LAVORO �E FORME DI ENERGIA
LA RELATIVITÀ RISTRETTA
Principio di relatività galileiano
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Per quanto riguarda le leggi della meccanica è valido il principio di relatività galileiano: tutti i sistemi inerziali sono dinamicamente equivalenti.
Se una legge della meccanica è valida in un sistema di riferimento S, �allora è ugualmente valida in tutti i sistemi di riferimento S′ che si muovono �di moto rettilineo uniforme rispetto a S.
Equazioni delle trasformazioni galileiane
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Note le coordinate (x, y, t) di P in un sistema S, indicando con (x′, y′, t′) �le coordinate dello stesso punto P �in un sistema S′ valgono le seguenti relazioni.
Legge di composizione classica �delle velocità
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Nella meccanica è valida la seguente legge di composizione delle velocità:
dove:
Postulati della relatività ristretta
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1. Principio di relatività
Le leggi della fisica sono le stesse in tutti i sistemi di riferimento inerziali.
2. Costanza della velocità della luce
In tutti i sistemi di riferimento inerziali la velocità della luce nel vuoto è sempre uguale a c (299 792 458 m/s ≅ 3 ⋅ 108 m/s).
Concetto di simultaneità
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Eventi simultanei
In un sistema di riferimento S, un evento P(x, y, z, t) è definito da una quaterna spazio-temporale, in cui le prime tre coordinate x, y, z individuano la posizione in S �e t l’istante in cui tale evento è accaduto, misurato da un orologio in quiete �rispetto a S.
Concetto di simultaneità
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Due eventi accaduti in A e in B sono simultanei se un osservatore posto nel punto medio �del segmento AB riceve nello stesso istante �i segnali provenienti da A e da B.
La simultaneità tra due eventi è relativa �a un particolare sistema di riferimento.
Consideriamo due eventi (per esempio, la caduta di due fulmini) che accadono �uno in A e uno in B.
Di conseguenza, il tempo non è assoluto, �bensì dipende dal sistema di riferimento.
Dilatazione dei tempi
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Un treno si muove di moto rettilineo uniforme verso destra. Un raggio luminoso �ha origine in A, si riflette nello specchio B e torna in A.
Per l’osservatore O solidale con il sistema S:
Per l’osservatore O’ posizionato a terra (sistema S’):
La relazione tra i due intervalli è con (fattore γ).
Dilatazione dei tempi
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con γ > 1 ⇒ Δt′ > Δt.
La durata Δt di un fenomeno misurata nel sistema di riferimento inerziale S in quiete rispetto al fenomeno stesso è detta tempo proprio e individua la minor durata �del fenomeno.
La durata Δt′ del fenomeno misurata in qualunque altro sistema di riferimento S′ (rispetto al quale S si muove di moto rettilineo uniforme) è maggiore.
Dilatazione dei tempi
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Il coefficiente γ varia al variare della velocità v.
Quanto più v si avvicina a c, tanto più il tempo si dilata �e per v ⇒ c si ha un andamento asintotico.
Dilatazione dei tempi
Elisa si trova su una navetta spaziale (sistema S) che si sta muovendo alla velocità di 0,95 c rispetto alla Terra (sistema S’) e misura la durata del suono di una sveglia, ottenendo Δt = 10 s (tempo proprio). Quanto dura il suono (Δt’) per Valeria che si trova sulla Terra?
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Esercizio guidato
1. I dati sono:
Δt = 10 s
v = 0,95 c
2. La misura del tempo nel sistema S′ non solidale con il fenomeno è data da:
3. Valeria (S′) misura una durata tre volte maggiore del fenomeno accaduto in S e per lei l’orologio di Elisa rimane indietro.
Contrazione delle lunghezze
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Dalla relatività della simultaneità, e quindi del tempo, si deduce anche �la relatività dello spazio.
relatività del tempo relatività dello spazio
Se lo spazio non è assoluto, ci chiediamo allora quale sia la relazione tra la lunghezza
di un segmento misurato come distanza tra due punti in un sistema di riferimento
S in quiete e in un sistema S′ in moto rispetto al segmento stesso.
Contrazione delle lunghezze
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Consideriamo:
da cui:
Contrazione delle lunghezze �(nella direzione del moto)
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con γ > 1 ⇒ L’ < L
La lunghezza L di un segmento, misurata nel sistema di riferimento inerziale S �in quiete rispetto al segmento stesso, è detta lunghezza propria e individua �la massima lunghezza.
La lunghezza L’ di un segmento, misurata in qualunque altro sistema di riferimento S’ in moto rettilineo uniforme, si contrae nella direzione del moto.
Invarianza delle dimensioni trasversali
In due sistemi inerziali S ed S′ in moto con velocità relativa v la lunghezza di un segmento perpendicolare alla direzione del moto è invariante.
Contrazione delle lunghezze
Elisa si trova su una navetta spaziale (sistema S in quiete rispetto al fenomeno da misurare) lunga 100 m (L lunghezza propria) che si sta muovendo a velocità 0,95 c rispetto alla Terra (sistema S’). Qual è la lunghezza della navetta spaziale (L’) per Valeria che si trova sulla Terra?
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Esercizio guidato
1. I dati sono:
L = 100 m
v = 0,95 c
2. La contrazione delle lunghezze nel sistema S′ non solidale con il fenomeno è data da:
3. Valeria (S′) misura una lunghezza della navetta spaziale circa tre volte minore di quella misurata in S.
Paradosso dei gemelli
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Nel 1911, durante la fase di divulgazione della relatività, il francese P. Langevin
ideò il paradosso dei gemelli.
Composizione relativistica della velocità
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Il postulato della costanza della velocità della luce impone di riformulare la legge
classica di composizione delle velocità.
dove:
Massa relativistica
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dove:
Equazione di Einstein
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A partire dalla nuova definizione di massa, Einstein giunse a formulare una �delle equazioni più celebri della fisica:
dove m è la massa relativistica.
Conservazione della massa-energia:
In un sistema isolato si conserva la massa-energia.