1 of 29

1

מה במצגת? שקופית לחונך

משפטים על זוויות היקפיות במעגל

מספר שקופיות: 25

שקופית 2 – הגדרת זווית היקפית

שקופית 3 – הבנת המושג-זווית היקפית הנשענת על קשת

שקופית 4 – משפט-זווית היקפית מחצית מהמרכזית

שקופיות 15- 5 – 5 תרגילים +פתרון -חישובים

שקופית 16 – משפט-זוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת

שקופית 17 – משפט-זווית היקפית על קוטר-ישרה

שקופית 18 – עוד שני משפטים

שקופיות 20- 19– תרגיל 6 +פתרון – תרגיל חישוב מסכם

שקופיות 24- 21– תרגילים 8,7 +פתרונות

שקופית 25 – רשימת כל המשפטים שבמצגת +קשרים חשובים

דגשים חשובים:שימו לב לתרגילים 4 ו- 7

©  כל הזכויות שמורות למטח

מטח

2 of 29

2

תזכורת

זווית היקפית : זווית שקודקודה על המעגל ושוקיה מיתרים

O

B

A

C

K

⋅

M

F

P

⋅

C

A

B

O

⋅

C

A

B

O

⋅

C

A

B

O

FAM ∠ , BPC ∠ ,PCK ∠ - הן זוויות היקפיות

זוויות היקפיות ומרכז המעגל

מרכז המעגל

בין שוקי הזווית

מרכז המעגל

נמצא על השוק,

אחת משוקי הזווית היא קוטר

מרכז המעגל

מחוץ לשוקי הזווית

©  כל הזכויות שמורות למטח

מטח

©  כל הזכויות שמורות למטח

מטח

3 of 29

4 of 29

5 of 29

6 of 29

7 of 29

7

⋅

D

⋅

⋅

⋅

⋅

B

A

C

⋅

O

K

⋅

D

⋅

⋅

⋅

B

C

⋅

O

הזווית ההיקפית CAB ∠ נשענת על הקשת

BC

גם הזווית ההיקפית CKB ∠ נשענת על הקשת

BC

הזווית המרכזית COB ∠ נשענת על הקשת

BC

כדאי לשים לב:

יש זווית מרכזית אחת הנשענת על הקשת

BC

אבל יש אין סוף זוויות היקפיות הנשענות עליה

©  כל הזכויות שמורות למטח

מטח

8 of 29

8

משפט:

זווית מרכזית במעגל גדולה פי 2 מכל זווית היקפית הנשענת על אותה קשת

נתון : * מעגל O * CAB ∠ - זווית היקפית * COB ∠ - הזווית המרכזית

A1 ∠ ⋅ 2 = O1 ∠

⋅

C

A

B

O

1

1

⋅

C

A

B

O

1

1

⋅

C

A

B

O

1

1

הזווית המרכזית נשענת על הקשת

BC

הזווית היקפית הנשענת על הקשת

BC

(ניסוח נוסף : זווית היקפית שווה למחצית הקשת עליה היא נשענת )

©  כל הזכויות שמורות למטח

מטח

9 of 29

9

תרגיל 1

⋅

A

O

B

C

1

1

1

א.

נתון :מעגל O

°50= B1 ∠

חשב את : C1 ∠ , O1 ∠

ב.

⋅

A

O

B

C

1

1

1

1

נתון :מעגל O

°120= O1 ∠ , °25= A1 ∠

חשב את : C1 ∠ , B1 ∠

©  כל הזכויות שמורות למטח

מטח

10 of 29

10

תרגיל 1 - פתרון

א.

נתון :מעגל O

°50= B1 ∠

חשב את : C1 ∠ , O1 ∠

⋅

A

O

B

C

1

1

1

A

⋅

O

B

C

1

1

1

1

ב.

נתון :מעגל O , °120= O1 ∠ , °25= A1 ∠

חשב את : C1 ∠ , B1 ∠

* °50= B1 ∠ = C1 ∠ - זוויות בסיס בש''ש

* °100= °50⋅ 2 = B1 ∠ ⋅ 2 = O1 ∠ - מרכזית והיקפית הנשענות על הקשת AC

2

3

* °60= °120⋅ ½ = O1 ∠ ⋅ ½ = B1 ∠

זווית מרכזית והיקפית הנשענות על הקשת AC

* °25= B2 ∠ = A1 ∠ - זוויות בסיס בש''ש BOA Δ

* °35= °25 - °60 = B2 ∠ - B1 ∠ = B3 ∠

* °35= B3 ∠ = C1 ∠ - זוויות בסיס בש''ש BOC Δ

​

©  כל הזכויות שמורות למטח

מטח

11 of 29

11

תרגיל 2

היקף המעגל הוא 20 ס''מ

אורך הקשת AB הוא 4 ס''מ

חשב את הזווית ACB ∠

B

A

C

⋅

o

©  כל הזכויות שמורות למטח

מטח

12 of 29

12

תרגיל 2 -פתרון

היקף המעגל הוא 20 ס''מ

אורך הקשת AB הוא 4 ס''מ

חשב את הזווית ACB ∠

B

A

C

⋅

o

* הקשת AB היא מהיקף המעגל ( 4 : 20 )

