂ du milieu de réfraction.

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Étape 2

Prolonger en pointillé léger le rayon incident à travers le milieu (2) sans le dévier. Il coupe le cercle de rayon n1 au point A.

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Étape 3

Tracer une droite passant par le point A et parallèle à la normale au point d’incidence I. Cette droite coupe le cercle de rayon n₂ au point B et recoupe le cercle de rayon n1 au point C.

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Étape 4

Tracer le rayon réfracté (demi droite IB) et le rayon réfléchi (demi droite IC)

Montrer que cette construction satisfait les relations de Snell-Descartes.

• Par construction, il est aisé de vérifier que :

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Soit:

d’où:

i₁ = i'₁

n₁ sin(i₁) = n₂ sin(i₂)

Chapitre II Systèmes optiques

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Systèmes optiques

• Définition

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• Les systèmes optiques sont des successions de milieux transparents séparés par des dioptres ou par des surfaces réfléchissantes. Le plus souvent, les surfaces séparant les différents milieux présentent une symétrie de révolution autour d'un axe.

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Images données par un système optique

• Soit un système optique (S).
• On dit qu'un point A' est l'image d'un point A à travers (S) - ou que A et A' sont conjugués à travers (S) - si à tous les rayons incidents dont les supports passent par A, correspondent des rayons émergents dont les supports passent tous par A'.

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Notions d’objet et d’image

• Un système est dit dioptrique s’il ne comporte que des dioptres.
• Un système est dit catadioptrique s’il comporte des dioptres et des miroirs

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Système optique centré: les surfaces de séparation entre les différents milieux sont des surfaces de révolution autour de l’axe de système optique ou axe optique. Cette symétrie impose que les surfaces soient perpendiculaires à l’axe optique.

�Objets, images et espaces réels�

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Lorsque les rayons incidents passent effectivement par A, on dit que A est un objet réel.

On remarquera que, dans le cas d'un point objet réel A, les chemins optiques [AI], [AJ] et [AK] ont des valeurs algébriques positives puisque les sens de parcours de A vers les différents points d'incidence (I, J, K) sur la face d'entrée du système optique (S) s'effectuent dans le sens de la lumière.

Lorsque les rayons émergents passent effectivement par A', on dit que A' est une image réelle.

Dans ce cas également, les chemins optiques [I'A'], [J'A'] et [K'A'] ont des valeurs algébriques positives.

On dira donc que des points objet ou image sont réels si les chemins optiques qui partent ou aboutissent à ces points ont des valeurs algébriques positives.

• L'espace objet réel comprend tous les points situés en avant de la face d'entrée du système (S) : un objet se trouvant dans cet espace est donc réel.
• L'espace image réel est la région de l’espace située après la face de sortie de (S) : une image se formant dans cet espace est donc réelle.

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Objets, images et espaces virtuels

• On dit que A est un objet virtuel pour le système (S) si ce sont les prolongements des rayons incidents qui passent par A.

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On notera que les chemins optiques [AI], [AJ] et [AK] ont des valeurs algébriques négatives puisque les sens de parcours de A vers les différents points d'incidence (I, J, K) sur la face d'entrée du système optique (S) s'effectuent dans le sens inverse de la lumière.

Tous les points situés après la face d'entrée de (S) appartiennent à l'espace objet virtuel : un objet se trouvant dans cet espace est donc virtuel.

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Si seuls les prolongements des rayons émergents se coupent en A', alors A' est une image virtuelle donnée par (S). Les chemins optiques [I'A'], [J'A'] et [K'A'] ont des valeurs algébriques négatives.

On dira donc que des points objet ou image sont virtuels si les chemins optiques qui partent ou aboutissent à ces points ont des valeurs algébriques négatives.

L'espace image virtuel contient tous les points situés avant la face de sortie de (S) :. une image se trouvant dans cet espace est donc virtuelle.

Notions d’objet et d’image

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Notions d’objet et d’image

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Résumé

• Pour tout système optique 

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Caractérisation d’une image 

• L’étude des dispositifs optiques devra, en général, répondre au moins à quelques questions en ce qui concerne l’image qu’on peut avoir à partir d’un objet :
• Quelle est sa nature (réelle ou virtuelle)
• Quelle est sa position
• Quelle est son orientation (droite ou renversée)
• Quelle est sa dimension par rapport à celle de l’objet

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Afin de pouvoir y répondre, on va faire une recherche générale sur l’image d’un objet qui possède une certaine longueur, ainsi qu’un haut et bas discernables ; l’objet typique considéré sera pour toujours une flèche, qui possède une base et une pointe (pour distinguer le haut du bas) séparées par une certaine distance (permettant de comparer la grandeur de l’image à celle de l’objet).

Stigmatisme

• Stigmatisme rigoureux
• Définition : Un système optique (S) est dit stigmatique pour un couple de points A et A' si tout rayon passant par A avant la traversée de (S), sort du système en passant par A'. On dit également que (S) donne de l'objet ponctuel A une image ponctuelle A'.
• Un système peut être stigmatique pour un seul couple de points ou pour un ensemble de couples de points.
• Dans ce cas, on dit que les deux points A et A’ sont conjugués dans le système optique.

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Stigmatisme approché 

• Lorsque tous les rayons issus de A qui traversent le système optique passent au voisinage de A’.
• Ce type de stigmatisme est retrouvé en général dans les conditions de Gauss.

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Remarque

• Le stigmatisme pour tout point de l’espace, dit « stigmatisme rigoureux », n’existe que très rarement ; en général, un système optique n’est stigmatique que pour des points particuliers.

