Biomatematica · Elettrofisiologia cellulare
Modello circuitale di membrana, canali ionici e Hodgkin–Huxley
Dal condensatore di membrana alla cinetica dei canali, fino al potenziale d'azione
Il percorso
1
Circuito di membrana
condensatore in parallelo con le correnti ioniche
2
Cinetica dei canali
stati aperti e chiusi, subunità, variabili di gating
3
Esperimenti di HH
voltage clamp e separazione delle correnti
4
Il modello di HH
quattro equazioni e il potenziale d'azione
Unità di Hodgkin–Huxley: V in mV, t in ms, correnti in µA/cm², conduttanze in mS/cm², capacità in µF/cm².
2
Potenziale di riposo con più specie ioniche
Con relazioni corrente-voltaggio lineari, ogni specie ha una conduttanza Gᵢ e un potenziale di Nernst Vᵢ:
All'equilibrio la corrente totale è nulla:
In generale, con più specie:
Il potenziale di riposo è una media dei potenziali di Nernst pesata con le conduttanze: è vicino a quello dello ione a cui la membrana è più permeabile, il K⁺.
3
La membrana come condensatore
La membrana separa cariche che si accumulano sulle superfici intra ed extracellulare: è un condensatore.
Capacità
Corrente capacitiva, Cₘ costante
Cₘ ≈ 1 µF/cm² per quasi tutte le membrane biologiche. Il valore è grande perché la membrana è sottilissima: è lo stesso motivo del campo elettrico enorme visto nella lezione sulla membrana. Cariche e potenziale sono legati: per variare V la corrente deve caricare o scaricare il condensatore.
4
Il circuito equivalente di membrana
La membrana oppone resistenza al passaggio delle correnti ioniche nei canali: il modello elettrico è un condensatore in parallelo con una resistenza.
Per la conservazione della corrente:
Convenzione: corrente positiva dall'interno all'esterno (uscente). La corrente ionica dipende dal modello ionico scelto, diverso per tipo di cellula e specie.
5
Dal singolo canale alla membrana
La corrente ionica è per unità di area. Se N canali sono aperti su una superficie di area S e φ(V) è la corrente di un singolo canale:
Nel caso lineare:
Ḡ conduttanza massima per unità di area; f frazione di canali aperti; Il singolo canale ha conduttanza e potenziale di inversione propri.
6
Le variabili di gating
Vedremo che la frazione di canali aperti f soddisfa un'equazione differenziale ordinaria del primo ordine:
valore stazionario: la frazione di canali aperti se V restasse costante a lungo
costante di tempo: quanto rapidamente f raggiunge il valore stazionario
Dipendono da V
è il meccanismo che rende la membrana eccitabile: V cambia f, f cambia la corrente, la corrente cambia V
7
Un canale con due stati
Una sola unità, chiusa (S₀) o aperta (S₁), con tassi di transizione α e β:
Per la legge di azione di massa, con le frazioni s₀ e s₁:
Eliminando s₀ = 1 − s₁ e ponendo w = s₁:
Cinetica del primo ordine, come anticipato.
8
Due subunità identiche
Stati: S₀ chiuso-chiuso, S₁ una subunità aperta, S₂ aperto-aperto. Il fattore 2 conta le subunità che possono cambiare stato.
Da S₀ si passa a S₁ con tasso 2α perché ciascuna delle due subunità chiuse può aprirsi; da S₂ si torna a S₁ con tasso 2β perché ciascuna delle due aperte può chiudersi.
9
La sostituzione binomiale
Se le subunità sono indipendenti e ciascuna è aperta con probabilità n:
Sostituendo, ad esempio nell'ultima equazione, e dividendo per 2n:
Tutte le equazioni del sistema danno la stessa ODE per n: il sistema a tre stati si riduce a una cinetica del primo ordine.
10
K subunità identiche e indipendenti
Binomiale:
Dall'ultima equazione, dividendo per K nᴷ⁻¹ si ritrova la stessa ODE per n:
Frazione di canali che conducono: il canale è aperto solo se tutte le K subunità sono aperte.
11
Subunità di tipo diverso: m e h
Esempio: due subunità di tipo m (tassi α, β) e una di tipo h (tassi γ, δ). Sᵢⱼ: i subunità m aperte, j subunità h nello stato 1.
Orizzontali: transizioni delle subunità m.
Verticali: transizioni della subunità h.
Le due famiglie sono indipendenti: le probabilità si moltiplicano.
12
Due cinetiche del primo ordine indipendenti
Usiamo le ultime due equazioni della legge di azione di massa:
Con la sostituzione prodotto, la somma delle due equazioni dà l'equazione per m; la differenza, usando quella per m, dà l'equazione per h:
13
Hodgkin e Huxley, 1952
5 articoli sul Journal of Physiology
Un modello per la generazione e la propagazione del potenziale d'azione nell'assone gigante del calamaro, il cui diametro è circa 1000 volte quello di un assone della corteccia cerebrale.
