1 of 11

ВПИСАНІ І ОПИСАНІ ЧОТИРИКУТНИКИ

2 of 11

ПОВТОРИМО ТЕОРЕТИЧНИЙ МАТЕРІАЛ

1. Яке коло називається описаним навколо трикутника?

2. Яке коло називається вписаним в трикутник?

3. Де лежать центри вписаного і описаного кіл?

4. Чи можна описати коло навколо довільного трикутника (вписати коло в трикутник)?

5. Сформулюйте властивість дотичних, проведених до кола з однієї точки.

6. Який кут називається вписаним в коло?

​

3 of 11

ЯКИЙ З ЦИХ ЧОТИРИКУТНИКІВ Є ВПИСАНИМ?

​

​

​

​

​

​

Коло називають описаним навколо чотирикутника,

якщо воно проходить через усі його вершини

C2

B2

A2

D2

C1

B1

D1

A1

A3

B3

C3

D3

4 of 11

ЯКИЙ З ЦИХ ЧОТИРИКУТНИКІВ Є ОПИСАНИМ?

​

​

​

​

​

​

​

​

Коло називють вписаним у чотирикутник,

якщо воно дотикається до всіх його сторін

A1

B1

C1

D1

A2

B2

C2

D2

A3

B3

C3

D3

5 of 11

ТЕОРЕМА 1.ЯКЩО ЧОТИРИКУТНИК Є ВПИСАНИМ У КОЛО, ТО СУМА ЙОГО ПРОТИЛЕЖНИХ КУТІВ ДОРІВНЮЄ 180 О

  •  

A

B

C

D

6 of 11

ТЕОРЕМА2. ЯКЩО В ЧОТИРИКУТНИКУ СУМА ПРОТИЛЕЖНИХ КУТІВ ДОРІВНЮЄ 180О, ТО НАВКОЛО НЬОГО МОЖНА ОПИСАТИ КОЛО.

  • Наслідок 1. Навколо кожного прямокутника можна описати коло. Якщо паралелограм вписаний у коло, то він є прямокутником.
  • Наслідок 2. Навколо кожної рівнобічної трапеції можна описати коло. Якщо трапеція вписана в коло, то вона рівнобічна.

7 of 11

ТЕОРЕМА 3. ЯКЩО ЧОТИРИКУТНИК Є ОПИСАНИМ НАВКОЛО КОЛА, ТО СУМИ ЙОГО ПРОТИЛЕЖНИХ СТОРІН РІВНІ

Дано: ABCD – чотирикутник, описаний навколо кола 

K, L, M, N – точки дотику

Довести: АВ+СD=ВС+АD.

Доведення: За властивістю дотичних, проведених до кола з однієї точки маємо

АK=АN, ВK=ВL, CL=CM, DM=DN.

Сторону АВ запишемо так АВ=АK+ ВK.

Тоді сторону СD можемо записати: СD=CM+DM.

Суму цих сторін: АВ+СD= АK+ ВK+ CM+DM=

= АN+ВL+CL+DN=BC+AD.

Доведено.

A

B

C

D

К

L

M

N

8 of 11

ТЕОРЕМА4.� ЯКЩО В ОПУКЛОМУ ЧОТИРИКУТНИКУ СУМИ ПРОТИЛЕЖНИХ СТОРІН РІВНІ, ТО В НЬОГО МОЖНА ВПИСАТИ КОЛО

  • Наслідок 3. У будь-який ромб можна вписати коло. Якщо в паралелограм вписано коло, то він є ромбом.

​

​

A

D

C

B

 

 

9 of 11

РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ЗАДАЧ

Знайдіть невідомі кути:

а) вписаного чотирикутника, якщо два його кути дорівнюють 46о і 125о;

​

б) вписаної трапеції, якщо один з її кутів дорівнює 80о.

​

A

B

C

D

10 of 11

ПІДСУМКИ УРОКУ

  • Який чотирикутник називається вписаним в коло?

Описаним навколо кола?

  • Сформулюйте теорему про властивість кутів вписаного чотирикутника.
  • Сформулюйте теорему про властивість сторін описаного чотирикутника.
  • Сформулюйте ознаку вписаного чотирикутника (описаного чотирикутника).

​

11 of 11

ДЯКУЮ ЗА УВАГУ!