ПОХІДНА ТА ЇЇ ЗАСТОСУВАННЯ

Швидкість зміни функції f(x) у точці х називається похідною функції f(x) у точці

• Таблиця похідних

• Правила обчислення похідних

• Геометричний зміст похідної полягає у наступному: коефіцієнт дотичної до графіка функції у = f(x), що проведена у точці цього графіка з абсцисою дорівнює похідній функції y = F(x) у цій точці, тобто k = f '(x₀).�

• Оскільки k = tgα, де α – кут, який утворює дотична з додатнім напрямком осі абсцис, то у випадку  f '(x₀) > 0, кут α – гострий, якщо  f '(x₀) = 0, то дотична паралельна осі абсцис ( або співпадає з нею), а у випадку  f '(x₀) < 0, кут α тупий.

• Рівняння дотичної до графіка функції У =f(x), яка проведе в точці з абсцисою , що належить графіку функції, має вигляд:

У = f(x₀) + f(x₀)(x – x₀)�

Дослідження функції за допомогою похідної

1. Знайти область визначення функції;
2. Знати похідну функції;
3. Знайти критичні точки (внутрішні точки області визначення, в яких похідна дорівнює нулю або не існує);
4. Визначити знак похідної на кожному з проміжків, утворених критичними точками на області визначення;
5. Визначити проміжки зростання (на них похідна додатна) та спадання (похідна від'ємна);
6. Визначити точки максимуму (в них похідна змінює знак з «+» на «-») або мінімуму (похідна змінює знак із «-» на «+»).

​

​

Дослідження функції

• Критичними точками функції називають внутрішні точки області визначення, у яких похідна не існує або дорівнює нулю.
• Алгоритм дослідження функції f(x) на зростання і спадання.
• Знайти область визначення функції.
• Знайти похідну функції.
• Знайти критичні точки функції.
• Поділити знайденими критичними тичками область визначення на проміжки та з’ясувати знак похідної на кожному з них (для цього достатньо визначити знак похідної f ‘(x) в одній довільній точці проміжку).
• За знаком похідної визначити проміжки зростання і спадання функції.

​

​

Алгоритм знаходження найбільшого і найменшого значення функції на проміжку

1. Перевірити, що проміжок належить області визначення функції.
2. Знайти похідну функції.
3. Знайти критичні точки функції.
4. Вибрати ті критичні точки, що належать даному проміжку.
5. Обчислити значення функції у вибраних критичних точках та на кінцях проміжку.
6. Порівняти одержані значення та вибрати з них найбільше і найменше.
7. Записати результат.

• Алгоритм дослідження функції y = f(x) та побудови її графіка
• Знайти область визначення функції.
• Дослідити функцію на парність, непарність та періодичність (для тригонометричних функцій).
• Знайти точки перетину графіка функції з осями координат.
• Знайти похідну функції та її критичні точки.
• Знайти проміжки зростання, спадання та екстремуми функції.
• Дослідити поведінку функції на кінцях проміжків області визначення, якщо це можливо.
• За необхідності знайти ще кілька точок графіка та, використовуючи отримані результати, побудувати графік функції.

​

​

​

ДЯКУЮ ЗА УВАГУ