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Condition de stigmatisme rigoureux

• Cherchons la condition nécessaire et suffisante pour qu'un système optique (S) soit rigoureusement stigmatique pour un couple de points A et A'.
• Supposons des rayons lumineux émis, dans le premier milieu par une source ponctuelle A; les surfaces d'onde Σ ₁ dans ce milieu sont alors des sphères de centre A.
• Si tous les rayons dans le dernier milieu passent par un même point A', les surfaces d'onde dans le dernier milieu sont également des sphères Σ ₂ de centre A'.
• L'égalité des chemins optiques L _{Σ 1 Σ 2} entre Σ ₁ et Σ ₂ peut se traduire par l'égalité des chemins optiques L_AA' entre A et A' pour tous les rayons issus de A et arrivant en A’.

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La condition de stigmatisme rigoureux pour un couple de points A et A‘ s'écrit donc :

L_AA’= Cste

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Conditions de stigmatisme approché. Approximation de Gauss.

• Points sur l'axe
• Un système centré est approximativement stigmatique pour les points de l'axe :
• si l'on ne considère que des rayons faisant un petit angle avec l'axe c'est-à-dire des rayons para axiaux.
• si les angles d'incidence des rayons sur les différents dioptres du système sont faibles de sorte que l'on puisse écrire la loi de la réfraction sous la forme :
• n₁i₁ ≈ n₂i₂

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* Ces conditions sont appelées "conditions de stigmatisme approché de Gauss "

* Ceci suppose que la partie utile des dioptres ou des miroirs est restreinte à la région voisine de l’axe optique.

CONCLUSION

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• Condition de Gauss:
• • Les rayons lumineux considérés restent voisins de l’axe, avec de faibles angles d’inclinaison.

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• Images hors conditions de Gauss:
• • Floues.
• • Déformées.
• • Distordues.

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• Dans la pratique: On limite les rayons lumineux avec un diaphragme.

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Conséquences de l’approximation de Gauss

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Aplanétisme

• Un système est dit aplanétique si l'image d'un objet perpendiculaire à l'axe optique (l'axe de symétrie du système) est elle aussi perpendiculaire à ce dernier.

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Points en dehors de l'axe. Aplanétisme

• Considérons un système centré stigmatique pour un couple de points A et A’ de l’axe. Le chemin optique L_AA’ est constant et indépendant de la direction u du rayon incident et de la direction de u' du rayon émergent, donc de tout déplacement des points d’incidence et d’émergence I et I’ des rayons sur le système.
• On a : L_AA’ = constante pour ∀ I, I’

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Le système sera également stigmatique pour le couple de points B et B’,

proches de A et A’, s’il en est de même pour le chemin optique L_BB’:

L_BB’ = constante quel que soit I, I’

B et B’ étant proches de A et A’, on peut écrire :

L_BB’ = L_AA’ + d L_AA’

L_BB’ = L_AA’+

Or :

et

Donc, L_BB’ = constante si l’on a :

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Aplanétisme�

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Aplanétisme: CONCLUSION

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Chapitre 3

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Applications aux systèmes planaires

Les miroirs plans 

• Les miroirs plans vont permettre d’illustrer simplement les notions qui viennent d’être introduites : point objet, point image, point réel, point virtuel.
• Un miroir plan sera représenté, vu par la tranche, par un segment symbolisant la face réfléchissante, muni de hachures du coté où la lumière ne se propage pas.

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Image d’un objet réel donnée par un miroir plan

• On suppose qu’un objet AB (une flèche) est placé devant un miroir plan M. ce dernier constitue, à lui seul, un système optique (dessin à gauche). On cherche à trouver une image pour cet objet, pour cela, on imaginera des rayons lumineux qui partent du point A et du point B en direction du miroir. Par application de la loi de réflexion (r₁=i₁), il est possible de construire les rayons réfléchis, symétriques des rayons incidents par rapport aux normales (dessin au milieu). Les rayons quittent le miroir, en divergeant ; pour trouver une intersection, il est nécessaire de les prolonger de l’autre coté du miroir. Les intersections des prolongements des rayons réfléchis issus de A et de B se coupent en A’ et en B’. On peut donc affirmer que le miroir donne de l’objet AB l’image A’B’ (dessin à droite).

​

Pr A. JRIFI 2014/2015

Pr A. JRIFI 2014/2015

L’objet AB n’ayant pas été choisi de manière particulière, il est permis d’affirmer de manière tout à fait générale qu’un miroir plan donne d’un objet réel AB une image A’B’ qui est :

• virtuelle (sur les prolongements des rayons réfléchis)
• droite (l’image du haut est en haut, celle du bas en bas)
• de même grandeur que l’objet (longueur AB= longueur A’B’)
• symétrique du miroir par rapport à l’objet.

Image d’un objet virtuel donnée par un miroir plan

• D’après la terminologie introduite plus haut, on entend par « objet virtuel » un ensemble de points qui se situent à l’intersection des prolongements des rayons lumineux qui arrivent vers le miroir ; puisqu’il faut prolonger les rayons pour trouver leur intersection, il s’agit de rayons convergents dont le point de convergence se situe au –delà du miroir. Cet objet virtuel est représenté par la flèche AB. Sur le deuxième dessin sont représentés quelques rayons « provenant virtuellement » des points A et B. Ensuite, la recherche de l’image par construction géométrique se réduit à l’application de la loi de réflexion à ces rayons, comme dans le cas précédent.

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Pr A. JRIFI 2014/2015

Pr A. JRIFI 2014/2015

L’objet AB n’ayant pas été choisi de manière particulière, il est permis d’affirmer de manière tout à fait générale qu’un miroir plan donne d’un objet virtuel AB une image A’B’ qui est :

• réelle (sur les rayons réfléchis eux-mêmes)
• droite ((l’image du haut est en haut, celle du bas en bas)
• de même grandeur que l’objet (longueur AB= longueur A’B’)
• symétrique du miroir par rapport à l’objet.

