Magnetismo
Le proprietà del campo magnetico
2B-M13
damiano carlesso
fenomenologia del campo magnetico
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Fin dal VI secolo a.C. i Greci conoscevano l’esistenza di un minerale in grado di attirare piccoli pezzetti di ferro: la magnetite (Fe2O3)
Alcuni materiali, detti ferromagnetici, (Ferro, Cobalto, Nichel e le loro leghe) posti a contatto con la magnetite si magnetizzano. Con essi si costruiscono i magneti o calamite.
N
S
Per analizzare i fenomeni magnetici si usa una calamita a forma di ago (o di sottile cilindro) in grado di ruotare attorno al suo centro (es. bussola).
I magneti evidenziano due poli chiamati Nord e Sud:
Non esiste un monopolo magnetico cioè non esiste la ‘carica magnetica’.
N
S
S
N
N
S
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il campo di induzione magnetica
1
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Possiamo interpretare l’interazione fra magneti (forza a distanza) mediante un campo vettoriale noto come campo di induzione magnetica
N
S
P
2
3
4
L’andamento del campo magnetico viene visualizzato con le linee di forza magnetiche
curve la cui tangente in ogni punto ha la stessa direzione del campo magnetico in quel punto
NB: non esistendo un monopolo magnetico non possiamo misurare o definire una forza per ‘unità di polo magnetico’.
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l’esperienza di Oersted
I
Hans Christian Oersted nel 1820 scoprì che l'ago della bussola devìa dal polo nord magnetico se viene avvicinato a un filo in cui passa corrente elettrica.
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N
I=0
I
I
I
“ … l’effetto magnetico �della corrente elettrica �ha un movimento circolare �attorno a questa ...”
Disponendo un filo sopra un ago magnetico
regola della mano destra
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l’interpretazione di Ampère
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André-Marie Ampère �propone un’interpretazione più estesa dell’esperimento di Oersted
“ … il fenomeno osservato da Oersted, come si è fatto con tutti i fenomeni dello stesso genere che ci mostra la natura, è riconducibile�a forze sempre agenti secondo la retta congiungente le due particelle�fra le quali queste si esercitano ...”
A.M. Ampère, Opere
d
d
Ampère trovò la seguente relazione
valida però solo se i fili sono paralleli, non altrimenti.
Non è generale!
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l’azione di un magnete sulle correnti
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Abbiamo visto che un filo percorso da corrente influenza il comportamento di un magnete. �Esiste anche la situazione opposta? esiste cioè una sorta di azione-reazione?
Disponendo un filo percorso da corrente sopra un magnete a barra si osserva che:
I
N
S
I
N
S
A questo punto la forza magnetica risulta essere un po’ misteriosa:
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la forza magnetica o forza di Lorentz su particelle cariche
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Si osservi che:
E’ necessario quindi formalizzare correttamente la forza magnetica.
Sperimentalmente si osserva che un campo magnetico esercita una forza su una carica in moto che risulta essere perpendicolare sia alla velocità che al campo.
se
detta forza di Lorentz
(tesla)
(1 gauss = 10-4 T)
Possiamo definire il campo magnetico
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un esercizio
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Un protone entra in campo magnetico B perpendicolare alla sua velocità e percorre un arco di circonferenza OA. Le coordinate (xA, yA) del punto A sono note.
x
y
A
Si dimostri che il raggio della traiettoria circolare è ricavabile con la relazione:
La natura centripeta della forza di Lorentz produce delle traiettorie necessariamente circolari.
Suggerimento: utilizzare l’equazione della circonferenza
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Dinamica del moto di una carica in campo magnetico
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Consideriamo una carica q positiva di massa m con velocità v in campo magnetico B.
se
La forza magnetica sulla carica
è di natura centripeta
La traiettoria sarà perciò circolare.