Premio Nobel per la Medicina, 1963
Studi precedenti
1902
Bernstein: membrana semipermeabile al K⁺
1939–40
Cole, Curtis, Hodgkin: prime misure durante il potenziale d'azione
1946–47
Cole e Marmont: tecnica del voltage clamp
1948–52
Hodgkin, Huxley, Katz: dati, analisi, modelli, validazione e predizione
14
La tecnica del voltage clamp
Un dispositivo elettronico inietta una corrente che compensa quella di membrana, tenendo V costante:
Misurando la corrente applicata si misura direttamente la corrente ionica a potenziale fissato, senza la corrente capacitiva.
Prima una corrente entrante dovuta al Na⁺, poi una corrente uscente dovuta soprattutto al K⁺.
Simulazione: gradino a V = 60 mV dal riposo.
15
Separare le correnti di sodio e potassio
Ipotesi: canali Na⁺ e K⁺ indipendenti, la corrente ionica è la somma delle due. Due esperimenti allo stesso potenziale:
1
Na⁺ extracellulare ridotto: si misura la corrente ionica 1
2
Na⁺ extracellulare normale: si misura la corrente ionica 2
16
Dalle correnti alle conduttanze
Con relazioni I-V lineari, le conduttanze si ricavano in funzione del tempo e del potenziale di clamp:
Potassio: cresce con forma sigmoidale e resta alta.
Sodio: cresce rapidamente e poi decade, anche se V resta costante.
17
Interpretare i dati con le variabili di gating
Modello più semplice, una subunità: in voltage clamp
Con V = V₀ costante, la cinetica del primo ordine ha coefficienti costanti e si integra esattamente:
Crescita con saturazione
Decadimento al ritorno a V = 0
Ma la conduttanza del potassio misurata parte con tangente orizzontale: un esponenziale non basta.
18
Il potassio: quattro subunità
Con n(0) ≈ 0, n⁴ parte come t⁴ e decade quattro volte più in fretta di n:
4 è il più piccolo intero che dà curve sigmoidali in buon accordo con i dati.
19
Il sodio: attivazione e inattivazione
m: attivazione
veloce, cresce con la depolarizzazione e apre il canale
h: inattivazione
lenta, decresce con la depolarizzazione e chiude il canale
m³h
il prodotto dà il picco transitorio della conduttanza del sodio
20
Le funzioni α e β di Hodgkin–Huxley
Parametro | Valore |
Ḡ (Na, K, L) | 120, 36, 0.3 mS/cm² |
V (Na, K, L) | 115, −12, 10.6 mV |
Cₘ | 1 µF/cm² |
V è lo scostamento dal potenziale di riposo (≈ −65 mV), positivo in depolarizzazione.
Nel codice: le α di m e di n sono 0/0 in V = 25 e V = 10.
21
Curve stazionarie e costanti di tempo
m veloce
costante di tempo ≈ 0.2 ms a riposo: m segue V quasi istantaneamente
h e n lente
≈ 8.5 ms e ≈ 5.5 ms a riposo: un ordine di grandezza più lente
Verso la riduzione
la separazione delle scale porterà al modello a due variabili di FitzHugh–Nagumo
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Il modello di Hodgkin–Huxley
Quattro variabili, V, m, h, n, e quattro equazioni differenziali, più i dati iniziali.
23
Il potenziale d'azione
Depolarizzazione
m si apre rapidamente, entra Na⁺, V sale di circa 100 mV
Ripolarizzazione
h chiude il sodio e n apre il potassio, che esce
Iperpolarizzazione
n è lenta a richiudersi: V scende sotto il riposo
Refrattarietà
finché h e n non tornano al riposo un nuovo stimolo è inefficace
24
Soglia e risposta tutto o nulla
Con impulsi di 0.5 ms la soglia è circa 13.3 µA/cm².
Sotto soglia la risposta si spegne; appena sopra parte un potenziale d'azione completo, con un ritardo che si accorcia aumentando lo stimolo. L'ampiezza del picco non dipende dallo stimolo.
Domanda per la prossima lezione: da dove viene la soglia? L'analisi qualitativa risponderà.
25
In sintesi
1
La membrana è un condensatore in parallelo con le correnti ioniche
2
Il riposo è la media dei potenziali di Nernst pesata con le conduttanze
3
Subunità indipendenti a due stati danno cinetiche del primo ordine
4
Hodgkin–Huxley dal voltage clamp: quattro subunità n per il K⁺, tre m e una h per il Na⁺
5
Quattro ODE riproducono potenziale d'azione, soglia e refrattarietà
Prossima lezione: analisi qualitativa del modello di Hodgkin–Huxley e riduzione di FitzHugh–Nagumo.