Résumé

• Si A était virtuelle, l’image A’ serait réelle. (⇔ A et A’ sont de nature différente).
• A’ est symétrique de A par rapport au miroir quel que soit I ⇒ le miroir plan est rigoureusement stigmatique.
• Si l’objet non ponctuel AB est parallèle au miroir, A’ et B’ sont respectivement symétriques de A et de B par rapport au miroir. ⇒ A’B’ = AB et l’image est ‘droite’ (même sens que l’objet).

​

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�APPLICATION : Rotation d’un miroir�

• Le miroir dans sa position initiale M₁ réfléchit le rayon incident R dans la direction R₁.
• Après rotation du miroir d’un angle α, le miroir dans la position M₂ réfléchit le même rayon incident dans la direction R₂.
• L’angle entre R₂ et R₁ est 2i₁ – 2i₂ = 2(i₁ – i₂). i₁ – i₂ est l’angle entre les deux normales aux miroirs, donc i₁ – i₂ = α et le rayon réfléchi a tourné dans le même sens que le miroir d’un angle égal à 2α.

​

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Dioptre plan

• Dioptre unique
• Cherchons A’, image de la source ponctuelle réelle A. On l’obtiendra au point d’intersection de deux ou plusieurs rayons réfractés.

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Choisissons un premier rayon incident en I, si n₁ > n₂, le réfracté s’éloigne de la normale et i₂ > i₁. Comme deuxième rayon, on prendra un rayon perpendiculaire à la surface (incident en H), il n’est pas dévié et A’ se trouve donc au-dessous de A. A’ est virtuelle.

Supposons que nous cherchions l’image à l’aide d’un autre rayon incident, en I’ : cette image sera-t-elle confondue avec la précédente ?

On peut écrire :

HI= HA tan i₁=HA' tan i₂

C'est-à-dire

Puisque, d’après la loi de Descartes, i₂ est fonction de i₁, on obtient :

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* La position de A’ dépend donc de i₁, c’est à dire de la position de I.

* Le dioptre plan n’est pas rigoureusement stigmatique pour un point objet quelconque.

Cas particuliers :

HA = 0 ⇒ HA’ = 0

HA → ∞ ⇒ HA’ → ∞

* Il y a stigmatisme rigoureux pour les points de la surface du dioptre et pour les points situés à l’infini.

* En dehors de ces points, on peut avoir stigmatisme approché lorsque l’angle d’incidence i₁ est faible (i). L’angle de réfraction i₁≤10° est également faible et on a alors cos i₁ ≈ 1 ≈ cos i₂, ce qui donne HA '≈HA n₂/n₁, indépendant de i₁.

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* Lorsque les rayons lumineux sont faiblement inclinés sur l’axe AH, le dioptre plan donne du point objet A une image A’ quasi-ponctuelle. On est dans l’approximation de Gauss.

* L’image d’un objet AB parallèle à la surface du dioptre, est A’B’ parallèle à la surface, car AH = BH’ et A’H = B’H’). Le grandissement est alors

​

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Si l’objet est perpendiculaire à la surface du dioptre, γ≠1.

* L’objet et l’image sont toujours du même côté du dioptre, ils sont donc de nature différente.

* Sauf avis contraire, on se placera toujours dans les conditions de Gauss (petits angles).

Association de dioptres plans

• LAME A FACES PARALLELES
• Ce terme désigne un milieu transparent homogène limité par deux surfaces planes parallèles.

- Dans le cas où la lame, d’indice n sépare deux milieux d’indices différents n₁ et n₂, le rayon émergent est dévié.

​

​

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Dans le cas où la lame d’indice n est plongée dans un milieu d’indice n₁, le rayon émergent est seulement translaté.

L’image A’ d’un point objet réel A est virtuelle et l’on a, pour une lame d’épaisseur e, et pour un angle d’incidence i petit (approximation de Gauss) :

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Translation des rayons lumineux

nous obtenons:

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La distance de translation dépendant de l’angle d’incidence du rayon sur la lame et de l’épaisseur de la lame.

Translation des rayons lumineux

dans le triangle IJH, nous avons :

on peut donc écrire :

il faut éliminer r dans cette expression :

nous obtenons:

dans le triangle IJK:

d = JK = IJ sin(i – r)

la distance de translation du rayon incident d = JK

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Image d’un objet par une lame

avec

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Image d’un objet par une lame

Appliquons deux fois la relation de conjugaison des dioptres plans pour obtenir la position de l’image A" à travers la lame.:

en sommant les deux égalités, on obtient:

avec

�PRISME�

• C’est un milieu transparent homogène d’indice n limité par deux faces non parallèles qui font entre elles un angle qu’on appelle A.

​

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Relation entre r, r' et  :

Relation entre D, i, i' et  :

Loi de réfraction de Descartes

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​

Constitué par un milieu transparent limité par deux surfaces planes non-parallèles.

Relation entre r, r' et  :

r + r’ = Â

Relation entre D, i, i' et  :

D₁ = i – r

D₂ = i’ – r’

D = D₁ + D₂

= i + i’ – r – r’

= i + i’ – Â

en I sin i = n sin r

en J sin i' = n sin r'

Loi de réfraction de Descartes

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Pour un prisme de petit angle au sommet  et une faible incidence on a:

i = n r et i' = n r'

D = (n – 1) Â

 = r + r'

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Condition d’émergence du rayon incident:

Conditions sur r

En pénétrant par la première face du prisme, le rayon incident est réfracté puis tombe sur la deuxième face sous l’angle d’incidence r’ = A - r. Pour que le rayon puisse émerger, il faut que r’ soit inférieur ou égal en valeur absolue à l’angle critique d’incidence i_l défini par sin i_l =1/n

.