* גודל הקשת AB : °72 = 5 : °360 =

* (גודל קשת כגודל הזווית המרכזית הנשענת עליה )

* °36 = 2 : °72 = ACB ∠ - זווית היקפית –שווה למחצית הקשת עליה היא נשענת

AB

©  כל הזכויות שמורות למטח

מטח

13 of 29

13

תרגיל 3

B

A

C

⋅

o

K

1

1

נתון :מעגל O

°70= K1 ∠

חשב את : B1 ∠

©  כל הזכויות שמורות למטח

מטח

14 of 29

14

תרגיל 3 -פתרון

נתון :מעגל O , °70= K1 ∠

חשב את : B1 ∠

B

A

C

⋅

o

K

1

1

2

1

* °70= K1 ∠ ⇐ °140= °70⋅ 2 = K1 ∠ ⋅ 2 = O1 ∠

​

* °140= O1 ∠ ⇐ °220 = °140- °360= O2 ∠

​

* °110= °220⋅ ½ = O2 ∠ ⋅ ½ = B1 ∠

​

* °110= B1 ∠

​

האם זה מקרה שזוויות K1 ∠ ו- B1 ∠

משלימות ל - °180 ?

©  כל הזכויות שמורות למטח

מטח

15 of 29

15

תרגיל 4

B

A

C

⋅

o

K

1

1

הוכח: זוויות היקפיות משני צידי מיתר נתון,

משלימות ל- °180 ?

​

©  כל הזכויות שמורות למטח

מטח

16 of 29

16

תרגיל 4 - פתרון

נתון :מעגל O , מיתר AC

צ.ל. : °180 K1 = ∠ + B1 ∠

B

A

C

⋅

o

K

1

1

2

1

* α= K1 ∠ ⇐ α 2 = K1 ∠ ⋅ 2 = O1 ∠

​

* α 2 = O1 ∠ ⇐ = α 2 - °360= O2 ∠

​

* α - °180= ( α 2 - °360 ) ½ = O2 ∠ ⋅ ½ = B1 ∠

​

* α - °180 = B1 ∠

​

©  כל הזכויות שמורות למטח

מטח

17 of 29

17

תרגיל 5

נתון: מעגל O

AB ⊥ OK

הוכח : O1 ∠ = C1 ∠

B

A

C

⋅

o

K

1

1

©  כל הזכויות שמורות למטח

מטח

18 of 29

18

תרגיל 5 - פתרון

נתון: מעגל O

AB ⊥ OK

הוכח : O1 ∠ = C1 ∠

* משולש AOB Δ - משולש ש''ש

​

* OK – גובה לבסיס במשולש ש''ש ⇐ חוצה זווית הראש ⇐ O2 ∠ = O1 ∠

​

* α= C1 ∠ ⇐ α 2 = C1 ∠ ⋅ 2 = O12 ∠ - ז' מרכזית פי שתיים מהיקפית

​

* α = O2 ∠ = O1 ∠

B

A

C

⋅

o

K

1

1

2

©  כל הזכויות שמורות למטח

מטח

19 of 29

19

נתון: מעגל O

AB ⊥ OK

מומלץ לזכור שרטוט זה:

B

A

C

⋅

o

K

α

α

α

©  כל הזכויות שמורות למטח

מטח

20 of 29

20

משפט: כל הזוויות ההיקפיות במעגל הנשענות על אותה קשת שוות זו לזו

α

α

α

A

B

C

K

M

⋅

O

α 2

כל הזוויות ההיקפיות

שוות למחצית מהזווית המרכזית

הנשענת על הקשת

ולכן הן שוות זו לזו

α= AOB ∠ ½ = AMB ∠ = AKB ∠ = ACB ∠

©  כל הזכויות שמורות למטח

מטח

21 of 29

21

משפט: זווית היקפית הנשענת על קוטר היא זווית ישרה

⋅

°180

°90

°90

O

A

°90

B

C

K

AB - קוטר

⇐

°90 = ACB ∠ = AKB ∠

©  כל הזכויות שמורות למטח

מטח

22 of 29

22

משפטים חשובים נוספים :

משפט: על מיתרים שווים במעגל נשענות זוויות היקפיות שוות ולהיפך

משפט: על קשתות שוות במעגל נשענות זוויות היקפיות שוות ולהיפך

CF

AB

=

קשתות שוות

N ∠ = K ∠

זוויות היקפיות שוות

CF = AB

מיתרים שווים

⋅

α

α

α

A

B

C

F

N

K

P

©  כל הזכויות שמורות למטח

מטח

23 of 29

23

תרגיל 6

⋅

B

A

C

K

F

7

1

2

3

4

5

6

O

8

9

T

10

במעגל O העבירו מיתרים

נתון: , °50= C3 ∠ , °25= B2 ∠ ,

°20= C4 ∠ .