Ricordando che:
eguagliando le due forze:
si ricava il raggio
r
Se la velocità della carica forma un angolo 𝜗 con il campo B essa eseguirà una traiettoria elicoidale
x
z
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Applicazione: rapporto carica/massa dell’elettrone
x
y
e
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Nel 1897 J.J. Thomson riuscì a determinare il rapporto carica/massa per l’elettrone.
d
h
x
y
e
Non sono note: la carica, la massa, la velocità dell’elettrone
Usando però una combinazione di E e di B si trova e/m
L’elettrone viene deviato dal campo elettrico uniforme:
L’equazione traiettoria:
Usando le coordinate del punto di uscita
Accendendo il campo B per “raddrizzare” la traiettoria
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Applicazione: lo spettrografo di massa
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La forza magnetica permette di identificare il rapporto carica/massa di particelle incognite
ricordando che il raggio
S
Una sorgente S emette un fascio di particelle cariche incognite e protoni con la stessa velocità.
A
B
Nel punto A si concentrano i protoni
Nel punto B si concentrano le particelle incognite
E’ possibile confrontare il rapporto carica/massa
Esempio:
possono essere ioni He++, deuterio, ...
le particelle incognite
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la forza magnetica o forza di Lorentz su fili percorsi da corrente
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Completiamo la formalizzazione della forza magnetica ricordando che le correnti sono cariche elettriche (per convenzione positive) in movimento.
Consideriamo una porzione di�filo rettilineo di lunghezza L ,�sezione S, percorso da corrente I immerso in campo magnetico B
I
I
introducendo il vettore
abbiamo infine:
Le cariche con velocità media v percorrono�il tratto L di filo in un tempo
La quantità di carica che passa nel filo sarà
La forza esercitata sul filo è quindi:
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la legge di Biot-Savart
I
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Dopo l’osservazione di Oersted, due fisici francesi Jean-Baptiste Biot e Félix Savart dimostrano sperimentalmente che il campo magnetico generato da un filo rettilineo percorso da corrente I ha le seguenti caratteristiche:
I
dove μ0 è la costante di permeabilità magnetica del vuoto
valore stabilito per convenzione
JB. Biot
F. Savart
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forze magnetiche tra fili percorsi da corrente
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Utilizzando la legge di Biot-Savart e la forza di Lorentz possiamo interpretare correttamente il comportamento dei fili paralleli percorsi da corrente distanti d
d
il filo 1 crea un campo B1 nella zona occupata dal filo 2
la forza magnetica tra corrente I2 e campo B1 sarà
sostituendo B1 nel modulo di F
idem per l’azione�di B2 sulla corrente I1
d
analogamente per la repulsione ...
L’esperimento dei due fili è utilizzato per fornire la definizione operativa di �1 ampere di corrente, dalla quale segue quella operativa di 1 coulomb di carica.
NB
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un esercizio
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Due fili rettilinei indefiniti e paralleli sono percorsi da correnti di verso opposto aventi la medesima intensità.
Entrambi sono immersi in un campo magnetico uniforme di intensità Bext, perpendicolare entrante al piano definito dai due fili.
Dimostrare che l’espressione della distanza d tra i fili in corrispondenza della quale su di essi non si produce alcuna forza è la seguente:
d
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un altro esercizio
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Su una forcella metallica a U, disposta su un piano orizzontale, è appoggiata una barretta conduttrice di massa m.
Il sistema è immerso in un campo magnetico di intensità B perpendicolare al piano del sistema.
Fra la barretta e la forcella esiste un attrito caratterizzato da un coefficiente di attrito k.
Dimostrare che l’espressione della corrente minima che consente alla barretta di muoversi è la seguente:
L
m
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campo magnetico generato da una spira di raggio R
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Utilizzando la legge di Biot-Savart (nella formulazione di Laplace) è possibile dedurre il campo magnetico prodotto da una spira circolare percorsa da corrente.
I
I
R
valore del modulo del campo
magnetico nel centro della spira
La spira si comporta esattamente come un magnete a barra. Coppie di spire si attirano�o si respingono se le correnti hanno lo stesso verso oppure verso opposto.