Soit : - i_l ≤ r’ ≤ i_l

- i_l ≤ A - r ≤ i_l

d’où : A - i_l ≤ r ≤ A+ i_l (a)

Par ailleurs, l’angle d’incidence i variant

entre – π/2 et + π/2, il en résulte que : - i_l ≤ r ≤ + i_l (b)

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La comparaison des conditions (a) et (b) montre que r doit être

- inférieur à la plus petite des valeurs de A+ i_l et i_l

- supérieur à la plus grande des valeurs de A- i_l et - i_l

soit finalement :

A - i_l ≤ r ≤ i_l

​

Conditions sur A

• Pour trouver ces conditions remarquons que A = r + r' avec | r | ≤ i_l et | r' | ≤ i_l
• soit : A ≤2i_l

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Autre méthode :

• traçons les graphes r = A ± i_l = f(A). On remarque que les inégalités précédentes [(1) et (2)] ne sont satisfaites qu’à l’intérieur du parallélogramme MNPQ. Comme l’angle A du prisme est positif, la région permise se limite au triangle hachuré MNP .
• Le graphe donne directement la condition d’émergence : A ≤ 2 i_l :

​

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Conditions sur i

• Pour un A donné remplissant la condition précédente, on peut atteindre les limites de variation de l’angle d’incidence i qui correspondent aux valeurs limites de r ( points H et H’ du graphe ) :

​

• pour r = i_l ( point H ) on a i = π/2 puisque sin i = n sin i_l = 1
• pour r = r₀ = A - i_l ( point H') on a i = i₀ tel que :
• sin i₀ = n sin r₀ = n sin (A - i_l )
• Pour l'angle d'incidence la condition d'émergence s'écrit donc sous la forme :
• i₀ ≤ i ≤π/2

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Remarque

• pour un angle A donné, on a pour les angles d'entrée et de sortie les variations suivantes :

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Etude de la déviation du prisme

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Variation de la déviation D avec l’angle A du prisme

• La différentiation des formules du prisme, en maintenant n et i constants, donne :

​

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• Puisque n est supérieur à 1, cette quantité est toujours positive car |r’| < |i’| entraîne cos r’ > cos i’ et donc n cos r’ > cos i’ :
• La déviation D est donc une fonction croissante de A.
• De plus, si A est nul, D est nul; la déviation est alors toujours positive et a lieu par conséquent du coté de la base du prisme.

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Variation de la déviation D avec l’indice n

• En différentiant les formules du prisme, en gardant A et i constants, on obtient dans ce cas :
• 0 = n cos r dr + sin r dn
• cos i’ di’ = n cos r’ dr’ + sin r’ dn
• 0 = dr + dr’
• dD = di’

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Variation de la déviation D avec l’angle d’incidence i :

• Minimum de déviation
• La différentiation des formules du prisme donne lorsque A et n sont constants :
• cos i di = n cos r dr
• cos i’ di’ = n cos r’ dr’
• 0 = dr + dr’
• dD = di + di’
• ce qui conduit à :
• dD/di = 1 +di’/di

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Le tracé du rayon dans le prisme est alors symétrique.

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Étude de la déviation par un prisme

étudions les variations de D en fonction des trois variables dont elle dépend.

sin i = n sin r soit cos i di = sin r dn + n cos r dr

​

sin i' = n sin r' soit cos i' di' = sin r'dn + n cos r'dr'

La relation  = r + r' donne : d = dr + dr'

La déviation D = i + i’– Â peut être considérée comme une fonction des variables indépendantes n, Â et i (i' dépend de Â, i et n)

On a:

La déviation D = i + i'– Â donne:

dD(i, n, Â) = di + di'(n, i, Â) – dÂ

1

2

3

4

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Variation de la déviation en fonction de l’indice

la déviation augmente avec l’indice du prisme.

Variation de la déviation en fonction de l’angle du prisme

La déviation croît avec l’angle du prisme.

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Variation de la déviation en fonction de l’angle d’incidence

avec n > 1, l’extremum est atteint lorsque: r = r' ou r = – r'

la solution r = – r ’ n’est pas acceptable car: A = r + r'

on retient donc la solution: r = r’ =Â/2

l’angle d’incidence correspondant est donné par i_m :

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Le domaine de définition de D(i) étant [i₀, π/2],

pour i = i₀

pour i = π/2

r = r'_c; r'= Â – r'_c; i' = i₀

r = Â – r'_c; r'= r'_c; i' = π/2

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Chapitre 4

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Applications aux systèmes sphériques

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Dioptre sphérique

1. Dioptre sphérique concave ou convexe

Le dioptre sphérique est dit concave ou convexe selon que sa concavité est orientée dans le sens des rayons incidents ou dans le sens opposé.

I. Dioptre sphérique:

surface sphérique de rayon de courbure R > 0 qui sépare deux milieux transparents et homogènes d’indices optiques différents.

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2. Dioptre convergent ou divergent

un dioptre est dit convergent si le foyer image F' est réel, divergent s’il est virtuel

- Dioptres convergents

- Dioptres divergents

Dioptre sphérique

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Dioptre sphérique

dans les triangles IAC et ICA', la somme des angles orientés est égale à π :

• dans I AC : α + π − i + (−ω) = π, d’où i = α − ω

• dans ICA' : (−α') + r + π − (−ω) = π, d’où r = α' − ω

2. Relation de conjugaison (avec origine au sommet)

- Dioptre convexe convergent

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dans le cadre de l’approximation des petits angles, on peut confondre H et S

dans le cadre de l’approximation de Gauss, les angles (α, α' et ω) sont petits, on utilisera donc la loi de Kepler.

n(α − ω) = n'(α' − ω)

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3. Relation de conjugaison (avec origine au centre)

On peut établir une autre formule de conjugaison en choisissant l’origine du repère au centre C du dioptre.

