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行列式点過程の生成とパーシステントホモロジー

中央大学理工学部物理学科4年　香取研究室　用松大希

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目次

行列式点過程

行列式点過程（DPP）

離散的な行列式点過程

連続の行列式点過程

行列式点過程の生成

行列式点過程の生成（直交化）

具体的なプログラム

Circular unitary ensemble

別のアルゴリズムによる生成（条件付カーネル）

アルゴリズムの比較

球面上の点過程

Spherical ensemble

Harmonic ensemble

球面上の点過程の比較

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パーシステントホモロジー

パーシステント図（PD）

パーシステントホモロジーによる解析

球面上DPPの解析

摂動を加えた球面上DPP

今後の課題

参考文献

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行列式点過程

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行列式点過程（DPP）

点過程とは

　　「点の集合」や「点のパターン」を指す

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行列式点過程とは

　　点同士の相関を表す相関関数が行列式で特徴づけられるような点過程

引用: A. Kulesza, B. Taskar, “Determinantal Point Processes for Machine Learning,” Foundations and Trends in Machine Learning, Vol. 5, Nos. 2-3 (2012) 123-286.

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離散的な行列式点過程

  •  

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連続の行列式点過程

  •  

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行列式点過程の生成

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行列式点過程の生成（直交化）

  •  

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具体的なプログラム

  •  

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Circular unitary ensemble

  •  

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Circular unitary ensemble

N=50

N=100

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別のアルゴリズムによる生成�（条件付きカーネル）

  •  

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アルゴリズムの比較

N=100（直交化）

N=100（条件付きカーネル）

100個の点を打つのにかかった時間は直交化が170分、条件付きカーネルが7分と後者が圧倒的に速い

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球面上の点過程

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Spherical Ensemble

  •  

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Spherical Ensemble

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Harmonic Ensemble

  •  

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Harmonic Ensemble

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球面上の点過程の比較

Poisson

Spherical

Harmonic

独立に一様ランダムな球面上点過程，Poisson点過程と比較していく.

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パーシステントホモロジー

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パーシステントホモロジー

トポロジーの概念を使って、点、孔、空洞などの幾何構造に着目し、データの形の情報を定量的に抽出する.

  • 方法

与えられた各点に半径ｒの円を置き、半径ｒを徐々に大きくすることで生成、消滅する点、孔を考える.

例）

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生成

消滅

点(0次)

孔(1次)

4つ生成

1つ消滅

2つ消滅

 

 

 

 

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パーシステント図(PD)

  •  

0次のdeath timeのヒストグラム

1次のパーシステント図

例）

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パーシステントホモロジーによる解析

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球面上DPPの解析

Poisson

Spherical

Harmonic

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球面上DPPの解析

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球面上DPPの解析

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球面上DPPの解析

特徴的なピーク→メッシュの切り方の特徴がピークに現れてしまっている.

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摂動を加えた球面上の点過程

Poisson

Spherical

Harmonic

各格子点が持つ微小面積からはみ出ないような一様分布に従うランダムな摂動を加えてみる.

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摂動を加えた球面上の点過程

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摂動を加えた球面上の点過程

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今後の課題

・無限に広い空間上での点過程の生成

  • ・領域をメッシュで区切らない方法でのDPP生成の実装化
  • ・点過程同士の差異を定量的にはかる
  • ・トーラス上の点過程の生成
  • など

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参考文献

  • DPPの基礎的な知識や離散DPPについては[1]を参考にした．[2][3]は連続DPPの生成アルゴリズムを, [4][5]はSpherical ensemble, Harmonic ensembleについて, パーシステントホモロジーは[6]を参考にした．
  • [1]A. Kulesza, B. Taskar, “Determinantal Point Processes for Machine Learning,” Foundations and Trends in Machine Learning, Vol. 5, Nos. 2-3 (2012) 123-286.
  • [2] J.B. Hough, M. Krishnapur, Y. Peres, B. Virág, “Determinantal processes and independence,” Probab. Surveys 3 (2006) 206-229.
  • [3] J.B. Hough, M. Krishnapur, Y. Peres, B. Virág, “Zeros of Gaussian Analytic Functions and Determinantal Point Processes,” University Lecture Series, Vol. 51 Amer. Math. Soc., Providence, RI (2009).
  • [4] M. Katori, T. Shirai, “Scaling limit for DPPs on spheres,” RIMS Kôkyûroku Bessatsu B79 (2020), 123-138.
  • [5] M. Katori, T. Shirai, “Partial isomerties, duality, and determinantal point processes,” Random Matrices: Theory and Applications (2020) 2250025.
  • [6] 平岡裕章. タンパク質構造とトポロジー　パーシステントホモロジー群入門. 共立出版, 2013.

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