I
I
I
I
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campo magnetico generato da un solenoide
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Sovrapponiamo l’effetto di molte spire percorse da corrente avvolgendo un filo attorno ad un cilindro:
Compattando le spire il campo magnetico all’interno del solenoide diventa quasi parallelo all’asse del solenoide
I
I
Solenoide ideale�(lunghezza infinita)
campo esterno nullo
interno uniforme
n = densità spire/metro
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proprietà formali del campo magnetico: il flusso
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Suddividiamo la superficie in piccole porzione piane ΔSi tali che:
Consideriamo una superficie S qualunque ed un campo magnetico che la attraversa. __
S
In corrispondenza di ogni ΔSi consideriamo i vettori e ___
Si definisce flusso del campo vettoriale ___ attraverso la superficie S la sommatoria dei prodotti scalari:
Teorema di Gauss: il flusso del campo magnetico attraverso una qualsiasi superficie chiusa è nullo __
infatti per__
αi
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circuitazione del campo magnetico: teorema di Ampere
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Consideriamo un campo magnetico e un cammino chiuso orientato di lunghezza l.
μo per la somma algebrica delle correnti concatenate
αi
In corrispondenza di ogni Δli consideriamo i vettori e
Si definisce circuitazione del campo vettoriale lungo il cammino chiuso e orientato�la sommatoria dei prodotti scalari
Teorema di Ampere: la circuitazione del campo magnetico lungo un cammino chiuso orientato è
suddividiamo il cammino in n piccoli intervalli�Δli tali che:
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teorema di Ampère: verifica in un caso semplice
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Verifichiamo il teorema di Ampère nel caso del filo rettilineo percorso da corrente.
Calcolando la circuitazione del campo magnetico lungo il cammino chiuso e orientato si ottiene
In corrispondenza di ogni Δli consideriamo i vettori e
suddividiamo il cammino in n piccoli intervalli Δli tali che:
I
I
facciamo coincidere il cammino chiuso orientato con una linea di campo magnetico
Ricordiamo che per la legge di Biot-Savart:
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teorema di Ampère: un’applicazione
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Utilizziamo il teorema di Ampère per dedurre il campo magnetico all’interno di un solenoide ideale (lunghezza infinita)
dove n = N/L densità spire/metro
Assumiamo uniforme il campo magnetico all’interno del solenoide e nullo all’esterno.
Calcoliamo la circuitazione di B utilizzando come cammino chiuso orientato un rettangolo.
Tratto AB interno:
Tratti BC e DA interni/esterni:
A
B
C
D
L
Tratto CD esterno:
Per il teorema di Ampère:
Eguagliando le due circuitazioni:
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spira percorsa da corrente in un campo magnetico
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I
2
1
2
1
I
Consideriamo una spira quadrata di lato L percorsa da corrente I immersa in campo magnetico uniforme
Sui lati perpendicolari al campo insiste una coppia di forze
1
2
I
Le forze ruotano il piano�della spira portandolo perpendicolare al campo
Equilibrio stabile!
L’azione della coppia di forze può essere ricondotta a quella di un momento meccanico (torcente) M
Questo risultato può essere generalizzato con il concetto di momento magnetico di una spira.
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momento magnetico di una spira percorsa da corrente
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Consideriamo una spira di area A percorsa da corrente I
I
A
Il momento magnetico della spira �è il vettore così definito
Il momento magnetico non dipende dalla forma della spira ma solo dal prodotto IA
La spira immersa in campo magnetico esterno risente di un momento meccanico M esprimibile mediante il prodotto vettoriale:
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Principio di equivalenza di Ampère
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un circuito percorso da corrente
si comporta come un magnete.
Ipotizzò inoltre che le proprietà di un magnete naturale derivassero dalla presenza di correnti microscopiche al suo interno (dette correnti amperiane).
Ampère formulò un principio di equivalenza tra correnti e magneti:
N
S
campo magnetico di un magnete e di un solenoide
Ipotesi: in una sezione del magnete vi sono correnti microscopiche complanari equiverse
I
I
I
N
S
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attrazione tra poli magnetici
I
I
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L’attrazione (e la repulsione) tra magneti si spiega�come l’interazione tra campo magnetico e corrente
consideriamo la prima spira di corrente amperiana del magnete di sx e il campo B prodotto dal magnete di dx
Applichiamo la forza di Lorentz�su una coppia di elementi di spira diametralmente opposti
N
S
N
S
Si ripete poi il ragionamento su ogni coppia di elementi di spira
Infine si scambia il ruolo del magnete di dx con quello di sx
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motore elettrico in corrente continua
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I
1
2
I
2
1
I
2
1
2
1
I
1
2
2
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