Notons :

Après simplification, nous obtenons la relation de conjugaison du dioptre

sphérique avec origine au centre. :

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4. Foyers objet et image du dioptre sphérique; distance focale

Le foyer objet F est le point conjugué d’une image réelle à l’infini, tandis que le foyer image F’ est l’image d’un objet réel placé à l’infini.

utilisons la relation de conjugaison du dioptre sphérique avec origine au sommet, avec:

position du foyer objet F : avec

position du foyer image F’ : avec

les distances focales objet ƒ et image ƒ’ sont définies par :

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- Autres formulations de la relation de conjugaison

V: la vergence (δ)

relation de Descartes

N. B:

On définit la vergence d'un dioptre par la relation : 

​

Le dioptre sera convergent si sa vergence est positive c'est-à-dire si le centre de courbure C est situé dans le milieu d'indice de réfraction le plus élevé.

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Si AB est un objet transverse et A’B’ son image par le dioptre, alors le grandissement transverse γ est donné par la relation :

dans l’approximation des faibles angles, nous avons :

dans l’approximation de Gauss, la loi de la réfraction (loi de Kepler) s’écrit n i = n’i’. Il vient donc :

nous obtenons l’expression du grandissement :

5. Grandissement du dioptre sphérique

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- Cas d’un objet AB à l’infini

l’image A’B’ se trouve dans le plan focal du dioptre P_F’

la position du point B’ est l’intersection du rayon passant par le centre C du dioptre et du plan focal image P_F’

l’image A’ de A est confondu avec le point focal image F’

6. Construction géométrique de l’image

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- Cas d’un objet AB situé à distance finie du dioptre

l’image A’ de A se déduisant de B’ en prenant la projection de B’ sur l’axe

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II. Miroir sphérique:

miroir dont la surface réfléchissante est une portion de sphère

miroir concave

miroir convexe

Pour un objet réel, le miroir concave donne une image réelle tandis que le miroir convexe donne une image virtuelle.

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dans les triangles I AC et ICA', la somme des angles orientés est égale à π :

• dans I AC : α + π - ω − i = π, d’où i = α - ω

• dans IA'C : π - α' + i'+ ω = π, d’où i' = α' - ω

1.Relation de conjugaison du miroir sphérique (origine au sommet)

Pr A. JRIFI 2014/2015

dans le cadre de l’approximation des petits angles, on peut confondre H et S

approximation de Gauss, angles (α, α' et ω) petits, loi de Kepler:

(α − ω) = - (α' − ω)

α + α' = 2ω

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2. Relation de conjugaison du miroir sphérique (origine au centre)

3. Foyers objet et image du miroir sphérique

le foyer objet F est le point donnant une image à l’infini et le foyer image F’ est le point image d’un objet à l’infini.

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- Autres formulations de la relation de conjugaison

V: la vergence (δ)

relation de Descartes

relation de Newton

= V

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4. Grandissement du miroir sphérique

la loi de la réflexion donne i’ = –i, ce qui montre que les triangles SAB et SA'B' sont semblables.

​

nous obtenons donc :

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5. Construction de l’image d’un objet à travers un miroir sphérique

La construction de l’image d’un objet par un miroir sphérique est similaire à celle de l’image d’un objet à travers un dioptre sphérique, à condition d’inverser le sens de propagation de la lumière

- Cas d’un objet à l’infini

l’image A’B’ se trouve dans le plan focal du miroir P_F’

la position du point B’ est l’intersection du rayon passant par le centre C du miroir et du plan focal image P_F’

l’image A’ de A est confondu avec le point focal image F’

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- Cas d’un objet AB situé à distance finie du miroir

l’image A’ de A se déduisant de B’ en prenant la projection de B’ sur l’axe

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Chapitre 5

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Les lentilles minces

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Les lentilles minces

Lentille: Une lentille est un système optique où le milieu transparent et homogène est limité par deux surfaces dioptriques en général sphériques. La droite qui joint les centres de ces deux sphères est appelé axe optique de la lentille.

Lentille dont l’épaisseur maximum est très petite devant les rayons de courbure des deux dioptres.

La distance entre les sommets des dioptres e₀= S₁S₂ est prise égale à zéro

Les points S1et S2 sont assimilés au même point O (centre optique de la lentille).

Le plan passant par O et perpendiculaire à l’axe optique est appelé plan de la lentille.

Les lentilles minces sont étudiées en général dans l’approximation de Gauss:

Les rayons considérés sont limités à ceux qui restent proches de l’axe

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Les lentilles minces

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Les lentilles minces

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LES LENTILLES A « BORDS MINCES »

Les lentilles minces

Le tracé des normales à la surface des dioptres à l’entrée et à la sortie, ainsi que l’application de la 3^ième loi de Descartes montrent facilement qu’un faisceau incident parallèle à l’axe optique est transformé en un faisceau convergent. Il s’agit donc de lentilles convergentes.

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On peut retrouver les lentilles à bords minces convergentes en construisant un prisme s’appuyant sur les faces d’entrée et de sortie, la base étant située vers le côté de l’axe optique.

Les lentilles minces

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Les lentilles minces

LES LENTILLES A « BORDS EPAIS »

​

De la même façon que précédemment, on montre facilement qu’un faisceau incident parallèle à l’axe optique est transformé en un faisceau divergent. Il s’agit donc de lentilles divergentes.

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Les lentilles minces

On peut également assimiler l’ensemble des deux dioptres à un prisme, la base étant cette fois située à l’opposé de l’axe optique.

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Les lentilles minces

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Les lentilles minces

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Les lentilles minces

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Les lentilles minces

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Les lentilles minces

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Image d’un objet quelconque

Les lentilles minces

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Les lentilles minces

Lentilles accolées

L’association de N lentilles accolées (L₁, …, L_N) et de même axe optique est équivalente à une seule lentille L. Le centre O de L est le centre des N lentilles.

La vergence V de L est égale à la somme des vergences V₁, …, V_N des N lentilles associées :

γ = γ₁ γ₂ …. γ_N

Le grandissement γ de L est égal au produit des grandissements γ₁,…,γ_N des N lentilles :

V = V₁ + V₂ +…+ V_N

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Chapitre 6

​

Les instruments d’optique

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I- Introduction :

Il existe deux familles d’instruments :

• Il y a d’abord les appareils projectifs : ce type d’appareils donne d’un objet réel ou virtuel, une image réelle que l’on recueille sur écran. Exemple : l’œil, l’appareil photographique.
• Il y a aussi les appareils oculaires : ils donnent une image virtuelle que l’on observe à l’œil.

