2 of 20

Историческая справка

Первое упоминание треугольника Паскаля встречается в комментарии индийского математика X века Халаюдхи. Треугольник исследуется также Омаром Хайямом около 1100 года, поэтому в Иране эту схему называют треугольником Хайяма. В 1303 году была выпущена книга «Яшмовое зеркало четырёх элементов» китайского математика Чжу Шицзе, в которой был изображен треугольник Паскаля на одной из иллюстраций; считается, что изобрёл его другой китайский математик, Ян Хуэй (поэтому китайцы называют его треугольником Яна Хуэя). На титульном листе учебника арифметики, написанном в 1529 году Петром Апианом, астрономом из Ингольтштадского университета, также изображён треугольник Паскаля. А в 1653 году (в других источниках в 1655 году) вышла книга Блеза Паскаля «Трактат об арифметическом треугольнике».

3 of 20

Паскаль умер, когда ему было 39 лет, но, несмотря на столь короткую жизнь, он вошел в историю как выдающийся математик, физик, философ и писатель. Его именем благодарными потомками названы единица давления (паскаль) и получивший чрезвычайно широкое распространение язык программирования.

4 of 20

Что такое треугольник Паскаля?

Треугольник Паскаля это арифметический треугольник.

5 of 20

Треугольник Паскаля

Треугольник Паскаля — бесконечная числовая таблица, имеющая треугольную форму. В этом треугольнике на вершине и по бокам стоят единицы.

6 of 20

Принцип построения треугольника Паскаля.

Каждое число равно сумме 2-х чисел, стоящих над ним.

7 of 20

Свойство № 1�Треугольник Паскаля бесконечен�

8 of 20

�Свойство № 2� Сумма чисел в строках треугольника Паскаля равна 2ⁿ, где n - номер строки �

^�

1=2°

1+1=2¹

1+2+1=4=2²

1+3+3+1=8=2³

1+4+6+4+1=16= 2⁴

9 of 20

�Свойство № 3� Треугольник Паскаля симметричен относительно центрального столбца �

10 of 20

��Свойство № 4� Первая диагональ треугольника Паскаля - это натуральные числа, идущие по порядку.��

11 of 20

�Свойство № 5� Вторая диагональ треугольника Паскаля - это «треугольные» числа �

12 of 20

Свойство № 6� Третья диагональ треугольника Паскаля - это «пирамидальные» числа

Пирамидальное число — это количество точек в пирамиде с многоугольным основанием и треугольными сторонами .

13 of 20

�Свойство № 7� Каждое число треугольника Паскаля равно сумме чисел предыдущей диагонали, стоящей над этим числом. �

1+2+3+4=10

14 of 20

��Свойство № 8� В каждой строке треугольника Паскаля сумма чисел на нечётных местах равна сумме чисел на чётных местах. ��

1+6+1=4+4=8

15 of 20

��Свойство № 9� Если номер строки треугольника Паскаля – простое число, то все числа этой строки, кроме 1, делятся на это число. ��

N=5

5,10,10,5- делятся на 5

16 of 20

�Свойство № 10�Если нечётное число в треугольнике Паскаля заменить на точки чёрного цвета, а чётные- белого цвета, то треугольник Паскаля разобьётся на более мелкие треугольники�

17 of 20

Свойство № 11� Второе число каждой строки соответствует её номеру

18 of 20

Применение свойств треугольника Паскаля в решении математических задач

Свойства треугольника Паскаля, наверное, были бы не столь значимы если бы на их основе нельзя было решать математические задачи. Рассмотрим задачи которые можно решат с помощью треугольника Паскаля.

19 of 20

Задача ( олимпиадная)

В город А можно попасть по единственному входу. На каждом перекрестке дорога расходится на две. В город вошли 2¹⁰ человек. На каждом перекрестке они делятся пополам. Сколько человек окажется на каждом перекрестке, когда они уже не смогут разделиться?

Ответ:1,10,45,120,

210,252,210,120,45,

10,1ч.

20 of 20

Задача ( алгебраическая)

Представить в виде многочлена выражение (а+в)⁴

(а+в)⁰=1

(а+в)¹=1а+1в

(а+в)²=1а²+2ав+1в²

……………………………….

(а+в)⁴=1а⁴+4а³в+6а²в²+4ав³+1в⁴