חשב את כל הזוויות המסומנות במספרים.

©  כל הזכויות שמורות למטח

מטח

24 of 29

24

תרגיל 6 - פתרון

⋅

B

A

C

K

F

7

1

2

3

4

5

6

O

8

9

T

10

במעגל O העבירו מיתרים

נתון: , °50= C3 ∠ , °25= B2 ∠ ,

°20= C4 ∠ .

חשב את כל הזוויות המסומנות במספרים.

* °90= B12 ∠ = F7 ∠ - היקפיות על קוטר

* °25= B2 ∠ ⇐ °65= B1 ∠

* °40= A9 ∠ - משלימה ל- °90 במשולש ישר זווית ABC

* °25= F6 ∠ = B2 ∠ - נשענות על קשת CK

* °75= °25 + °50 B2 = ∠ C3 + ∠ = T10 ∠ - חיצונית למשולש BTC

* °70= A8 ∠ - משלימה ל- °90 במשולש ישר זווית AFC

* °70= °20 + °50 C4 = ∠ C3 + ∠ = K5 ∠ - נשענת על הקשת

​

​

BAF

©  כל הזכויות שמורות למטח

מטח

25 of 29

25

תרגיל 7

⋅

B

A

C

F

O

AB ו- CF מיתרים מקבילים במעגל O

​

הוכח : א.

ב. מה תוכל לומר על המרובע ABFC ?

AC

BF

=

©  כל הזכויות שמורות למטח

מטח

26 of 29

26

⋅

תרגיל 7 - פתרון

B

A

C

F

O

נתון: מעגל O , CF l l AB

​

צ.ל. : :

AC

BF

=

בניית עזר : מיתר BC

1

1

* CF l l AB ⇐ B1 ∠ = C1 ∠ - מתחלפות בין מקבילים

* B1 ∠ = C1 ∠ ⇐ - זוויות היקפיות שוות נשענות על קשתות שוות

* ⇐ BF = AC - לקשתות שוות שייכים מיתרים שווים

* מסקנה: המרובע ABFC הוא טרפז שווה שוקיים

AC

BF

=

AC

BF

=

כדאי לזכור: בין קווים מקבילים במעגל כלואות קשתות שוות

©  כל הזכויות שמורות למטח

מטח

27 of 29

27

⋅

תרגיל 8

B

A

C

F

O1

⋅

O2

שני מעגלים בעלי רדיוסים שווים

נחתכים בנקודות A ו- B .

דרך נקודה B עובר קטע CF

הוכח : המשולש ACF הוא משולש

שווה שוקיים ( AF = AC )

©  כל הזכויות שמורות למטח

מטח

28 of 29

28

⋅

תרגיל 8 - פתרון

B

A

C

F

O1

⋅

O2

נתון: מעגל O1 , ,מעגל O2

R2 = R1

צ.ל. : : AF = AC

* AB – מיתר משותף לשני המעגלים השווים

* F1 ∠ = C1 ∠ -זוויות היקפיות הנשענות על אותו מיתר

* AF = AC - זוויות בסיס שוות –המשולש ש''ש

1

1

©  כל הזכויות שמורות למטח

מטח

29 of 29

29

ריכוז המשפטים והערות החשובות שהיו במצגת

משפט: זווית מרכזית במעגל גדולה פי 2 מכל זווית היקפית הנשענת על אותה קשת

(ניסוח נוסף : זווית היקפית שווה למחצית הקשת עליה היא נשענת )

​

משפט: כל הזוויות ההיקפיות במעגל הנשענות על אותה קשת שוות זו לזו

משפט: זווית היקפית הנשענת על קוטר היא זווית ישרה

​

משפט: על מיתרים שווים במעגל נשענות זוויות היקפיות שוות ולהיפך

​

משפט: על קשתות שוות במעגל נשענות זוויות היקפיות שוות ולהיפך

​

כדאי לזכור: *זוויות היקפיות משני צידי מיתר נתון, משלימות ל- °180

* בין קווים מקבילים במעגל כלואות קשתות שוות

​

B

A

C

⋅

o

K

α

α

α

שרטוט שכדאי לזכור

©  כל הזכויות שמורות למטח

מטח