Exemple : la loupe, le microscope, le télescope, la lunette astronomique

�II- L’œil�

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II-1 Description :

En général, l’œil comprend principalement les éléments suivants :

• La cornée : est une membrane transparente, elle agit comme un dioptre sphérique.
• L’iris : coloré, qui fait office de diaphragme de diamètre variable, cet élément agit comme un diaphragme en contrôlant la quantité de lumière entrante.
• La pupille : qui apparait noire, est l’ouverture du diaphragme. Son diamètre varie entre 2 et 8 mm suivant l’intensité de la lumière.
• Le cristallin : est une lentille biconvexe, qui pour indice moyen dans le visible n=1,406, il agit comme une lentille convergente de focale variable.
• La rétine : contient les cellules photosensibles (cônes et bâtonnets), d’une autre manière, c’est un écran sur lequel les cellules photosensibles transforment la lumière en influx nerveux.
• L’humeur aqueuse et l’humeur vitrée : sont des milieux transparents d’indices moyens n=1,336.
• La fovéa ou tache jaune : est une partie de la rétine qui permet d’analyser l’image d’une manière plus fine.

​

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�Remarque :�

• La distance typique entre le cristallin et la rétine est de 25mm.
• Le cristallin se déforme sous l’action des muscles, ce qui permet à l’œil d’accommoder et de voir nettement les points situés à une distance donnée de l’œil.

​

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Accommodation :

• Lorsque l’objet vient à distance finie, le cristallin se bombe sous l’action des muscles ciliaires et la distance focale de l’œil diminue (le cristallin devient plus convergent) de façon que l’image puisse se former sur la rétine. C’est le phénomène d’accommodation.
• Cette accommodation a des limites car le cristallin ne peut pas augmenter trop sa vergence: La plus petite distance à laquelle l’œil peut voir un objet net est la distance minimum de vision distincte.
• L’objet est alors situé au Punctum proximum P_P
• Pour un adulte jeune, le P_P est à environ 25 cm, pour un enfant, il est à ≈ 8 à 10 cm, pour une personne plus âgée (≈ 40 ans), il est situé à ≈ 35 à 40 cm.
• On appellera d =OP_P
• Le point de l’axe optique le plus éloigné possible que l’œil au repos voit nettement est le Punctum remotum P_R. On appellera D = OP_R
• Pour un œil normal, D → - ∞.

​

​

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• On appelle pouvoir d’accommodation :
• Où C_PP et C_PR sont les vergences du cristallin quand il met au point respectivement sur P_P et sur P_R
• Puisque:
• Où OR est la distance du centre optique du cristallin à la rétine, on obtient immédiatement :

​

Pr A. JRIFI 2014/2015

Pr A. JRIFI 2014/2015

On appelle aussi A l’amplitude dioptrique d’accommodation.

A=-1/d si le P_R est à l’infini.

En général, A diminue avec l’âge, mais est la même quelque soit le type d’œil (normal, myope,…).

​

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La lumière entre par la cornée, traverse l’humeur aqueuse puis la pupille. Le cristallin la fait converger sur la rétine.

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II-2 L’œil réduit :

En général, on peut dire que l’œil est un système complexe, pour l’étudier on peut le représenter par un système équivalent plus simple qui rend compte de ses propriétés optiques : c’est l’œil réduit.

Il est constitué d’une lentille convergente de distance focale variable, plus au moins diaphragmée, et dont la distance au fond de l’œil est environ 16mm. Pour un œil normal au repos, la vergence de cette lentille est C=62,5δ

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1 On peut assimiler l’œil comme un instrument composé d’une lentille mince de focale variable (le cristallin) et un écran (la rétine).

​

Remarque :

2 Pour qu’un objet soit vu nettement, il faut que l’image se forme sur la tache jaune, il faut donc que l’objet se situe au voisinage de l’axe optique et possède un faible diamètre apparent α.

3 L’image est réelle, puisque située sur la rétine, renversée si l'objet est réel (elle serait droite si l'objet était virtuel).

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L'oeil peut être assimilé à un système optique constitué de:

• un dioptre sphérique (la cornée)
• une lentille mince (le cristallin)

Le schéma optique équivalent est le suivant:

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Œil "normal": emmétrope.

L’image est nette si celle-ci se forme sur la rétine.

​

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Astigmatisme: vision trouble de prés et de loin; mauvaise courbure de l’œil.

​

Correction: lentille non sphérique.

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Myopie: vision trouble de loin; l’image se forme avant la rétine; cristallin trop convergent ou œil trop profond.

correction: lentille divergente.

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Hypermétropie: trouble de la vision à toute distance et plus particulièrement

de prés; l’image se forme après la rétine.

Correction: lentille convergente.

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la distance focale objet est

la distance focale image est

La cornée peut être assimilée au dioptre sphérique suivant:

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dioptre1:

dioptre2:

Le cristallin peut être assimilé à la lentille mince suivante:

la distance focale image est :

la distance focale objet est :

�La loupe �

• Comme ce qu’on a vu, pour observer un objet, très petit, il faut le placer au P_P, l’œil doit donc accommoder, il se fatigue.
• La loupe est un instrument qui permet :
• De supprimer l’effort d’accommodation.
• D’observer l’objet sous un plus grand angle(en observant une image plus grande).

​

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- Le point le plus proche permettant une vision nette étant fixé (PP), pour mieux voir un objet, il faut utiliser un instrument : c’est ce que permet la loupe.

• Pour obtenir l’effet Loupe, il faut que l’objet

soit situé entre le centre optique d’une

lentille convergente et son foyer objet :

on obtient alors une image virtuelle, droite et agrandie.

