1 of 39

ВЕКТОРИ У ПРОСТОРІ.�Дії над векторами.

2 of 39

Зміст

  • 1.Поняття вектора.
  • 2.Координати вектора.
  • 3.Абсолютна величина вектора.
  • 4.Рівні вектори.Колінеарні вектори. Перпендикулярні вектори.
  • 5.Дії над векторами.
  • 6.Приклади. 

​

3 of 39

Поняття вектора

  • Вектор - це величина, яка характеризується числовим значенням і напрямком.
  • Вектор - напрямлений відрізок.
  • Під направленим відрізком  розуміють впорядковану пару точок, перша з яких - точка A - називається його початком, а друга - B - його кінцем.

​

4 of 39

5 of 39

6 of 39

Координати вектоа

  • Координати вектора дорівнюють різниці координат його кінця та початку
  • Координати вектора, для якого початком є початок координат дорівнюють координатам його кінця

​

О

 

А

Х

У

Z

О

Х

У

Z

7 of 39

№1 Знайдіть координати вектора АВ, якщо:

8 of 39

Абсолютна величина �вектора

  • Абсолютна величина вектора
  • ( модуль вектора, довжина вектора) дорівнює кореню квадратному із
  • суми квадратів його координат

​

9 of 39

10 of 39

№2 Знайдіть абсолютну величину вектора:

1.

2.

3.

11 of 39

12 of 39

Рівні вектори

  • Рівні вектори – це вектори, що мають рівні абсолютні величини та однаковий напрям.
  • Рівні вектори – це вектори, що мають рівні

координати.

13 of 39

№3 Знайдіть вектори, що дорівнюють:

​

​

​

A

B

C

A1

B1

C1

D1

D

14 of 39

Дії над векторами

Додавання (правило трикутника)

Додавання

( правило паралелограма)

15 of 39

Дії над векторами

Додавання (правило паралелепіпеда)

16 of 39

Дії над векторами

  • Додавання

​

​

​

​

  • Закони додавання:
  • 1) переставний
  • 2) сполучний

​

17 of 39

Дії над векторами

  • Віднімання

18 of 39

№4 ABCDA1B1C1D1 паралелепіпед.

Укажіть вектор початком і кінцем якого є вершини паралелепіпеда, що дорівнює:

​

19 of 39

№4

  • Задано вектори Знайдіть координати вектора , якщо:

а) ;� �б) .

​

20 of 39

Дії над векторами

  • Множення вектора на число

​

​

​

​

21 of 39

  • Знайдіть довжину вектора� якщо:
  • Знайдіть добуток вектора на число 5.

22 of 39

23 of 39

24 of 39

25 of 39

26 of 39

На рисунку зображено трикутник АВС, точки К і М – середини сторін АВ і ВС відповідно. Укажіть правильну рівність, якщо МК =а

​

​

​

​

​

​

​

​

​

​

​

ЗНО (№10, 2015)

27 of 39

При якому значенню у вектори

а (-3;5) b(6;y) колінеарні?

​

​

​

​

​

​

​

​

​

​

ЗНО (№6, 2012-ІІ)

28 of 39

При якому значенню х вектори

а (2;х) b(-4;10) перпендикулярні?

​

​

​

​

​

​

​

​

​

​

ЗНО (№9, 2012-І)

29 of 39

На рисунку зображено паралелограм ABCD, діагоналі якого перетинаються в точці О. Укажіть пару колінеарних векторів.

​

​

​

​

​

​

​

​

​

​

ЗНО (№9, 2014)

30 of 39

Знайдіть координати вектора АВ , якщо А(-2;3) , В (-8;-5).

​

​

​

​

​

​

​

​

​

​

​

ЗНО (№2, 2010-ІІ)

31 of 39

Діагоналі паралелограма АВСD перетинаються в точці О (див. рисунок). Укажіть правильну векторну рівність.

​

​

​

​

​

​

​

​

​

​

ЗНО (№7, 2013)

32 of 39

У прямокутній декартовій системі координат у просторі на осі z вибрано точку М (див. рисунок). Серед наведених варіантів укажіть можливі координати цієї точки.

​

​

​

​

​

​

​

​

​

​

ЗНО (№7, 2013)

33 of 39

У прямокутній системі координат на площині задано паралелограм ABCD, cosA=0,4. Визначте довжину діагоналі BD паралелограма, якщо скалярний добуток векторів

АВ(6;-8) і АD дорівнює 96.

ЗНО (№29, 2016)

34 of 39

У прямокутній системі координат задано колінеарні вектори АB та

а(3;-5). Визначте абсцису точки В, якщо А(-4;1), а точка В лежить на прямій у=3.

ЗНО (№30, 2018)

35 of 39

Обчисліть скалярний добуток векторів зображених на рисунку.

ЗНО (№34, 2006)

36 of 39

Сторона рівностороннього трикутника АВС дорівнює 5 см. Знайдіть скалярний добуток АВ*АС.

ЗНО (№33, 2007)

37 of 39

У прямокутній системі координат на площині задано взаємно перпендикулярні вектори АB та

а(4;3). Визначте абсцису точки В, якщо А(-2;0), а точка В лежить на прямій у=2x.

ЗНО (№30, 2018)

38 of 39

38

39 of 39

Джерела

​

​

  • http://formula.co.ua/vectors.php
  • http://uk.wikipedia.org
  • http://shkolnik.in.ua

​

  • Г.П.Бевз,В.Г.Бевз,Н.Г.Владімірова, В.М.Владіміров
  • Геометрія 11
  • Підручник для загальноосвітніх навчальних закладів
  • Академічний рівень, профільний рівень
  • Рекомендовано Міністерством освіти і науки України
  • Київ “Генеза” 2011

​