Вписані та описані чотирикутники.

Геометрія

8 клас

Чотирикутник називають вписаним у коло, якщо всі його вершини належать колу.�Це коло називають описаним навколо даного чотирикутника.�Центром такого кола є точка перетину серединних перпендикулярів, проведених до всіх сторін чотирикутника.

Теорема 1. Сума протилежних кутів вписаного чотирикутника дорівнює 180º.

Вершини чотирикутника АВСD належать колу.

Треба довести, що ∠А+∠С=∠В+∠D= 180º.

Доведення:

1) За теоремою про міру вписаного кута маємо:

∠А=½ﮞDСВ; ∠С= ½ﮞDАВ.

Тоді ∠А+∠С=½(ஞDСВ+ஞDАВ)=

=½·360º=180º.

2) Сума всіх внутрішніх кутів чотирикутника дорівнює 360º. Тоді ∠В+∠D=360º – (∠А+∠С)=360º-180º=180º.

Теорему доведено.

Теорема 2 (обернена до теореми 1). Якщо сума двох протилежних кутів чотирикутника дорівнює 180º, то навколо такого чотирикутника можна описати коло.

Нехай у чотирикутнику АВСD ∠А+∠C=180º. Через точки А, В, і D провели коло. Треба довести, що точка С належить цьому колу.

Доведення:

Доведемо теорему від супротивного. Нехай точка С не належить колу (а, б) і пряма DС перетинає коло в точці К. За прямою теоремою ∠А+∠К=180º=∠А+∠С. Звідси маємо, що ∠К=∠С, притому один із цих кутів – зовнішній для трикутника ВСК. Цього бути не може, тобто точки К і С суміщаються.

Теорему доведено.

Наслідок. Навколо довільного прямокутника завжди можна описати коло.

Чотирикутник називається описаним навколо кола, якщо всі його сторони дотикаються до кола.�Центром такого кола буде точка перетину бісектрис усіх внутрішніх кутів чотирикутника.

Теорема 3. Суми протилежних сторін чотирикутника, описаного навколо кола, рівні.

Нехай у чотирикутник АВСD вписане коло.

Треба довести,

що АВ+СD=ВС+АD.

Доведення:

Відрізки дотичних, проведених з однієї точки до кола, рівні.

Позначимо довжини відповідних відрізків через x, y, z і t. Тоді АВ+СD=(x+y)+(z+t)=

=(x+t)+(y+z)=АD+ВС.

Теорему доведено.

Теорема 4 (обернена до теореми 3). Якщо в опуклому чотирикутнику суми протилежних сторін рівні, то в нього можна вписати коло.

Нехай для чотирикутника АВСD виконується співвідношення АВ+СD=ВС+АD. Треба довести, що в цей чотирикутник можна вписати коло.

Доведення:

Доведемо теорему від супротивного. Нехай коло дотикається до трьох сторін чотирикутника і не дотикається до його четвертої сторони СD (а, б).

1) Через вершину С проведемо дотичну до кола, яка перетне пряму АD у точці Р. За прямою теоремою маємо: АВ+СР=ВС+АР.

2) АВ+СD=ВС+АD і АВ+СР=ВС+АР. Віднімемо від першої рівності другу (або від другої першу). Маємо: lСD-СРl=lАD-АРl, тобто lCD-СРl= РD, що протирічить нерівності для сторін трикутника СDР.

Висновок: точки Р і D збігаються. Теорему доведено.

Наслідок. �У ромб завжди можна вписати коло.