Loupe avec accommodation

- De plus, afin que l’œil puisse observer cette image sans accommodation, celle-ci doit être à l’infini. La meilleure position de l’objet est celle où il sera sur le foyer principal objet.

Loupe sans accommodation

L’image obtenue avec une loupe peut-elle être plus ou moins grande? La distance objet-lentille joue-t-elle sur la taille de l’image observée?

• La réponse est non :
• Si on approche l’objet de la lentille, l’image devient moins grande (voir figure ), mais elle est vue plus près ;
• Si on éloigne l’objet de la lentille (en gardant |OA|<|OF| , l’image devient plus grande (voir figure ), mais elle est vue plus loin !
• L’angle θ′ défini sur cette figure est le même quel que soit le cas, il ne dépend que de la lentille.

​

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On définit alors le grossissement d’une loupe par le rapport entre :

• L’angle θ′ sous lequel est vu l’image ;
• L’angle θ sous lequel est vu l’objet depuis l’œil à la distance de vision minimale de l’œil emmétrope soit dm=25cm .

​

On a donc :

G= θ′/ θ

Or si on note h la hauteur de l’objet, f’ la focale de la lentille convergente, on peut écrire dans le cas des petits angles

G=θ′/θ=h/f′/h/dm=dm/f′

Pour avoir un fort grossissement, il faut prendre une lentille de courte focale (de grande vergence).��

• La loupe est l’instrument oculaire le plus simple. Elle consiste en une lentille convergente de faible distance focale, généralement biconvexe et elle est utilisée pour obtenir d’un objet réel une image virtuelle et agrandie. Ce cas est obtenu en plaçant l’objet entre le foyer objet et le centre optique de la lentille.

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Efficacité d’une Loupe

• Le paramètre essentiel qui nous permet de qualifier l’efficacité d’une loupe s’appelle puissance (P)
• La puissance de la loupe est donnée par : P = α’/AB La puissance intrinsèque Pi est obtenue pour un objet placé dans le plan focal objet de la loupe ( A ≡ F ), soit pour α’ = AB/ f' . La puissance intrinsèque d’une loupe est donc égale à la vergence :
• Pi = 1/f' = C
• Une loupe de 5 cm de distance focale a une puissance intrinsèque de 20 dioptries.

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EXEMPLE

• Calculer la puissance P pour qu’un objet de 2mm de taille, apparaisse aussi grande que la main à bout de bras

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Le Microscope

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Microscope composé utilisé par Robert Hooke

Dans son ouvrage Micrographia, Robert Hooke (1665) donnait des illustrations détaillées des informations qu’il avait faites à l’aide du microscope composé représenté à la figure ci-contre.

Le microscope

• Le microscope sert à l’observation de très petits objets ; sa puissance est donc beaucoup plus grande que celle d’une loupe, soit de l’ordre de 100 à 6000 dioptries.

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Un microscope est composé de deux lentilles convergentes. La première, devant laquelle est placée l’objet à observer, est appelée objectif. Elle donne une image réelle de l’objet. La seconde est l’oculaire, elle est placée de telle manière que les rayons lumineux transmis par l’objectif soient parallèles entre eux afin d’éviter l’accommodation de l’œil (image virtuelle à l’infini). La première image est placée dans le plan focal objet de l’oculaire

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Le microscope est constitué de deux systèmes optiques. Le premier, l’objectif, assimilé à une lentille convergente, donne d’un petit objet une image très agrandie qui est observée à travers un second système, l’oculaire, également assimilé à une lentille convergente ou loupe. L’image définitive est beaucoup plus grande que l’objet.

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Caractéristique d’un microscope�Puissance

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La lunette astronomique

• Comme son nom l’indique, cet instrument sert à l’observation des astres.

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Principe de l’instrument

• Une lunette astronomique est une assemblage de deux lentilles convergentes, comme le microscope, la seule différence c’est que pour les lunettes astronomiques: F’1 et F2 seront confondus.

​

​

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On peut parler d’une lentille astronomique si α’>>> α

• Le paramètre qui caractérise l’efficacité de cet instrument est : le grossissement.
• G= α’/ α

​

Application

• Montrer que G = f’₁/f’₂

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Chapitre 7

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Optique Ondulatoire

INTRODUCTION

• Optique géométrique Rayons
• Optique ondulatoire Ondes électromagnétiques
• Les longueurs d’ondes λ appartiennent au domaine visible c à d λ Є [450nm;750nm]
• Thomas Young:
• Lumière + lumière = Obscurité

​

Phénomène d’interférence

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Généralités�1- Vibration lumineuse et modèle scalaire de la lumière

• Selon le modèle d’électromagnétisme (EM) on a montré que les ondes lumineuses sont des ondes électromagnétiques ; selon les équations de Maxwell.
• 50 ans avant la découverte des équations de Maxwell, Fresnel introduit la notion de vibration lumineuse, parce que à cet époque, on ne sait pas que la lumière est une onde électromagnétique , il a interprété les phénomènes de propagation de la lumière et le phénomène d’interférence par une grandeur telle la vibration lumineuse.
• Fresnel vibration lumineuse S(M , t)
• En fait S(M , t) = E(M , t) le modèle du champ électrique

​

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2- L’éclairement (Ɛ), l’intensité (I)

• Les photorécepteurs (Œil, Photo diode…) possèdent des temps de réponse très grand par rapport à la période de l’onde lumineuse.
• Ƭ_réponse>> T_{visible ≈ 10}^-14_s

​

• Le taux de réponse de l’œil humain est de l’ordre de 10^-1s
• Pour cela les photo détecteurs, sont sensibles à la valeur moyenne de la puissance émise par les sources lumineuses.

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Période de l’onde lumineuse visible

• Intensité α < puissance>

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Puissance temporelle émises par les sources lumineuses

Vecteur de Poynting

Donc I α <E²>

Or l’éclairement Ɛ α I

• Quelle est alors la différence entre l’éclairement et l’intensité?

​

​

• L’intensité et l’éclairement c’est la même chose ; juste qu’elle y a une constante multiplicative et c’est égale à la moyenne de E²

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A une constante multiplicative prés Ɛ = I = <E²> = <E E*>

• Donc

* Ɛ = I = <S²> = <S S*>

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3 - Chemin Optique

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4- Relation fondamentale entre le chemin optique et le retard de phase

• Pour cela on va considérer une vibration lumineuse monochromatique :
• C à d S( M, t) = A(M) cos(w t – φ(M))

​

​

• Si on considère un autre point N:
• - φ(N) = φ(M) + w t_MN

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Vibration

Amplitude

Retard de phase en point M

Durée du retard

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(MN) chemin optique

5- Surface d’onde et théorème de Malus

• Par définition une surface d’onde relative à une source ponctuelle S est définie par l’ensemble des points M tel que (SM)=cste
• La vibration lumineuse s =cste sur une surface d’onde.
• Théorème de Malus: les surfaces d’ondes relatives à s sont perpendiculaires aux rayons issus de s.

​

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6- Ondes planes

• Surface d’onde est plane les rayons lumineux sont parallèles.
• Elle modélise :
• Rayon laser
• La lumière provenant d’une source lumineuse ponctuelle à l’infini(étoile).
• La lumière émise par un collimateur.

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Malus

7- Ondes sphériques

• C’est une onde tq les rayons sont concourants en un point S.
• Les surfaces d’ondes sont sphériques de centre s.

​

​

• Elle modélise la lumière émise par une source ponctuelle dans un milieu homogène.

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8- Définition de l’interférence entre 2 ondes

• Soient 2 ondes lumineuses d’intensité I₁; I₂ ou éclairement Ɛ₁; Ɛ₂ respectivement:
• Ces 2 ondes coexistent dans un même espace , dans ce cas on l’appelle champ d’interférence, c à d qu’il y a une superposition d’où l’interférence.

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• L’intensité de l’onde résultante est I
• L’éclairement de l’onde résultante est Ɛ.
• On dit alors qu’on a interférence si:
• I ≠ I₁+I₂

Ou Ɛ ≠ Ɛ₁+ Ɛ₂

_{C à d que}

Ɛ = Ɛ₁+ Ɛ₂+ terme d’interférence

​

​

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Exemple

• 2 lampes

​

​

• Dans ce cas il n y a pas de phénomènes d’interférences parce qu’on arrive pas à montrer : L+L=O

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Eclairage forte

Expérience de Thomas Young

• Un écran avec 2trous S₁ et S_2:

​

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Ecran opaque

Il y a divergence: phénomène de diffraction

En gle, pour avoir le phénomène d’interférence il y a des conditions à respecter

9- Superposition de 2 ondes lumineuses

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Terme d’interférence

1^ère condition

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Dans ce cas on va perdre le terme d’interférence

• D’où la deuxième condition d’interférence.
• Il faut assurer que w₁=w₂

​

​

• Condition de synchronisation
• C à d que les deux sources S1 et S2 doivent être synchroniques

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Dans la suite on va prendre w₁ = w₂

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Pour cette partie il n y a pas de problème

Peut dépendre du temps

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Remarque:

​

⍙φ₀ doit être = cste au moins pendant le τ_réponse du photo récepteur

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Terme d’interférence

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D’où

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Par définition la différence de marche est:

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Suivant le trajet 1

Suivant le trajet 2

Remarque

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Interférences de 2 ondes cohérentes

�1- Type d’interférence:�

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2- L’ordre d’interférence

• En optique physique, l’ordre d'interférence (souvent noté p) est un entier défini comme le quotient de la différence de marche par la longueur d'onde aux points de maximum d'intensité. L'ordre d'interférence permet ainsi de désigner le numéro d'une frange dans une figure d'interférence.

​

• Le quotient  défini en un point M de la figure

d'interférence comme le quotient de la différence

de marche δ(M) en ce point par la longueur

d'onde, permet de déterminer si une interférence

est constructive ou non.

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3- Surface d’égale intensité ou éclairement et notion de frange

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Le terme qui va se varier

• S₂M-S₁M = cste ( c’est l’équation d’une hyperboloïde de foyers S₁ et S₂.

​

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C’est quoi alors une frange?

• C’est l’intersection d’une hyperboloïde avec l’écran d’observation.
• Dans ce sens, on se trouve dans deux états différents:
• 1^er cas: l’écran est // à la droite (S₁S₂)

​

Les franges sont rectilignes

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2^ème cas

• L’écran est perpendiculaire à (S₁S₂):

​

• Franges circulaires concentriques dites anneaux

​

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Remarque

• Dans le cas ou Ɛ₁= Ɛ₂= Ɛ₀ c’est le cas des trous de Young ou S est symétrique par rapport à S₁ et S₂.
• Ɛ_min =0 et Ɛ_max = 4 Ɛ₀

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(noire)

4- Contraste (ou visibilité)

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Pour 2 ondes cohérentes on a:

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cste

Variable

Cherchons alors S₂M-S₁M

1^er cas: Ecran // à la droite (S₁S₂)

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Interférences

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�Superposition de 2 ondes monochromatiques�

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Coefficient de proportionnalité

Nombre d’ondes

distance

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Comment on peut expliquer que l’équation d’onde est linéaire?

• C à d que la somme de 2 solutions est une solution. c’est le cas de

​

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Oui

non

• A partir de cette équation on peut dire que, si on reçoit la lumière de S₁ on aura l’amplitude A₁, de même pour S₂.

Or en point P, on reçoit la lumière des 2 sources telles S1 et S2, on aura alors l’amplitude totale qui s’écrit de cette manière:

​

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Amplitude due à une seule source